Friday, June 19, 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Η κατεξοχήν θετική επιστήμη. Τα μαθηματικά είναι τόσο παλιά όσο και ο άνθρωπος και μπορούν να θεωρηθούν ως κριτήριο για την ανάπτυξη του πολιτισμού των διάφορων λαών. Από την προϊστορική εποχή χρονολογούνται γεωμετρικά σχέδια σε τοίχους σπηλαίων, καθώς και κόκαλα ζώων πάνω στα οποία υπάρχουν σημάδια αρίθμησης. Πρώτοι οί Έλληνες χρησιμοποιούσαν ένα είδος δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. Γύρω στο 6000 π.Χ. χρησιμοποιούσαν ημερολόγιο όπως φαίνεται από ευρήματα αρχαιολογικά, από τήν ανάπτυξη τής γεωργίας καί αργότερα από τόν Ησίοδο καί τόν όμηρο. Γύρω στο 1750 π.Χ. οι Έλληνες προβλέπουν τις εκλείψεις του Ήλιου και της Σελήνης, βρίσκουν τετραγωνικές και κυβικές ρίζες αριθμών, χρησιμοποιούν το πυθαγόρειο θεώρημα, δημιουργούν πίνακες πολλαπλασιασμού (προπαίδειας) και αντιμετωπίζουν με επιτυχία διάφορα προβλήματα της αστρονομίας και της γεωμετρίας.
Οι αρχαίοι λαοί αναγκάστηκαν να χρησιμοποιήσουν τα μαθηματικά κυρίως για πρακτικούς λόγους (υπολογισμός της επιφάνειας της Γης, καθημερινές συναλλαγές, εμπόριο κ.ά.). Εκείνοι όμως που ανέδειξαν τα μαθηματικά σε πραγματική επιστήμη ήταν αναμφίβολα οι ΄Ελληνες μαθηματικοί. Με την «καθολική αφαίρεση» πέτυχαν να απαλλαγούν από το αντικείμενο και να κρατήσουν μόνο το σχήμα του ανεξάρτητα από τον τρόπο με τον οποίο μας παρουσιάζεται στη φύση. Γύρω στο 600 π.Χ. ο Θαλής ο Μιλήσιος δημιούργησε πολλές προτάσεις της γεωμετρίας, υπολόγισε το ύψος των πυραμίδων και την απόσταση πλοίων από τη στεριά. Το 530 π.Χ. ο Πυθαγόρας στη σχολή του στον Κρότωνα της Νότιας Ιταλίας ανέπτυξε τέσσερις κλάδους των μαθηματικών: αριθμητική, αριθμητική των μουσικών διαστημάτων, επιπεδομετρία και αστρονομία. Το 450 π.Χ. τα «παράδοξα» του Ζήνωνα του Ελεάτη οδήγησαν στην ανακάλυψη των ασύμμετρων αριθμών, που αντιμετωπίζονται με τη «θεωρία των αναλογιών» του Ευδόξου από την Κνίδο με θαυμαστό, από επιστημονική άποψη, τρόπο. Όμως ο 3ος αι. π.Χ. ήταν ο «χρυσός αιώνας» των μαθηματικών, μία εποχή που συνδέθηκε στενά με τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της αρχαιότητας: τον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο τον Περγαίο. Από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του ανθρώπινου γένους ήταν η συγγραφή από τον Ευκλείδη των περίφημων «Στοιχείων» του, τα οποία δέσποσαν για πολλούς αιώνες στη μαθηματική σκέψη όλων των λαών. Αναμφισβήτητα όμως, η μεγαλύτερη μαθηματική διάνοια της αρχαιότητας υπήρξε ο Αρχιμήδης, ο οποίος πέτυχε προσεγγιστικές τιμές για τον αριθμό π, προσδιόρισε τους όγκους κυλίνδρου, σφαίρας, κώνου και έθεσε τις βάσεις για τη μηχανική και το διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό (βλ. και λ. Αρχιμήδης). Ο Απολλώνιος μελέτησε τις κωνικές τομές και τις ιδιότητές τους. Στους επόμενους αιώνες υπήρξαν αξιόλογοι μαθηματικοί, όπως οι: Ερατοσθένης, Διοκλής, Νικομήδης, Ήρωνας, Μενέλαος, Πτολεμαίος, Διόφαντος, Πάππος, Θέων, Υπατία, Πρόκλος κ.ά. Με το πέρασμα του χρόνου οι μαθηματικοί στράφηκαν προς το μυστικισμό, αποκόπηκαν πλήρως από το λαό και εξαφανίστηκαν όλοι στο Βυζάντιο γύρω στον 6ο αι. Τα σκήπτρα στην ανάπτυξη των μαθηματικών πήραν τότε οι Άραβες.
Στην Ινδία τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν ραγδαία μεταξύ του 1ου και του 8ου αιώνα. Οι μαθηματικοί Αριαμπάτα, Βραχμαγκούπτα και αργότερα ο Μπάσκαρα ασχολήθηκαν με τον υπολογισμό τετραγωνικών ριζών, τη σχεδόν αλγεβρική επίλυση πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων εξισώσεων και υπαινίχθηκαν την ύπαρξη αρνητικών αριθμών. Τον 6ο αι. οι Ινδοί εισήγαγαν δεκαδικό σύστημα αρίθμησης με το μηδέν. Από τον 8ο αι. και μετά, οι Άραβες συνδυάζουν τις ανακαλύψεις στα μαθηματικά των Ελλήνων και των Ινδών. Το 832 ο χαλίφης Αλ Μαμούν ιδρύει στη Βαγδάτη τον «Οίκο της Σοφίας», όπου μεταφράζονται στα αραβικά όλες οι μέχρι τότε γνωστές επιτυχίες των Ελλήνων και των Ινδών. Μεταξύ των Αράβων μαθηματικών ξεχωρίζουν οι: Αλ Κβαρίσμι, Αμπού Αλ Γουάφα, Ναζίρ αλ Ντιν Αλ Τούσι, Αλ Κάσι, Ομάρ Καγιάμ. Η πρόοδος που επιτυγχάνεται σε άλγεβρα, τριγωνομετρία, γεωμετρία, αστρονομία, συνδυαστική ανάλυση είναι εκπληκτική. Στο δυτικό κόσμο τα μαθηματικά διανύουν το δικό τους μεσαίωνα. Μία πρώτη αναλαμπή γίνεται με το Φιμπονάτσι στις αρχές του 13ου αι. Σημαντικότερος σταθμός όμως θεωρείται η έκδοση το 1494 του βιβλίου «Summa» του Λουκά Πατσιόλι, το οποίο παρουσιάζει εκλαϊκευμένα όλες τις μέχρι τότε μαθηματικές γνώσεις και μεταφέρει μέρος των γνώσεων των Αράβων στη Δυτική Ευρώπη. Το 16ο αιώνα οι Καρντάνο, Μπομπέλι, Ντελ Φέρο, Ταρτάλια, Βιέτ, Ρέκορντ αναπτύσσουν τη θεωρία των αριθμών, την άλγεβρα, δημιουργούν τη συμβολική γλώσσα των μαθηματικών, προσπαθούν να διατυπώσουν κάθε πρόβλημα στη γενική του μορφή και στη συνέχεια να το επιλύσουν. Ο Καρντάνο λύνει την εξίσωση τρίτου βαθμού, ο Φεράρι την εξίσωση τέταρτου βαθμού. Το 17ο αιώνα ο Καρτέσιος και ο Φερμά δημιουργούν τις βάσεις της Αναλυτικής Γεωμετρίας με την εισαγωγή του συστήματος των καρτεσιανών συντεταγμένων. Ο Κέπλερ και ο Γαλιλαίος ανατρέπουν τις μέχρι τότε παραδεκτές θεωρίες για το Σύμπαν που μας περιβάλλει και μελετούν την κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο. Οι Νάπιερ, Γκάντερ και Μπριγκς δημιουργούν τους λογαρίθμους. Ο Πασκάλ εμφανίζει το τρίγωνο που φέρει το όνομά του. Οι Χιούγκενς, Νιούτον και Φερμά αναπτύσσουν τη θεωρία των πιθανοτήτων και της συνδυαστικής. Οι Κέπλερ, Γκέγκορι, Μπάροου, Ντε Μπον, Ντεζάργκ, Τσέβα προοδεύουν στη γεωμετρία. Οι Νιούτον και Λάιμπνιτς δημιουργούν την απειροστική ανάλυση. Η παραγώγιση και η ολοκλήρωση κάνουν την εμφάνισή τους: ο νέος τρόπος σκέψης εξελίσσεται αλματωδώς. Οι Φερμά, ντε λ’ Οπιτάλ, Καβαλιέρι δημιουργούν νέα θεωρήματα και εισάγουν νέα σύμβολα στην ανάλυση. Εμφανίζονται οι μιγαδικοί αριθμοί, τους οποίους μελετά ο ντε Μουάβρ. Τον 18ο αιώνα με την ανάλυση ασχολούνται και οι Ρολ, αδελφοί Μπερνουλί, Όιλερ, Γκάους, Μακ Λόρεν, Τέιλορ. Στα μέσα αυτού του αιώνα έχουμε τα πρώτα δείγματα επινόησης μη ευκλείδειων γεωμετριών. Πάνω στη θεωρία των αριθμών δημιουργούν νέες προτάσεις οι Γκόλντμπαχ, ντ’ Αλαμπέρ, Σίμπσον. Μεγάλα ονόματα του αιώνα: Λαγκράνζ, Λεζάντρ, Κράμερ, Όιλερ, Κουλόμπ, Λαπλάς, Γκάους, Ρουφίνι. Οι Γκάους και Ρίμαν γράφουν εργασίες σχετικές με τη διαφορική γεωμετρία. Το 19ο αιώνα η αλματώδης πρόοδος συνεχίζεται: Αργκάν, Φουριέ, Πουασόν, Μπολτζάνο, Βάιερστρας, Κοσί, Άμπελ, Γιάκομπι, Γκριν, Γκαλουά. Οι Βάιερστρας και Κοσί θεμελιώνουν αξιωματικά την ανάλυση. Οι Μπολιέ, Κλάιν και Λομπατσέφσκι δημιουργούν μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Ο Μπάμπατζ εφευρίσκει την πρώτη υπολογιστική μηχανή, πρόδρομο των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ο Πονσελέ θεμελιώνει αξιωματικά την προβολική γεωμετρία, ενώ τους φυσικούς αριθμούς ο Πεανό. Νέες πρωτότυπες εργασίες γράφουν συνεχώς: στη θεωρία των αριθμών ο Τσεμπιτσέφ, στην ανάλυση ο Ερμίτ και ο Ντέντεκιντ, στην άλγεβρα ο Λιουβίλ, στη θεωρία των συνόλων ο Κάντορ, στην τοπολογία ο Πουανκαρέ, στη γεωδαισία ο Ανταμάρ. Στην αρχή του 20ού αιώνα ο Χίλμπερτ θέτει 23 προβλήματα προς λύση ως πρόκληση για όλους τους μαθηματικούς που θέλουν να τα λύσουν. Μεταξύ αυτών η υπόθεση του συνεχούς, η εικασία του Γκόλντμπαχ, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, η υπόθεση του Ρίμαν, η επέκταση του αξιώματος του Ντιριχλέ κ.α. Πολλά από αυτά λύνονται κατά τη διάρκεια του αιώνα, γεγονότα που συνοδεύονται από το δέοντα εορτασμό από τον κόσμο των μαθηματικών. Διάσημοι μαθηματικοί του 20ού αιώνα: Ράσελ, Τσερμέλο, Πλανκ, Λεμπέγκ, Αϊνστάιν, Μάρκοβ, Κοχ, Πουανκαρέ, Ουάιτχεντ, Φίσερ, Μπανάχ, Φράνκελ, Κολμογκόροφ. Είναι η εποχή της θεωρίας των Πιθανοτήτων, Τυχερών Παιγνίων και Στατιστικής. Δημιουργούνται νέες θεωρίες (όπως άλγεβρες Μπουλ, άλγεβρες Μπανάχ κ.ά.) Ο Αϊνστάιν με τη βοήθεια των μετασχηματισμών του Λόρεντζ δημιουργεί τη θεωρία της σχετικότητας και στη συνέχεια τη γενικεύει. Άλλα γνωστά ονόματα μαθηματικών του αιώνα: Άλαν Μπέικερ, Νόβικοφ, Λακάτος, Μάντελμπροτ, Φρίντμαν, Γουάιλς (που απέδειξε το 1994 το τελευταίο θεώρημα του Φερμά), Ζελμάνοφ, Γιόκοτς κ.ά.
Η ραγδαία ανάπτυξη των μαθηματικών είναι πια εκπληκτική και γίνεται δύσκολο ακόμη και για τους μαθηματικούς να την παρακολουθήσουν. Έτσι οι μαθηματικοί είναι υποχρεωμένοι εκ των πραγμάτων να περιορίσουν τη δραστηριότητά τους σε ορισμένο κλάδο, για να μπορέσουν να αποδώσουν καλύτερα, δηλαδή αποκτούν μία ειδικότητα ο καθένας, ώστε να είναι πιο αποτελεσματικοί στη δουλειά τους.
Aρίθμησης συστήματα. Τα συστήματα αριθμών που χρησιμοποιούμε για την αρίθμηση (μέτρημα).
Το σύστημα αρίθμησης των Μάγια στην Αμερική εξελίχθηκε ανεξάρτητα από αυτά του τότε υπόλοιπου γνωστού κόσμου και χρονολογείται γύρω στο 500 π.Χ. Επειδή οι Μάγια ασχολούνταν πολύ με την αστρονομία, είχαν επιλέξει ως βάση του συστήματος που χρησιμοποιούσαν το 20. Επίσης, είχαν και ειδικό σύμβολο για το μηδέν (βλ. λ. αριθμός - χρονολογικός πίνακας εξέλιξης των αριθμών). Περίπου την ίδια εποχή αναπτύχθηκε επίσης, ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα, και το κινεζικό σύστημα αρίθμησης, το οποίο μάλιστα επηρέασε τους Ιάπωνες και αργότερα τους Ινδούς.
Όπως μαρτυρούν επιγραφές που βρέθηκαν στην Κρήτη και χρονολογούνται παλαιότερα τού 2000 π.Χ. Οι αρχαίοι Έλληνες χώριζαν τους αριθμούς ανά δεκάδες και τους συμβόλιζαν με το πρώτο γράμμα της λέξης με την οποία ονομάζονταν, π.χ. το Π για το πέντε, το Δ για το δέκα κτλ. Στα ελληνιστικά χρόνια υιοθετήθηκε το ιωνικό σύστημα γραφής των αριθμών, σύμφωνα με το οποίο οι αριθμοί παριστάνονταν με τα 24 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου και τρία του φοινικικού.
Το σημερινό σύστημα που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή μας ζωή (το δεκαδικό θεσιακό σύστημα) επινοήθηκε στην Ινδία τον 7ο αι., έγινε γνωστό στη Βαγδάτη του Χαλίφη Αλ Μαμούν τον 8ο αιώνα, μέσω του μεταφρασμένου στα αραβικά αστρονομικού συγγράμματος «Σιντχάντα» του Ινδού μαθηματικού και αστρονόμου Βραχμαγκούπτα (598-;670), και τέλος, μόλις το 13ο αιώνα έφτασε στην Ευρώπη, χάρη στο Λεονάρντο ντι Πίζα (γνωστό ως Φιμπονάτσι) και το έργο του «Liber Abaci» (το Βιβλίο του Άβακα), που βασίστηκε πάνω στο έργο του Άραβα μαθηματικού Αλ Κβαρίσμι.
Η επικράτηση όμως του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης πάνω σε όλα τα προηγούμενα, οφείλεται κυρίως στην ύπαρξη του μηδενός. Το μηδέν θεωρείται μία από τις μεγαλύτερες επινοήσεις του ανθρώπινου Ελληνικού πνεύματος.Κανένας αρχαίος πολιτισμός στον τότε γνωστό κόσμο δε χρησιμοποιούσε το μηδέν.
«Αριθμητικά». Πολύ σημαντική και πρωτότυπη εργασία («Στοιχείωσις») του αλεξανδρινού μαθηματικού Διόφαντου (3ος αι.), από την οποία διασώθηκαν μόνο τα 6 από τα 13 βιβλία που την αποτελούσαν. Στα «Αριθμητικά» ο Διόφαντος αντιμετώπισε με αναλυτικό τρόπο την αλγεβρική θεωρία αριθμών, παραθέτοντας δεκάδες πρωτότυπα προβλήματα με τις λύσεις τους. Επίσης, παρουσιάζει με εντυπωσιακό τρόπο έξυπνα τεχνάσματα που χρησιμοποιούσε για τη λύση δύσκολων προβλημάτων της θεωρίας αριθμών. Η πρώτη έκδοση του ελληνικού κειμένου των «Αριθμητικών» μαζί με μία λατινική μετάφραση και σημειώσεις πάνω στα προβλήματα, έγινε το 1621 από το Γάλλο Μπασέ ντε Μεζιριάκ (Bachét de Méziriac). Μία δεύτερη έκδοση, όχι τόσο επιμελημένη, έγινε το 1670, ωστόσο είναι ιστορικά σημαντική, γιατί στο περιθώριο αυτής της έκδοσης έγραψε ο Πιερ ντε Φερμά τις περίφημες σημειώσεις του, που προκάλεσαν μεγάλη αναστάτωση σε όσους ασχολήθηκαν με τη θεωρία αριθμών και οδήγησαν στην εξέλιξή της. Το πρόβλημα, δίπλα στο οποίο ο Φερμά έγραψε το περίφημο σχόλιό του, ήταν: «να αναλυθεί ένας δεδομένος τετράγωνος αριθμός σε άθροισμα δύο τετραγώνων». Εκτός από την τεράστια επιρροή που άσκησαν στους μεταγενέστερους μαθηματικούς, τα «Αριθμητικά» του Διόφαντου είναι και για έναν άλλο λόγο ένας σημαντικός σταθμός στην Ιστορία των Μαθηματικών: είναι η πρώτη φορά που εμφανίζονται συμβολισμοί, συντομογραφίες για τις ρητορικές αλγεβρικές έννοιες που χρησιμοποιούνταν μέχρι τότε. Έτσι, βρίσκουμε συντομογραφίες για τον άγνωστο (σύμβολο που μοιάζει να προήλθε από τη συγχώνευση των δύο πρώτων γραμμάτων της λέξης αριθμός), για τις δυνάμεις του αγνώστου μέχρι και την έκτη (π.χ. για το τετράγωνο του αγνώστου το σύμβολο είναι ΔΥ από τα δύο πρώτα γράμματα της λέξης ΔΥΝΑΜΙΣ, για τον κύβο του αγνώστου το σύμβολο είναι ΚΥ από τα δύο πρώτα γράμματα της λέξης ΚΥΒΟΣ κτλ.), για την αφαίρεση (το σύμβολo παριστάνει το μείον και πιθανότατα προήλθε από τη συγχώνευση των γραμμάτων Λ και Ι της λέξης ΕΛΛΕΙΨΙΣ), για την ισότητα και τον αντίστροφο.
Απόδειξη. Η σειρά των συλλογισμών που κάνουμε, για να φανεί η αλήθεια μιας πρότασης. Μεταξύ των συλλογισμών αυτών, πολλές φορές παρεμβάλλονται διάφορες μαθηματικές πράξεις. Κάθε πρόταση που πρέπει να αποδειχθεί, αποτελείται από δύο μέρη: την υπόθεση (ή δεδομένα στοιχεία) και το συμπέρασμα (ή ζητούμενα στοιχεία). Η υπόθεση ξεκινά συνήθως με την έκφραση «αν...» και το συμπέρασμα με την έκφραση «τότε...». Υπάρχουν δύο βασικά είδη απόδειξης: η άμεση (ή ευθεία) και η έμμεση. Είδη έμμεσης απόδειξης είναι η μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο, η μέθοδος της αντιθετοαντιστροφής κ.ά. Το ποια μέθοδο εκλέγουμε κάθε φορά για να αποδείξουμε μία πρόταση, εξαρτάται από τη φύση της ίδιας της πρότασης (π.χ. αν πρόκειται για ένα τύπο ή μία συνεπαγωγή ή μία ισοδυναμία ή μία σχέση μεταξύ των στοιχείων κάποιου σχήματος κτλ.), από την εμπειρία του λύτη και από την τριβή του με παρόμοια θέματα. Επίσης, πρέπει να γνωρίζουμε ότι δεν είναι μοναδικός ο τρόπος με τον οποίο αποδεικνύουμε μία πρόταση: μπορεί να ταιριάζουν περισσότερες μέθοδοι.
Ιστορικά στοιχεία: Η αποδεικτική (ή αλλιώς παραγωγική ή συστηματική) μέθοδος αντιμετώπισης των προβλημάτων αναπτύχθηκε για πρώτη φορά στην ιστορία από τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες από το 600 π.Χ. και μετά. Ένας από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν αποδεικτικές μεθόδους και δεν αποδέχθηκαν απλά εμπειρικούς κανόνες των προγενεστέρων, ήταν ο Θαλής ο Μιλήσιος, ένας από τους Επτά Σοφούς της αρχαιότητας. Η απόδειξη ξεκίνησε αρχικά από το πεδίο της γεωμετρίας και πολύ αργότερα εισήχθη στην άλγεβρα. Οι Έλληνες δεν μπορούσαν να αποδεχθούν ότι η διαίσθηση και μόνο επαρκούσε για την επιβεβαίωση της αλήθειας μιας πρότασης πέρα από κάθε αμφισβήτηση, ούτε και μπορούσαν να συμβιβαστούν με την ιδέα ότι η αριθμητική επαλήθευση αποτελούσε ικανοποιητικό τρόπο απόδειξης μιας πρότασης. Τον 4ο αιώνα π.Χ. ο Αριστοτέλης έβαλε τα θεμέλια της Λογικής διατυπώνοντας τις αρχές της στο βιβλίο του «Όργανον», που αποτέλεσε το βασικό εργαλείο της σκέψης για όλους τους μεταγενέστερους μαθηματικούς. Το 1644 δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά μία απόδειξη. Σε αυτήν ο Ιταλός μαθηματικός Εβαντζελίστα Τοριτσέλι (1608-1647), μαθητής του Γαλιλαίου και ένας από τους πρωτεργάτες της απειροστικής ανάλυσης, απέδειξε την πρόταση: «το εμβαδό της κυκλοειδούς καμπύλης είναι τριπλάσιο από το εμβαδό του κύκλου που την παράγει».
Άλγεβρα. Κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος μελετά τις αλγεβρικές δομές, δηλαδή τα σύνολα που είναι εφοδιασμένα με ένα σύστημα σχέσεων και πράξεων μεταξύ αριθμών ή άλλων μαθηματικών σχέσεων, π.χ. απεικονίσεων, πινάκων, διανυσμάτων, συνόλων κτλ. Στο ίδιο σύνολο είναι δυνατό να ορισθούν διαφορετικές αλγεβρικές δομές. Η σημερινή διαίρεση της άλγεβρας είναι: στοιχειώδης, ανώτερη και μοντέρνα. Οι δύο πρώτες αποτελούν τη λεγόμενη κλασική άλγεβρα.
Η λέξη άλγεβρα προήλθε πιθανότατα από το έργο «Al-kitab al-muqtasar fi hisab al-jabr wa al muqabalah» του Άραβα μαθηματικού Αλ Τζαφάρ Μοχάμεντ ιμπν Μουσά Αλ Κουαρίσμι), που γράφτηκε στη Βαγδάτη στα μέσα του 9ου αιώνα. Η λέξη «αλ-γιαμπρ», η οποία σήμαινε τη μεταφορά ενός όρου μιας εξίσωσης από το ένα μέλος στο άλλο με αλλαγμένο πρόσημο, έδωσε τον τίτλο «Άλγεβρα» σε κάθε βιβλίο που είχε ως αντικείμενο την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων ή τη μελέτη των αλγεβρικών δομών, παρόμοιο δηλαδή με το περιεχόμενο των σημερινών σχολικών βιβλίων της άλγεβρας.
Οι μέθοδοι της άλγεβρας για την κατασκευή και λύση προβλημάτων μεταδόθηκαν στην Ευρώπη από τους Έλληνες.Οι αρχαίοι Έλληνες συνήθως προσπαθούσαν να λύσουν όλα τα προβλήματα με γεωμετρικές μεθόδους, με αποτέλεσμα να επέρχεται κάποια σύγχυση στο. Τα πρώτα δείγματα άλγεβρας στους αρχαίους προγόνους μας βρίσκονται στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, τα σπουδαιότερα όμως είναι όσα έγραψε ο Διόφαντος στο έργο του «Αριθμητικά». Εκεί συναντούμε τη λύση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού, διάφορων συστημάτων και κυρίως την αξιοθαύμαστη απροσδιόριστη ανάλυση εξισώσεων και συστημάτων μέχρι και τρίτου βαθμού (ειδικών, εννοείται, μορφών).
Αρχικά η άλγεβρα βρισκόταν σε άμεση σχέση μόνο με την αριθμητική, της οποίας θεωρούνταν γενίκευση. Αργότερα χρησιμοποιήθηκε σε όλους τους κλάδους των Μαθηματικών και γενικότερα των Θετικών Επιστημών. Ενώ για παράδειγμα οι αρχαίοι Έλληνες προσπαθούσαν να λύσουν τα αλγεβρικά προβλήματα με γεωμετρικές μεθόδους, πολύ αργότερα (γύρω στο 1600) ο Καρτέσιος εισήγαγε την άλγεβρα στη γεωμετρία και πέτυχε τη λύση γεωμετρικών προβλημάτων με τη μέθοδο της άλγεβρας.
Ο αρχικός σκοπός της άλγεβρας ήταν η λύση προβλημάτων με τη χρήση γραμμάτων αντί για συγκεκριμένους αριθμούς και αλγεβρικών τύπων που αφορούσαν πολλά προβλήματα συγχρόνως. Τα προβλήματα αυτά ήταν κυρίως προβλήματα εξισώσεων.
Η ανάγκη εισαγωγής της άλγεβρας φαίνεται από τη χρησιμότητά της. Η αριθμητική έδινε στους μαθηματικούς λύσεις σε προβλήματα με ορισμένους αριθμούς. Η χρήση όμως των γραμμάτων (κυρίως των τελευταίων χ, ψ, ω, z, r, s, t του ελληνικού ή του λατινικού αλφάβητου) στη θέση των άγνωστων ποσοτήτων διευκόλυνε τη λύση προβλημάτων της ίδιας κατηγορίας. Για τα δοσμένα μεγέθη η άλγεβρα χρησιμοποιεί αριθμούς ή γράμματα από τα πρώτα του αλφάβητου (α, β, γ, δ, ε), τα οποία συνήθως ονομάζουμε παραμέτρους. Τα αποτελέσματα των συμπερασμάτων του κλάδου αυτού των Μαθηματικών αποτέλεσαν τη βάση του σημερινού τεχνικού πολιτισμού.
Η Άλγεβρα πριν από την εποχή του Αλεξανδρινού Διόφαντου (3ος αι. π.Χ.) ήταν ρητορική. Στα «Αριθμητικά» του Διόφαντου βρίσκουμε συντομογραφίες για τον άγνωστο, για τις δυνάμεις του αγνώστου (μέχρι την έκτη δύναμη), για την αφαίρεση, για την ισότητα και για τον αντίστροφο. Οι Ινδοί εισήγαγαν επίσης συντομογραφίες στην άλγεβρα. Όσον αφορά τους σημερινούς συμβολισμούς βλ. λ. άλγεβρα, Χρονολογικός πίνακας σημερινών συμβολισμών.
Στη σημερινή εποχή η μοντέρνα άλγεβρα χρησιμοποιεί την αξιωματική μέθοδο. Βάση της είναι οι δομές με τις γνωστές ονομασίες: ομάδες, δακτύλιοι, σώματα, γραμμικοί (διανυσματικοί) χώροι. Επίσης, αξιόλογες εφαρμογές βρίσκουν σήμερα οι άλγεβρες με άλλες ονομασίες, όπως η γραμμική και η πλειογραμμική άλγεβρα. Πολύ γνωστές είναι σήμερα και οι άλγεβρες του Μπουλ (βλ. λ. άλγεβρα Μπουλ). Όσο για την ονομασία «Κ-άλγεβρα», αυτή χρησιμοποιείται για μια αλγεβρική μορφή ειδικής μορφής που ορίζεται ως εξής: Αν Α είναι ένα μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με δύο πράξεις (+) και (•) και Κ είναι ένα σώμα, τότε ονομάζουμε Κ-άλγεβρα την τετράδα (Α, Κ, +, •) αν και μόνο αν ισχύουν οι σχέσεις:
i) Το σύνολο Α με τις πράξεις (+) και (•) είναι δακτύλιος.
ii) Το σύνολο Α είναι διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα Κ.
iii) α, βΑ, κΚ, ισχύει (κ • α) • β = α • (κ • β) = κ • (α • β).
Αλγεβρα ενδεχομένων. Ένα υποσύνολο Ρ του δυναμοσυνόλου (Ω) του δειγματοχώρου Ω ενός πειράματος τύχης, ονομάζεται άλγεβρα ενδεχομένων όταν ισχύουν οι σχέσεις:
Άλγεβρα Μπουλ. Aλγεβρική δομή, που επινόησε ο Βρετανός μαθηματικός Τζορτζ Μπουλ (1815-1864) και δημοσίευσε στο έργο του «Διερεύνηση των νόμων της σκέψης». Η άλγεβρα Μπουλ είναι ένα σύστημα σχέσεων και πράξεων, με το οποίο περίπλοκοι επαγωγικοί συλλογισμοί μπορούν να γραφούν ως λογικές προτάσεις. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, με τη βοήθεια της άλγεβρας Μπουλ, μετατρέπουν τις διάφορες εντολές σε αλληλουχίες απλών λογικών πράξεων (ΝΑΙ και ΟΧΙ). Εκτός από την ευρεία χρήση τους στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, οι διάφορες μορφές της άλγεβρας Μπουλ βρίσκουν εφαρμογή στην Τοπολογία και στη Θεωρία των Πιθανοτήτων.
Αλγεβρική δομή. Αλγεβρικές δομές είναι σύνολα εφοδιασμένα με πράξεις. Δύο αλγεβρικές δομές Α και Β ονομάζονται ισόμορφες, αν υπάρχει ισομορφισμός από το σύνολο Α στο Β. Η απλούστερη μορφή αλγεβρικών δομών είναι τα μονοειδή, τα οποία αποτέλεσαν τη βάση για την αλγεβρική θεμελίωση της Θεωρητικής Πληροφορικής. Τα μονοειδή έχουν εφαρμογές στις Γλώσσες και τα Αυτόματα. Οι πλέον σημαντικές αλγεβρικές δομές είναι οι ομάδες. Η θεωρία των ομάδων αναπτύχθηκε κυρίως τα τελευταία 150 χρόνια και έχει εφαρμογές και σε άλλους κλάδους επιστημών εκτός των Μαθηματικών, όπως στη Φυσική και τη Χημεία. Άλλες αλγεβρικές δομές είναι οι δακτύλιοι, τα ιδεώδη (με τα οποία εξετάζεται η δομή των δακτυλίων) και τα σώματα. Στη θεωρία Γκαλουά (του Εβαρίστ Γκαλουά, 1811-1832) η διερεύνηση και επίλυση εξισώσεων στηρίζεται στην αλληλεπίδραση της θεωρίας των ομάδων και της θεωρίας των δακτυλίων.
Αλγεβρική παράσταση. Κάθε έκφραση που περιέχει γράμματα και αριθμούς συνδεδεμένα με τα αλγεβρικά σύμβολα των πράξεων, π.χ.
Αλγεβρική τιμή διανύσματος. Το προσημασμένο μέτρο του διανύσματος. Θεωρούμε έναν άξονα αναφοράς πάνω στον οποίο έχουμε ορίσει το μοναδιαίο διάνυσμα. Κάθε διάνυσμα του χώρου που βρίσκεται πάνω στον άξονα ή είναι παράλληλο προς αυτόν, θα είναι ή ομόρροπο με το ή αντίρροπο προς αυτό. Η αλγεβρική τιμή του διανύσματος συμβολίζεται με και είναι ίση με το μηδέν, αν το διάνυσμα είναι το μηδενικό, ή ίση με το μέτρο του, αν το διάνυσμα είναι ομόρροπο με το, ή ίση με τον αντίθετο του μέτρου του, αν το διάνυσμα είναι αντίρροπο προς το, δηλαδή:
Η αλγεβρική τιμή των διανυσμάτων είναι απαραίτητη έννοια για τον ορισμό της τετμημένης σημείου πάνω σε άξονα αναφοράς. Για την αλγεβρική τιμή διανυσμάτων ισχύει το θεώρημα του Τσέιλς. (γενικεύεται και για περισσότερα διανύσματα).
Αλγεβρικός αριθμός. Κάθε ρίζα πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Ειδικότερα, αλγεβρικός αριθμός ως προς ένα σώμα Κ λέγεται κάθε ρίζα πολυωνύμου με συντελεστές από το σώμα αυτό. Ο βαθμός ενός τέτοιου ελαχιστοβάθμιου αναγώγου πολυωνύμου λέγεται σχετικός βαθμός του αλγεβρικού αριθμού ως προς το σώμα Κ. Ένας αριθμός που δεν είναι αλγεβρικός, ονομάζεται υπερβατικός, π.χ. η βάση e των νεπέριων λογαρίθμων και ο αριθμός π. Το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο σε αντίθεση με το σύνολο των υπερβατικών αριθμών.
Αναλυτική γεωμετρία. Κλάδος των Μαθηματικών που μελετά γεωμετρικά προβλήματα με αλγεβρικές μεθόδους. Πρωταρχικό ρόλο στην Αναλυτική Γεωμετρία παίζει ο ορισμός ενός συστήματος αναφοράς ευθείας, επιπέδου ή χώρου, σύμφωνα με το οποίο σε κάθε σημείο αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός (τετμημένη) στην περίπτωση χώρου μίας διάστασης (ευθεία) ή ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών (τετμημένη - τεταγμένη) στην περίπτωση χώρου δύο διαστάσεων (επίπεδο) ή μία διατεταγμένη τριάδα πραγματικών αριθμών (τετμημένη - τεταγμένη - κατηγμένη) στην περίπτωση χώρου τριών διαστάσεων (χώρος). Με αυτόν τον τρόπο οι γραμμές πάνω στο επίπεδο και οι επιφάνειες μέσα στο χώρο παριστάνονται με αλγεβρικές εξισώσεις που περιέχουν τις μεταβλητές x, y ή x, y, z αντίστοιχα.
Η ουσία της επίπεδης Αναλυτικής Γεωμετρίας είναι ο προσδιορισμός μιας αμφιμονοσήμαντης και επί αντιστοιχίας ανάμεσα στα διατεταγμένα ζεύγη των πραγματικών αριθμών και στα σημεία του επιπέδου. Αυτή η απεικόνιση οδηγεί στη δυνατότητα αντιστοίχισης μεταξύ των διαφόρων γραμμών του επιπέδου και των εξισώσεων με δύο μεταβλητές έτσι, ώστε για κάθε καμπύλη να υπάρχει μία μοναδική αλγεβρική εξίσωση της μορφής f (x, y) = 0 και αντιστρόφως.
Ισχύει ο κανόνας: «η αλγεβρική εξίσωση f (x, y) = 0 παριστάνει μία καμπύλη του επιπέδου, αν και μόνο αν όλα τα σημεία της καμπύλης και μόνο αυτά επαληθεύουν την εξίσωση αυτή». Αν η αλγεβρική εξίσωση είναι της μορφής f (x, y, z) = 0, τότε παίρνουμε μία επιφάνεια στο χώρο των τριών διαστάσεων. Για να ορίσουμε στο χώρο μία καμπύλη, πρέπει να έχουμε δύο εξισώσεις αυτής της μορφής, δηλαδή τις εξισώσεις δύο επιφανειών, των οποίων η τομή θα είναι η καμπύλη που θέλουμε.
Με χρήση του συστήματος αναφοράς μετατρέπουμε δύσκολα γεωμετρικά προβλήματα σε προβλήματα επίλυσης συστημάτων εξισώσεων, που κατά κανόνα είναι ευκολότερα και λιγότερο χρονοβόρα. Με τη βοήθεια των συντεταγμένων μπορούμε επίσης να αποδεικνύουμε διάφορες ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων, καθώς και να υπολογίζουμε μήκη ευθύγραμμων τμημάτων, εμβαδά επιφανειών και όγκους στερεών σωμάτων.
Η αξία της Αναλυτικής Γεωμετρίας έγκειται στην πολύπλευρη χρησιμότητά της. Η Αναλυτική Γεωμετρία χρησιμοποιεί αλγεβρικές μεθόδους, για να αντιμετωπίσει διάφορα γεωμετρικά θέματα. Ακόμη δίνει αλγεβρική μορφή σε διάφορες γεωμετρικές προτάσεις. Ο σκοπός της Αναλυτικής Γεωμετρίας συνοψίζεται στα εξής δύο προβλήματα:
α) να μελετήσει τις γεωμετρικές ιδιότητες μιας καμπύλης, όταν είναι γνωστή η εξίσωσή της και
β) να βρει την εξίσωση μιας καμπύλης, όταν είναι γνωστές κατάλληλες γεωμετρικές της ιδιότητες.
Έτσι, η Αναλυτική Γεωμετρία μπορεί να αποδειχθεί ιδιαίτερα παραγωγική, όσον αφορά την ανακάλυψη και διατύπωση νέων ιδιοτήτων γεωμετρικών σχημάτων, και μάλιστα με πολύ ευκολότερο τρόπο απ’ ό,τι με τις κλασικές γεωμετρικές μεθόδους.
Παρόλο που ως ιδέα προϋπήρχε στη σκέψη και το έργο κάποιων μαθηματικών, διατυπωμένη όμως λεκτικά και χωρίς αλγεβρικούς συμβολισμούς (του Μέναιχμου, 4ος αιώνας π.Χ., του Απολλώνιου του Περγαίου, 3ος αιώνας π.Χ. και πολύ αργότερα του Νικολάου Ορέσμε, 14ος αιώνας), η Αναλυτική Γεωμετρία πήρε τη σημερινή της μορφή χάρη στο έργο δύο Γάλλων μαθηματικών του 17ου αιώνα, του René Descartes (Καρτέσιος, 1596-1650) και του Pierre de Fermat (Φερμά, 1601-1665). Υπάρχει διαφωνία μεταξύ των ιστορικών μελετητών ως προς το ποιος από τους δύο πρώτος επινόησε την Αναλυτική Γεωμετρία και μάλιστα αναφέρονται πολλά ανέκδοτα σχετικά με την ανακάλυψή της από τους δύο άνδρες. Το 1637 ο Descartes δημοσίευσε μία εργασία του με τίτλο «Λόγος περί της μεθόδου για τη σωστή καθοδήγηση της λογικής σκέψης και για την αναζήτηση της αλήθειας μέσα στην επιστήμη». Σ’ αυτήν εκφράζει με αριθμητικό τρόπο γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ σημείων του επιπέδου, χρησιμοποιώντας δύο μεταβλητές x και y. Ο Descartes γράφει: «για να αναζητήσουμε την αλήθεια των πραγμάτων είναι απαραίτητη μία μέθοδος». Θεωρούσε την ανακάλυψή του περισσότερο ως μέθοδο παρά ως κλάδο των Μαθηματικών. Την ίδια περίπου εποχή σε μία επιστολή του προς το μαθηματικό Roberval το 1636, ο Fermat έγραφε τις ιδέες του για την Αναλυτική Γεωμετρία, υποστηρίζοντας ότι υπήρξαν το αποτέλεσμα σειράς σκέψεων των τελευταίων επτά χρόνων. Η διαφορά ανάμεσα στον τρόπο σκέψης των δύο ανδρών ήταν η εξής: ο Καρτέσιος ξεκινούσε από τις γεωμετρικές ιδιότητες μιας καμπύλης και κατέληγε στην εξίσωσή της, ενώ ο Φερμά κινούμενος αντίστροφα, ξεκινούσε από μία αλγεβρική εξίσωση και μελετούσε τις γεωμετρικές ιδιότητες της καμπύλης που αυτή παρίστανε. Ήταν στην ουσία οι δύο πλευρές του ίδιου νομίσματος. Βέβαια, ο Καρτέσιος έδωσε το όνομά του στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και στις καρτεσιανές συντεταγμένες, ενώ η συμβολή του Φερμά δεν αναφέρεται εκτεταμένα.
Τον αναλυτικό τρόπο σκέψης για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων αναλύει ο ίδιος ο Καρτέσιος σε επιστολή του προς την πριγκίπισσα της Βοημίας Ελισάβετ, με την οποία αλληλογραφούσε συστηματικά σχετικά με μαθηματικά και φιλοσοφικά θέματα. Γράφει: «Δε χρησιμοποιώ άλλα θεωρήματα γνωστά από την Ευκλείδεια Γεωμετρία παρά μόνο δύο: το Πυθαγόρειο Θεώρημα και αυτό που λέει ότι οι ομόλογες πλευρές δύο όμοιων τριγώνων είναι ανάλογες. Άλλωστε, δε διστάζω να εισάγω μεγάλο πλήθος αγνώστων στις εξισώσεις που δημιουργώ με στόχο να απλουστεύσω το πρόβλημα, ώστε να χρειαστώ τελικά μόνο αυτά τα δύο θεωρήματα».
Τα βασικά βήματα της αναλυτικής αντιμετώπισης γεωμετρικών προβλημάτων είναι τα εξής:
1. Ορίζουμε κατάλληλο σύστημα αναφοράς επιπέδου. 2. Δίνουμε συντεταγμένες σε όλα τα σημεία του σχήματος. Για τις άγνωστες συντεταγμένες χρησιμοποιούμε μεταβλητές. 3. Αναλύουμε το πρόβλημα σε πολλά μικρότερα, οργανώνοντας μέσα στο μυαλό μας τη σειρά των πράξεων. 4. Βρίσκουμε σχέσεις μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων με βάση την υπόθεση του γεωμετρικού προβλήματος, μετατρέποντάς το σε αλγεβρικό πρόβλημα. 5. Σχηματίζουμε ικανό αριθμό εξισώσεων, ώστε να μπορέσουμε να βρούμε τους αγνώστους. 6. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων. 7. Συμπεραίνουμε για τις γεωμετρικές ιδιότητες του σχήματος.
Αξίωμα. Κάθε πρόταση φανερή από μόνη της, την οποία δεχόμαστε χωρίς αποδείξεις. Παλαιότερα το αίτημα (postulatum) διαχωριζόταν από το αξίωμα (αξίωμα = axiomes). Αργότερα έγινε δεκτό ότι το αίτημα είναι μία πρόταση, της οποίας η αλήθεια ενδεχομένως είναι δυνατό να αποδειχτεί. Σήμερα οι δύο λέξεις σχεδόν ταυτίζονται μετά την αξιωματική θεμελίωση των διάφορων κλάδων των Μαθηματικών. Πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες επινόησαν την έννοια του αιτήματος και το πιο γνωστό αίτημα είναι το πέμπτο της σειράς των αιτημάτων του Ευκλείδη, που βρίσκεται στο Α’ βιβλίο των «Στοιχείων» του, για το οποίο έγιναν πολλές συζητήσεις. Σήμερα όλοι οι κλάδοι των Μαθηματικών στηρίζονται σε ένα σύνολο αξιωμάτων ο καθένας. Με βάση το σύνολο αυτό αποδεικνύονται όλες οι επόμενες προτάσεις - θεωρήματα. Το σύνολο αυτό υπόκειται σε δύο περιορισμούς: α) τα αξιώματα να είναι συμβιβαστά, και β) ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Ακόμη θα πρέπει το πλήθος των αξιωμάτων να είναι όσο το δυνατό μικρότερο. Είναι φανερό ότι η αλλαγή ενός αξιώματος βάσης με άλλο συμβιβαστό με τα υπόλοιπα μας δίνει κλάδο Μαθηματικών διαφορετικό του αρχικού, π.χ. η αλλαγή του αιτήματος του Ευκλείδη που αναφέρθηκε, μας δίνει τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες του Ρίμαν κ.ά.
Αξιώματα Ευκλείδειας γεωμετρίας. Σύνολο αξιωμάτων της Ευκλείδειας γεωμετρίας, τα οποία είναι:
α) Αξιώματα συνδέσεως:
1. Από δύο διακεκριμένα σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία γραμμή.
2. Σε κάθε ευθεία ανήκουν τουλάχιστον δύο σημεία.
3. Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία μη συνευθειακά, τα οποία ορίζουν τη θέση ενός επιπέδου.
4. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε άλλη γραμμή, η οποία έχει τα ίδια άκρα.
5. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα είναι δυνατό να προεκταθεί μέχρι το άπειρο και από τα δύο άκρα του.
6. Κάθε επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ότι προεκτείνεται μέχρι το άπειρο και κατά τις δύο διαστάσεις του.
β) Αξίωμα των παραλλήλων:
Από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς αυτήν.
γ) Αξιώματα διατάξεως:
1. Αν για τρία διάφορα μεταξύ τους σημεία Α, Β, Γ μιας ευθείας (ε) ισχύει ότι: το Β βρίσκεται μεταξύ των Α και Γ, τότε αυτό βρίσκεται και μεταξύ των Γ και Α.
2. Αν έχουμε δύο διαφορετικά σημεία Α και Β μιας ευθείας (ε), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Γ της (ε) τέτοιο, ώστε το Β να βρίσκεται μεταξύ των Α και Γ.
3. Από τρία διάφορα μεταξύ τους σημεία μιας ευθείας, το ένα βρίσκεται πάντοτε μεταξύ των άλλων δύο.
4. Αν δύο σημεία Α και Β μιας ευθείας (ε) βρίσκονται από το ένα και το άλλο μέρος ενός επιπέδου (Π), η ευθεία (ε) έχει με το επίπεδο (Π) ένα μόνο κοινό σημείο.
5. (Αξίωμα του Pasch). Έστω ότι έχουμε τρία σημεία Α, Β, Γ που δε βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία και μία ευθεία (ε) πάνω στο επίπεδο των Α, Β, Γ και της οποίας ένα σημείο είναι πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Τότε υπάρχει ένα άλλο σημείο της (ε), το οποίο βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ ή πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ. (Υποτίθεται ακόμη ότι η (ε) δε διέρχεται από κανένα από τα τρία σημεία Α, Β, Γ).
δ) Αξιώματα ισοδυναμίας:
1. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ισοδύναμο (ίσο) προς τον εαυτό του. Ακόμη είναι:
Ι. ΑΒ = ΒΑ
ΙΙ. ΑΒ = ΓΔ Þ ΓΔ = ΑΒ
ΙΙΙ. (ΑΒ = ΓΔ και ΓΔ = ΕΖ) Þ ΑΒ = ΕΖ.
Το ίδιο ισχύει και για τα γεωμετρικά σχήματα. Δηλαδή η ισότητα είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική.
2. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.
3. Κάθε ευθεία (ε) ενός επιπέδου (Π) το χωρίζει σε δύο μέρη (που λέγονται ημιεπίπεδα). Δύο σημεία Α και Β του (Π) που δεν ανήκουν στην (ε), αλλά βρίσκονται εκατέρωθεν αυτής (δηλαδή το ένα στο ένα ημιεπίπεδο και το άλλο στο άλλο ημιεπίπεδο), ορίζουν ευθύγραμμο τμήμα που τέμνει την (ε).
4. Έστω ευθεία (ε) και σημεία Α, Β, Μ που ανήκουν σ’ αυτή και διάφορα μεταξύ τους. Πάνω στις ημιευθείες στις οποίες χωρίζεται η (ε) με αρχή το Μ, μπορούμε να βρούμε μόνο δύο σημεία Γ και Δ τέτοια, ώστε να είναι ΑΒ = ΜΓ = ΜΔ.
5. Πάνω στις ευθείες (ε) και (ε’), ορίζουμε τα σημεία Α, Β, Γ και Α’, Β’, Γ’ αντίστοιχα και με αυτή τη διάταξη. Τότε από τις σχέσεις: ΑΒ = Α’Β’ και ΒΓ = Β’Γ’, συμπεραίνουμε ότι θα ισχύει ΑΓ = Α’Γ’.
6. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ και δύο σημεία Β’, Γ’ τα οποία ορίζουν μία ευθεία (ε) με Β’Γ’= ΒΓ. Τότε υπάρχουν από το ένα και το άλλο μέρος της (ε) δύο σημεία Α’ και Α’’ τέτοια, ώστε να είναι ίσα τα τρίγωνα:
ΑΒΓ = Α’Β’Γ’ και ΑΒΓ = Α’’Β’Γ’.
7. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ευθείας (ε) των Β και Γ. Τότε από την ισότητα των τριγώνων ΑΒΓ = Α’Β’Γ’ και ΑΓΔ = Α’Γ’Δ’ συμπεραίνουμε ότι ΒΔ = Β’Δ’.
ε) Αξίωμα της συνεχείας (ή Αρχιμήδειο αξίωμα):
Θεωρούμε ευθεία (ε) και διαδοχικά σημεία Ρ0, Ρ1, Ρ2, …, Ρκ, … τέτοια, ώστε
Ρ0Ρ1 = Ρ1Ρ2 = … = ΡκΡκ+1 = …
Τότε αν Ρ είναι τυχαίο σημείο της ημιευθείας από το Ρ0 προς το Ρ1, υπάρχει φυσικός αριθμός ν τέτοιος, ώστε το Ρ να βρίσκεται μεταξύ των σημείων Ρ0 και Ρν.
Αξιώματα Ευκλείδη. Στο πρώτο βιβλίο των «Στοιχείων» του, ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας Ευκλείδης διατύπωσε πέντε αξιώματα και πέντε κοινές έννοιες, πάνω στις οποίες βασίζεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αναλυτικότερα, τα αξιώματα είναι:
1. Υπάρχει μία μοναδική ευθεία που συνδέει δύο διακεκριμένα σημεία.
2. Μπορούμε να επεκτείνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις, δημιουργώντας μία συνεχή ευθεία.
3. Μπορούμε να σχηματίσουμε κύκλο με κέντρο οποιοδήποτε σημείο και ακτίνα οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα.
4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
5. Αν δύο ευθείες τέμνονται από μία τρίτη και σχηματίζουν γωνίες εντός και επί τα αυτά μέρη, που έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι δύο ευθείες, αν προεκταθούν απεριόριστα, θα τέμνονται προς εκείνη τη μεριά της τέμνουσας ευθείας, προς την οποία βρίσκονται οι δύο αυτές γωνίες.
Οι κοινές έννοιες του Ευκλείδη είναι:
1. Αυτά που είναι ίσα με τρίτο, είναι και μεταξύ τους ίσα.
2. Αν σε ίσες ποσότητες προστεθούν ίσες ποσότητες, τα αποτελέσματα θα είναι κι αυτά ίσα.
3. Αν ίσες ποσότητες αφαιρεθούν από ίσες ποσότητες, τα υπόλοιπα θα είναι κι αυτά ίσα.
4. Αυτά που συμπίπτουν είναι μεταξύ τους ίσα.
5. Το ολόκληρο είναι μεγαλύτερο από το μέρος.
Ισοδύναμες με το πέμπτο αξίωμα είναι οι ακόλουθες προτάσεις:
1. Αν μία ευθεία τέμνει τη μία από δύο παράλληλες ευθείες, τότε θα τέμνει και την άλλη (Πρόκλος, 5ος αιώνας, περίφημος σχολιαστής των «Στοιχείων» του Ευκλείδη).
2. Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική ευθεία παράλληλη προς αυτήν (πρόταση γνωστή στον Πρόκλο, αλλά διατυπωμένη με αυτή τη μορφή από το Σκοτσέζο φυσικό και μαθηματικό Playfair, 1748-1819).
3. Υπάρχει τρίγωνο, το άθροισμα των γωνιών του οποίου είναι ίσο με δύο ορθές (Legendre, 1752-1833).
4. Όταν δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία, υπάρχει κύκλος που διέρχεται από αυτά. (Legendre, W. Bolyai, 1775-1856).
5. Υπάρχουν δύο όμοια αλλά όχι ίσα τρίγωνα (Sacchieri, 1667-1733).
Περισσότερη συζήτηση προκάλεσε το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη από οποιαδήποτε άλλη πρόταση στην ιστορία της Γεωμετρίας, κυρίως ως προς το: α) αν είναι ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα αξιώματα ή αν μπορεί να αποδειχτεί με τη βοήθειά τους, και β) αν πράγματι υπάρχει ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα και, σε περίπτωση που υπάρχει, αν είναι μοναδική.Όσον αφορά το πρώτο ερώτημα, από πολύ νωρίς ξεκίνησε μία πολυετής προσπάθεια από δεκάδες μαθηματικούς, ώστε να αποδειχτεί το 5ο αξίωμα με τη βοήθεια των υπόλοιπων. Ο Πρόκλος μάλιστα αναφέρει τις προσπάθειες του Πτολεμαίου, πριν αναλύσει τις προσωπικές του απόψεις για το θέμα. Στη νεότερη εποχή, η πρώτη αξιοπαρατήρητη σχετική έρευνα δημοσιεύτηκε το 1733, από τον Ιταλό Ιησουίτη ιερέα Τζιρόλαμο Σακιέρι, όταν ήταν Καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Παβίας. Ενθουσιασμένος με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, ο Σακιέρι τη χρησιμοποιεί σε μία προσπάθειά του να αποδείξει το 5ο αξίωμα. Ήταν μάλιστα τόσο σίγουρος για την απόλυτη αλήθεια των λεγομένων του Ευκλείδη (μέχρι και η δημοσιευμένη εργασία του είχε τίτλο «Ο Ευκλείδης καθαρός από παν λάθος»), που σταμάτησε την έρευνα μόλις βρήκε τα πρώτα στοιχεία μη ευκλείδειων γεωμετριών –κάτι που δεν μπορούσε να αποδεχτεί ο ίδιος, χάνοντας έτσι την ευκαιρία να γίνει ο πρώτος γεωμέτρης στην ιστορία που θα ανακάλυπτε τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Έτσι, πρώτος ο N. I. Lobatschewski (Λομπατσέφσκι, 1793-1856) και δεύτερος ο J. Bolyai (Μπολιέ, 1802-1860) κατάφεραν να αποδείξουν ότι υπάρχουν μη ευκλείδειες γεωμετρίες, στις οποίες η μη αποδοχή του 5ου αξιώματος του Ευκλείδη δε δημιουργεί αντιφάσεις με τα υπόλοιπα αποδεκτά αξιώματα. Αυτό σημαίνει ότι το 5ο αξίωμα είναι ανεξάρτητο από τα άλλα και δεν μπορεί να αποδειχθεί με τη βοήθειά τους.Όσον αφορά το δεύτερο ερώτημα, οι πολυετείς συζητήσεις οδήγησαν στην επέκταση της Γεωμετρίας και στην εμφάνιση νέων μη ευκλείδειων γεωμετριών, όπως η υπερβολική γεωμετρία ή η ελλειπτική γεωμετρία. Στις υπερβολικές γεωμετρίες –π.χ. του F. Klein (Κλάιν, 1849-1925) ή αυτή του J. H. Poincaré (Πουανκαρέ, 1854-1912)–, υπάρχουν περισσότερες από μία ευθείες παράλληλες προς τη δοθείσα, ενώ στις ελλειπτικές (π.χ. του Μπέρναρντ Ρίμαν, 1826-1866) δεν υπάρχει παράλληλη προς τη δοθείσα. Εννοείται ότι σ’ αυτές τις γεωμετρίες, ανάλογα αλλάζουν και τα υπόλοιπα αξιώματα, ώστε να είναι συμβατά με τη νέα διατύπωση.
Απλή μέθοδος των τριών. Είναι μία μέθοδος επίλυσης αριθμητικών προβλημάτων, στα οποία τα ποσά που μεταβάλλονται είναι μεταξύ τους είτε ευθέως είτε αντιστρόφως ανάλογα. Χρησιμοποιούμε την απλή μέθοδο των τριών, όταν έχουμε μόνο δύο συμμεταβλητά ποσά στο πρόβλημα, ενώ όλα τα υπόλοιπα ποσά που αναφέρονται σ’ αυτό θεωρούνται σταθερά. Αν όμως σε ένα πρόβλημα έχουμε περισσότερα από δύο συμμεταβλητά ποσά, τότε χρησιμοποιούμε τη σύνθετη μέθοδο των τριών.
Εφαρμογή:
Θέλουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα, όπου δύο ποσά μεταβάλλονται ευθέως ή αντιστρόφως ανάλογα. Κάνουμε την κατάστρωση των στοιχείων: στην πρώτη γραμμή τοποθετούμε τις γνωστές τιμές των δύο ποσών και στη δεύτερη γραμμή τη γνωστή του ενός και την άγνωστη τιμή του άλλου. Η άγνωστη τιμή βρίσκεται, αν πολλαπλασιάσουμε τη γνωστή τιμή του ενός επί: α) το κλάσμα των τιμών του άλλου αντεστραμμένο, αν τα ποσά είναι ανάλογα ή β) το κλάσμα των τιμών του άλλου όπως το βλέπουμε, αν τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Παραδείγματα:
1. Μία βρύση γεμίζει σε 36 πρώτα λεπτά το μιας δεξαμενής. Πόσο μέρος αυτής γεμίζει σε τρία τέταρτα της ώρας;
Λύση: Τα τρία τέταρτα της ώρας είναι 45 πρώτα λεπτά. Στο πρόβλημα μεταβάλλονται δύο ποσά, επομένως θα χρησιμοποιήσουμε την απλή μέθοδο των τριών. Κάνουμε την κατάστρωση
Τα ποσά: χρόνος που χρειάζεται και μέρος της δεξαμενής που γεμίζει με σταθερή παροχή νερού είναι ανάλογα (αυτό υποδεικνύει το σύμβολο ), επομένως πολλαπλασιάζουμε τη γνωστή τιμή του ενός επί το κλάσμα των τιμών του άλλου αντεστραμμένο και έχουμε:
Απάντηση: Σε τρία τέταρτα της ώρας γεμίζει το ένα τέταρτο της δεξαμενής.
2. Σε μία κατασκήνωση υπάρχουν τρόφιμα που θα φτάσουν για τους 50 κατασκηνωτές για 30 ημέρες. Αν όμως έρθουν κι άλλοι 10 κατασκηνωτές, για πόσες ημέρες θα φτάσουν τα τρόφιμα, αν η μερίδα παραμείνει ίδια;
Λύση: Στο πρόβλημα μεταβάλλονται δύο ποσά, επομένως θα χρησιμοποιήσουμε την απλή μέθοδο των τριών. Κάνουμε την κατάστρωση, όπως στο σχήμα 2:
Τα ποσά: τρόφιμα και αριθμός κατασκηνωτών είναι αντιστρόφως ανάλογα (αυτό υποδεικνύει το σύμβολο ¯), επομένως πολλαπλασιάζουμε τη γνωστή τιμή 30 του ενός επί το κλάσμα των τιμών του άλλου όπως το βλέπουμε και έχουμε:
Απάντηση: Τα τρόφιμα θα φτάσουν για 25 ημέρες.
Αριθμητική.Είναι η επιστήμη των αριθμών της ανθρώπινης καθημερινότητας. Θεωρώντας την ως ενασχόληση με τους αριθμούς, είναι τόσο παλιά όσο ο ίδιος ο άνθρωπος, ως επιστήμη όμως, είναι αρκετά νεότερη. Η υποτυπώδης θεμελίωσή της έγινε από τον Πυθαγόρα και τη Σχολή των Πυθαγορείων, περίπου στο τέλος του 6ου αιώνα π.Χ.. Αργότερα ο Ευκλείδης (περ. 330-270 π.Χ.) και κυρίως ο αλεξανδρινός Διόφαντος (3ος αι.) ασχολήθηκαν με τις ιδιότητες των αριθμών και συστηματοποίησαν σε βιβλία αυτές τις γνώσεις τους. Ειδικά ο Διόφαντος πέτυχε να δώσει εντυπωσιακές λύσεις σε δύσκολα προβλήματα ακέραιων και κλασματικών αριθμών.
Σήμερα η Αριθμητική θεωρείται ένας από τους κλάδους της επιστήμης των Μαθηματικών που μελετά τους αριθμούς που γνωρίζουν όλοι οι μαθητές του Δημοτικού Σχολείου: τους φυσικούς, τους δεκαδικούς, τους κλασματικούς και τους συμμιγείς, τις πράξεις μεταξύ τους, τις ιδιότητές τους καθώς και την εφαρμογή τους στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων. Η Αριθμητική πήρε τη σημερινή μορφή της μετά την Αναγέννηση, χάρη στο έργο κορυφαίων μαθηματικών, όπως οι Βιέτ, Φερμά, Όιλερ, Λαγκράνζ, Λεζάντρ, Γκάους, Τσεμπιτσέφ, Ερμίτ κ.ά. και διαρκώς εξελίσσεται. Η Αριθμητική διαιρείται σήμερα σε δύο βασικούς κλάδους: τη στοιχειώδη ή Πρακτική Αριθμητική και την ανωτέρα ή Θεωρία Αριθμών. Η θεωρία των Πιθανοτήτων και της Συνδυαστικής, καθώς και ο κλάδος της Στατιστικής, παρόλο που χρησιμοποιούν τους ίδιους αριθμούς με την Αριθμητική και παλαιότερα θεωρούνταν υποδιαιρέσεις της, χρησιμοποιούν πλέον πολλά στοιχεία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης, έχουν εξελιχθεί πολύ περισσότερο και έχουν εφαρμοστεί σε πολλούς άλλους κλάδους και γι’ αυτό εξετάζονται χωριστά στα αντίστοιχα λήμματα, όπως και η Θεωρία Αριθμών. Στη συνέχεια εξετάζεται μόνο η στοιχειώδης Αριθμητική.
Η Πρακτική Αριθμητική, όπως είναι ευρύτερα γνωστή, περιλαμβάνει τη γραπτή και προφορική αρίθμηση, τις πράξεις μεταξύ των αριθμών (φυσικών, δεκαδικών, κλασματικών και συμμιγών), καθώς και προβλήματα εφαρμογής τους. Αναλυτικότερα:
1. Αρίθμηση. Κατά την αρίθμηση (μέτρημα) χρησιμοποιούμε ένα σύστημα αριθμών. Τα πιο γνωστά συστήματα είναι: το δεκαδικό, το δυαδικό, το ιωνικό (ή ελληνική γραφή αριθμών) και το ρωμαϊκό.
2. Σύγκριση φυσικών αριθμών. Δύο φυσικοί αριθμοί είναι ίσοι, όταν σε κάθε μονάδα του ενός αντιστοιχεί μία μονάδα του άλλου και αντίστροφα. Αν αυτό δε συμβαίνει, οι αριθμοί λέγονται άνισοι. Το σύμβολο της ισότητας είναι το ίσον (=) και το σύμβολο της ανισότητας είναι το μεγαλύτερο (>) ή το μικρότερο (<), π.χ. οι αριθμοί 15 και 15 είναι ίσοι, δηλαδή 15 = 15, ενώ οι αριθμοί 7 και 3 είναι άνισοι, γράφουμε 7 > 3 ή 3 < 7. Αν δύο αριθμοί είναι άνισοι και δε μας ενδιαφέρει ποιος είναι ο μεγαλύτερος, γράφουμε ότι είναι άνισοι, χρησιμοποιώντας το σύμβολο ¹ (διάφορο), π.χ. 3 ¹ 5.
3. Πράξεις της Αριθμητικής. Είναι η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.
α) Η πρόσθεση έχει σύμβολο το συν (+), είναι πράξη αντιμεταθετική, προσεταιριστική και έχει ουδέτερο στοιχείο το μηδέν (0). Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δύο αριθμών λέγεται άθροισμα και είναι μονότιμα ορισμένο. Οι δύο αριθμοί λέγονται προσθετέοι όροι ή απλά όροι του αθροίσματος.
β) Η αφαίρεση έχει σύμβολο το μείον ή πλην (–). Ο αριθμός που αφαιρείται λέγεται αφαιρετέος και ο αριθμός από τον οποίο αφαιρείται ο αφαιρετέος, λέγεται μειωτέος. Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης δύο αριθμών λέγεται διαφορά και είναι μονότιμα ορισμένη. Η αφαίρεση είναι αντίστροφη πράξη από την πρόσθεση.
γ) Ο πολλαπλασιασμός έχει σύμβολο το επί, που παριστάνεται με (´) ή (×), είναι πράξη αντιμεταθετική, προσεταιριστική, έχει ουδέτερο στοιχείο τη θετική μονάδα και είναι πράξη επιμεριστική ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο αριθμών λέγεται γινόμενο και είναι μονότιμα ορισμένο. Οι δύο αριθμοί που πολλαπλασιάζονται λέγονται παράγοντες του γινομένου.
δ) Η διαίρεση έχει σύμβολο το διά (:) και είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Ο αριθμός τον οποίο διαιρούμε, ονομάζεται διαιρετέος, ο αριθμός με τον οποίο διαιρούμε, ονομάζεται διαιρέτης και το αποτέλεσμα της διαίρεσης πηλίκο.
Το άθροισμα και το γινόμενο δύο φυσικών αριθμών είναι πάντοτε φυσικός αριθμός, αυτό όμως δε συμβαίνει πάντοτε για τη διαφορά και το πηλίκο. Το σύνολο ΙΝ των φυσικών αριθμών είναι δηλαδή κλειστό ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, αλλά δεν είναι κλειστό ως προς τις πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης. Γι’ αυτό και τα προβλήματα που κατατάσσονται ως προβλήματα της Πρακτικής Αριθμητικής, περιλαμβάνουν μόνο πράξεις, των οποίων τα ενδιάμεσα και τελικά αποτελέσματα περιέχουν αριθμούς της Αριθμητικής και μόνο.
4. Κλασματικοί Αριθμοί. Αν διαιρέσουμε την ακέραιη μονάδα σε ίσα μέρη και πάρουμε το ένα από αυτά, τότε λέμε ότι έχουμε μία κλασματική μονάδα, όπως π.χ. η κλασματική μονάδα σημαίνει ότι χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα σε τρία ίσα μέρη και πήραμε το ένα από αυτά.
Κλασματικός αριθμός (ή κλάσμα) λέγεται κάθε αριθμός που σχηματίζεται από κάποια κλασματική μονάδα, η οποία λαμβάνεται μία ή περισσότερες φορές. Κάθε κλάσμα είναι της μορφής, διαβάζεται «άλφα προς βήτα» και είναι το ακριβές πηλίκο του αριθμητή α διά του παρονομαστή β. Τα α και β λέγονται όροι του κλάσματος.
Το κλάσμα που έχει αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή λέγεται γνήσιο, ενώ αυτό που έχει αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή, λέγεται καταχρηστικό. Τότε, το πλήθος των ακέραιων μονάδων που περιέχει, ισούται με το ακέραιο πηλίκο του αριθμητή διά του παρονομαστή, ενώ το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής δηλώνει το πλήθος των κλασματικών μονάδων που περιέχονται ακόμη στο κλάσμα. Το καταχρηστικό κλάσμα γράφεται ως μεικτός αριθμός με ακέραιο μέρος το ακέραιο πηλίκο του αριθμητή διά του παρονομαστή και κλασματικό μέρος αυτό που δηλώνει το υπόλοιπο της διαίρεσης, π.χ., γιατί το 8 χωρά 5 ακέραιες φορές μέσα στο 47 και αφήνει υπόλοιπο 7, επομένως το περιέχει 5 ακέραιες μονάδες και 7 κλασματικές.
5. Δεκαδικοί αριθμοί. Βασική ιδιότητα των δεκαδικών αριθμών είναι ότι μπορούμε να τους γράψουμε κατά τον ίδιο τρόπο που γράφουμε τους ακέραιους αριθμούς. Ο δεκαδικός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος, που μπορεί να είναι και μηδέν, και από ένα δεύτερο μέρος μικρότερο από τη μονάδα, το οποίο λέγεται δεκαδικό. Τα δύο μέρη χωρίζονται από ένα κόμμα, που λέγεται υποδιαστολή, π.χ. 23,456: το 23 είναι το ακέραιο μέρος και το 456 είναι το δεκαδικό. Το δεκαδικό μέρος του δεκαδικού αριθμού δημιουργείται από την επανάληψη της δεκαδικής μονάδας. Δεκαδική μονάδα είναι κάθε κλάσμα που έχει αριθμητή το 1 και παρονομαστή μία δύναμη του 10, π.χ. δεκαδικές μονάδες είναι Οι δεκαδικές μονάδες είναι διάφορων τάξεων. Τα δέκατα είναι της πρώτης τάξης, τα εκατοστά της δεύτερης τάξης, τα χιλιοστά της τρίτης τάξης κτλ. Επιπλέον κάθε μονάδα μιας τυχαίας δεκαδικής τάξης είναι ίση με 10 μονάδες της επόμενης τάξης, π.χ. το ένα εκατοστό είναι ίσο με 10 φορές το ένα χιλιοστό, δηλαδή. Ονομάζουμε δεκαδικό κλάσμα εκείνο, του οποίου ο παρονομαστής είναι μονάδα που ακολουθείται από ένα πλήθος μηδενικών ψηφίων.
Αν θέλουμε να γράψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με δεκαδική μορφή, γράφουμε τον αριθμητή του κλάσματος και, από δεξιά προς τα αριστερά, χωρίζουμε με μια υποδιαστολή τόσα ψηφία, όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής. Όταν ο αριθμητής δεν έχει αρκετά ψηφία, τότε γράφουμε προς τα αριστερά του όσα μηδενικά χρειάζονται.
Αντίστροφα, για να γράψουμε ένα δεκαδικό αριθμό με μορφή δεκαδικού κλάσματος, παραλείπουμε την υποδιαστολή και ό,τι μένει το γράφουμε ως αριθμητή, ενώ ως παρονομαστή γράφουμε τη μονάδα ακολουθούμενη από τόσα μηδενικά, όσα ήταν τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού που μας δόθηκε.
Για τις ιδιότητες των δεκαδικών, τη σχέση τους με τα κλάσματα, καθώς και σχετικά παραδείγματα, βλ. λ. δεκαδικός αριθμός.
6. Συμμιγείς αριθμοί. Για τη μέτρηση ενός συνεχούς ποσού απαραίτητη είναι η σύγκρισή του με ένα άλλο γνωστό ομοειδές ποσό, που το παίρνουμε ως μονάδα. Από αυτή τη σύγκριση βγαίνει ένας αριθμός, που λέγεται μέτρο του ποσού και φανερώνει από πόσες μονάδες και από πόσα μέρη της μονάδας αποτελείται το ποσό που μας έδωσαν. Έτσι λέμε, π.χ., πως ο Κώστας λείπει 3 χρόνια, 4 μήνες και 18 ημέρες από την πατρίδα του. Με την επιστροφή του αγόρασε δώρα από τις ΗΠΑ και πλήρωσε 450 δολάρια και 60 σεντς. Από την Αγγλία είχε πάρει 6 γιάρδες, 2 πόδια και 5 ίντσες ύφασμα. Με το αεροπλάνο το ταξίδι του διάρκεσε 11 ώρες, 10 λεπτά και 25 δευτερόλεπτα. Όπως βλέπουμε, σε καθένα από τους παραπάνω αριθμούς, έχουμε μία ή περισσότερες μονάδες μέτρησης και τις υποδιαιρέσεις τους. Οι συμμιγείς (= ανάμεικτοι) είναι αριθμοί. Αποτελούνται από ακέραιες μονάδες μέτρησης και τις υποδιαιρέσεις τους.
Οι διάφορες χώρες του κόσμου δεν έχουν τα ίδια νομίσματα, ούτε χρησιμοποιούν πολλές φορές τα ίδια μέτρα και δε ζυγίζουν με τα ίδια σταθμά. Το γεγονός αυτό δημιουργεί την ανάγκη να γνωρίζουμε τις διάφορες μονάδες μέτρησης στις άλλες χώρες και στη δική μας. Έχουμε έτσι τις διάφορες μονάδες μήκους, τις μονάδες επιφανειών, τις μονάδες όγκου και χωρητικότητας, τις μονάδες τόξων και γωνιών, τις μονάδες βάρους, τις μονάδες νομισμάτων και τέλος τις μονάδες χρόνου. Αναλυτικά για κάθε κατηγορία, βλ. αντίστοιχο λ.
7. Προβλήματα της Πρακτικής Αριθμητικής. Είναι αριθμητικά προβλήματα, που λύνονται με τη βοήθεια των τεσσάρων πράξεων της Αριθμητικής (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση) και διαιρούνται στις εξής κατηγορίες:
α) Προβλήματα των τεσσάρων πράξεων με φυσικούς αριθμούς. β) Προβλήματα με κλάσματα και μεικτούς αριθμούς. γ) Προβλήματα με δεκαδικούς αριθμούς. δ) Προβλήματα με συμμιγείς αριθμούς. ε) Προβλήματα απλής μεθόδου των τριών. στ) Προβλήματα σύνθετης μεθόδου των τριών. ζ) Προβλήματα ποσοστών. η) Προβλήματα τόκων. θ) Προβλήματα εσωτερικής και εξωτερικής υφαίρεσης. ι) Προβλήματα μερισμού. ια) Προβλήματα εταιρείας. ιβ) Προβλήματα έργου. ιγ) Προβλήματα κρουνών και δεξαμενών. ιδ) Προβλήματα κίνησης. ιε) Προβλήματα ανάμειξης. ιστ) Προβλήματα διαλυμάτων. ιζ) Προβλήματα κραμάτων. ιη) Προβλήματα ηλικιών.
Αρχιμήδεια ιδιότητα αριθμών. Κάθε μη μηδενικός θετικός αριθμός, οσοδήποτε μικρός και αν είναι, γίνεται όσο μεγάλος θέλουμε, αν προστεθεί στον εαυτό του πολλές φορές. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αρχιμήδεια προς τιμή του Αρχιμήδη, επειδή διατυπώθηκε για πρώτη φορά από το μεγάλο Έλληνα μαθηματικό της αρχαιότητας. Εργαζόμενος με τις παραδοσιακές μεθόδους του Αριστοτέλη και του Ευκλείδη, δεν μπορούσε να αποδεχτεί ότι υπάρχουν απειροστά, την ύπαρξη των οποίων όμως αναγκάστηκε και ο ίδιος να χρησιμοποιήσει στον τρόπο υπολογισμού εμβαδών και όγκων με τη μέθοδο των αδιαιρέτων και της ισορροπίας –όπως άλλωστε παραδέχεται ο ίδιος στην πραγματεία του «Έφοδος». Δε δεχόταν όμως τη χρήση τους στην απόδειξη των τύπων που βρήκε, γι’ αυτό και χρησιμοποιούσε την αυστηρότερη αποδεικτική μέθοδο της εξάντλησης του Ευδόξου. Με τη σύγχρονη όμως θεωρία των απειροστών (απειροστικός λογισμός) η αρχιμήδεια ιδιότητα δεν περιορίζει πλέον τους αριθμούς που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί.
Αρχιμήδεια διατεταγμένο σώμα. Ένα σώμα αριθμών (Κ, +, ×) λέγεται αρχιμήδεια διατεταγμένο, όταν για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς α, β του Κ υπάρχει φυσικός αριθμός ν τέτοιος, ώστε να ισχύει η σχέση ν × α > β, δηλαδή αν μπορούμε να ξεπεράσουμε οποιονδήποτε θετικό αριθμό του σώματος, παίρνοντας ικανό αλλά πεπερασμένο αριθμό προσθετέων ίσων με έναν άλλο θετικό αριθμό του σώματος. Αυτό σημαίνει ότι τα στοιχεία του σώματος έχουν την αρχιμήδεια ιδιότητα. Παράδειγμα αρχιμήδεια διατεταγμένου σώματος αποτελούν το σύνολο των ρητών και το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Αρχιμήδη, δρεπάνι του. Θεωρούμε ημικύκλιο με κέντρο Ο διαμέτρου ΑΒ = 2r (βλ. σχήμα). Πάνω στην ΑΒ παίρνουμε τυχαίο σημείο Γ και με διαμέτρους ΑΓ και ΓΒ γράφουμε δύο μικρότερα ημικύκλια μέσα στο αρχικό. Το χωρίο με τη δρεπανοειδή μορφή που σχηματίζεται ανάμεσα στα τρία ημικύκλια είναι γνωστό ως δρεπάνι του Αρχιμήδη και αποδεικνύεται ότι το εμβαδό του είναι ίσο με το εμβαδό ενός κύκλου διαμέτρου ΓΔ, όπου Δ είναι το σημείο τομής του κύκλου με την κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Γ.
Αρχιμήδη, έλικα (ή σπείρα). Μία από τις πλέον γνωστές επίπεδες σπείρες που χρησιμοποιούνται στα Μαθηματικά. Πήρε το όνομά της προς τιμή του Αρχιμήδη, ο οποίος μελέτησε διεξοδικά τις ιδιότητές της και τη χρησιμοποίησε για να λύσει δύο από τα περίφημα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας: τον τετραγωνισμό του κύκλου και την τριχοτόμηση μιας γωνίας.
Μία έλικα του Αρχιμήδη μπορούμε να σχεδιάσουμε αρκετά εύκολα με ένα φύλλο χαρτιού, ένα μολύβι και ένα καρούλι με κλωστή ή κολλητική ταινία. Δένουμε το μολύβι σε απόσταση δύο εκατοστών από τη μύτη του στην άκρη της κλωστής και αργά αργά αφήνουμε την κλωστή να ξεδιπλωθεί, κρατώντας το καρούλι όρθιο πάνω στο χαρτί, σταθερά σε ένα σημείο. Καθώς το μολύβι απομακρύνεται, η μύτη του γράφει πάνω στο χαρτί την καμπύλη που θέλουμε.Για τους μαθηματικούς όμως, ο ορισμός της έλικας του Αρχιμήδη είναι πιο πολύπλοκος: είναι ο γεωμετρικός τόπος ενός σημείου Μ του επιπέδου, που κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μία ημιευθεία Οx, η οποία ταυτόχρονα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα πάνω στο επίπεδο γύρω από την αρχή Ο. Ή αλλιώς, είναι ο γεωμετρικός τόπος ενός σημείου του επιπέδου, που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου (τον πόλο), ενώ ταυτόχρονα απομακρύνεται από αυτό (ή πλησιάζει σ’ αυτό) με σταθερή ταχύτητα. Ο Αρχιμήδης είχε αποδείξει ότι η απόσταση ΟΜ είναι ανάλογη της γωνίας xΜ. Αυτό διαπιστώνουμε εύκολα από την εξίσωση της έλικας σε πολικές συντεταγμένες: r = α × θ, όπου r = OM, α σταθερά και θ = xΜ. Πάνω σ’ αυτήν την παρατήρηση βασίζεται και η μέθοδος που ακολούθησε για την τριχοτόμηση μιας γωνίας. Στη μαθηματική βιβλιογραφία, βρίσκουμε και την ακόλουθη κατασκευή: θεωρούμε έναν κύκλο με κέντρο Ο και μία σταθερή ακτίνα του ΟΜ. Αν υποθέσουμε ότι το Μ κινείται πάνω στον κύκλο παρασύροντας μαζί του την ακτίνα ΟΜ (το άλλο άκρο της φεύγει από το κέντρο Ο), η εφαπτομένη του κύκλου στο Μ γλιστρά πάνω σ’ αυτόν. Αν θεωρήσουμε ότι η αρχική ακτίνα μένει «κολλημένη» πάνω στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής, κατά την περιστροφή του Μ πάνω στον κύκλο, τότε το άλλο άκρο της ακτίνας, που ταυτίζεται αρχικά με το Ο, κινείται διαγράφοντας μία καμπύλη, που είναι μία έλικα του Αρχιμήδη. Με τη βοήθεια ενός φύλλου γραφικών με πολικές συντεταγμένες είναι πολύ ευκολότερο να σχεδιάσουμε μία έλικα.
Γεωμετρική πρόοδος. Ακολουθία της οποίας κάθε όρος, εκτός από τον πρώτο, προκύπτει από τον προηγούμενό του, αν τον πολλαπλασιάσουμε επί ένα σταθερό πραγματικό αριθμό λ, δηλαδή α ν + 1 = α ν  λ,  ν  ΙΝ *.
Τα α 1 και λ υποτίθεται ότι είναι διάφορα του μηδενός (αλλιώς δεν υπάρχει ακολουθία). Το λ ονομάζεται λόγος της προόδου. Αν το λ = 1, τότε η πρόοδος είναι σταθερή. Όταν είναι γνωστός ο πρώτος όρος α 1 και ο λόγος λ, ο γενικός όρος της γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο: α ν = α 1  λ ν - 1,  ν  ΙΝ *.
Γεωμετρικός τόπος, θεμελιώδης. Οι θεμελιώδεις γεωμετρικοί τόποι που χρησιμοποιούνται και για την εύρεση άλλων τόπων, είναι οι εξής:
1. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος, είναι η μεσοκάθετος αυτού.
2. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές μιας γωνίας και βρίσκονται μέσα σ’ αυτήν, είναι η διχοτόμος της.
3. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες, είναι οι διχοτόμοι των τεσσάρων γωνιών που αυτές σχηματίζουν.
4. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες, είναι η μεσοπαράλληλή τους.
5. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση ίση με λ (όπου λ δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα) από σταθερή ευθεία (ε), είναι δύο ευθείες παράλληλες προς την (ε) και σε απόσταση λ από αυτήν.
6. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από δοσμένο σταθερό σημείο, είναι περιφέρεια (κύκλος) με κέντρο το σημείο και ακτίνα ίση με την απόσταση αυτή.
7. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου από τα οποία δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα φαίνεται υπό ορθή γωνία, είναι περιφέρεια με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα.
8. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου από τα οποία δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα φαίνεται υπό δοσμένη γωνία (διάφορη της ορθής), είναι δύο τόξα συμμετρικά ως προς αυτό, που έχουν κοινή χορδή το ευθύγραμμο τμήμα και δέχονται γωνία ίση με τη δοσμένη.
9. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία Α και Β έχουν λόγο (όπου μ και ν δύο άνισα σταθερά ευθύγραμμα τμήματα), είναι περιφέρεια με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα συζυγή αρμονικά των Α και Β με λόγο. Αυτή η περιφέρεια ονομάζεται «απολλώνεια», προς τιμή του μεγάλου γεωμέτρη της αρχαιότητας Απολλώνιου του Περγαίου (2ος αιώνας π.Χ.).
10. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από μία σταθερή ευθεία και από ένα σταθερό σημείο εκτός αυτής, είναι παραβολή με διευθετούσα την ευθεία και εστία το σημείο.
11. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία του επιπέδου έχουν σταθερό άθροισμα, είναι έλλειψη με εστίες τα δύο σημεία.
12. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει η πρόταση: «η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία του επιπέδου είναι σταθερή», είναι υπερβολή με εστίες τα σημεία αυτά.
Στο χώρο θεμελιώδεις είναι οι εξής γεωμετρικοί τόποι:
1. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του χώρου που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος, είναι το μεσοκάθετο επίπεδο αυτού.
2. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του χώρου που ισαπέχουν από τις έδρες μιας δίεδρης γωνίας, είναι τα δύο επίπεδα που διχοτομούν τη γωνία.
3. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του χώρου που απέχουν σταθερή απόσταση από δοσμένο σταθερό σημείο, είναι σφαίρα με κέντρο το σημείο αυτό και ακτίνα ίση με τη δοσμένη απόσταση.

Δήλιο πρόβλημα. Είναι το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, δηλαδή αν δίνεται ένας κύβος, ζητείται να κατασκευαστεί, με αποκλειστική χρήση του κανόνα και του διαβήτη, ένας άλλος κύβος που να έχει διπλάσιο όγκο από το δοσμένο. Το πρόβλημα αυτό αποδεικνύεται ότι είναι άλυτο, γιατί αν ονομάσουμε x την ακμή του νέου κύβου και 1 την ακμή του κύβου που μας δόθηκε, αναγόμαστε στην εξίσωση x3 = 2  1, δηλαδή στην x3 – 2 = 0. Η εξίσωση αυτή είναι ανάγωγη στο σώμα των ρητών αριθμών και η αντίστοιχη ομάδα Galois αποδεικνύεται ότι είναι η συμμετρική έκτης τάξης για το Q. Και στις δύο περιπτώσεις οι τάξεις θα έπρεπε να είναι της μορφής 2ν (δηλαδή δύναμη του 2) και επομένως το πρόβλημα δε λύνεται μόνο με κανόνα και διαβήτη. Για να λυθεί το γεωμετρικό πρόβλημα, θα έπρεπε να ανάγεται στη λύση πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Είναι όμως φανερό ότι προσεγγιστικές λύσεις με υπολογισμούς μπορούμε να δώσουμε με όση ακρίβεια επιθυμούμε.
Ιστορικά στοιχεία. Υπάρχουν δύο εκδοχές για το πώς ξεκίνησε το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου. Σύμφωνα με την πρώτη εκδοχή, που αναφέρουν ο Ερατοσθένης και ο Θέων από τη Σμύρνη, οι κάτοικοι της Δήλου ζήτησαν χρησμό από το μαντείο τι έπρεπε να κάνουν για να γλιτώσουν από μία φοβερή επιδημία πανούκλας (επιβεβαιωμένη ιστορικά γύρω στο 430 π.Χ.). Η απάντηση των θεών ήταν να χτίσουν ένα βωμό σχήματος κύβου, όπως αυτός που ήδη υπήρχε, αλλά με το διπλάσιο όγκο. Μόλις είδαν όμως ότι το πρόβλημα αυτό δε λύνεται εύκολα (και στο μεταξύ η πανούκλα συνεχιζόταν), στράφηκαν στον Πλάτωνα, ο οποίος έδωσε την ακόλουθη εξήγηση: «Οι θεοί δεν έχουν ανάγκη από ένα νέο βωμό. Απλώς σας μέμφονται γιατί έχετε παραμελήσει τα μαθηματικά και κυρίως τη γεωμετρία». Σύμφωνα με τη δεύτερη εκδοχή, που αναφέρει ο Ευτόκιος, ο βασιλιάς της Κρήτης Μίνωας ζήτησε να ξανακατασκευαστεί ένας τάφος για τον αδικοχαμένο γιο του Γλαύκο, που «ως αντάξιος για την ταφή ενός βασιλιά» θα έπρεπε να έχει διπλάσιο όγκο από τον προηγούμενο. Με το πρόβλημα αυτό ασχολήθηκαν δεκάδες μαθηματικοί της αρχαιότητας με αποτέλεσμα να ανακαλύψουν πολλές σημαντικές προτάσεις και εφαρμογές της γεωμετρίας.
Διακρίνουσα. Διακρίνουσα εξίσωσης δεύτερου βαθμού με έναν άγνωστο
αx2 + βx + γ = 0, όπου α, β, γ πραγματικοί αριθμοί και α  0, λέγεται η ποσότητα Δ = β2 – 4αγ. Το πρόσημο της διακρίνουσας καθορίζει το είδος και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης.
Π.
Μαθηματικό σύμβολο: π = 3,1415926535897932384626433... Ο ασύμμετρος αυτός αριθμός (το 1882 ο Lindemann απέδειξε ότι είναι υπερβατικός) είναι ο λόγος του μήκους περιφέρειας κύκλου προς τη διάμετρό του. Ο λόγος αυτός αποδείχτηκε από τον Αρχιμήδη ότι είναι σταθερός και μάλιστα ότι είναι μεταξύ των αριθμών και. Ο Αρχιμήδης λάμβανε το ως κατά προσέγγιση τιμή του π και επιτύγχανε ακρίβεια δυο δεκαδικών ψηφίων. Αργότερα, διάφοροι μαθηματικοί προσπάθησαν να βρουν μεγαλύτερες προσεγγίσεις, π.χ. ο Μέτιος με 8 δεκαδικά ψηφία, ο άραβας Αλ Κάσι (15ος αι.) με 14, ο Φον Βέγκα (1794) με 136, ο Σανκς (1874) με 527, ο Φέργκιουσον (1946) με 620 ψηφία. Στη συνέχεια, η εύρεση ολοένα και περισσότερων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π αποτέλεσε την καλύτερη δοκιμή για την ακρίβεια και τις δυνατότητες των ηλεκτρονικών υπολογιστών από την πρώτη ημέρα που κατασκευάστηκαν. Οι προσεγγίσεις του π με χρήση Η/Υ ξεπέρασαν το ένα εκατομμύριο ψηφία το 1973, αριθμός που συνέχισε να διπλασιάζεται σχεδόν κάθε χρόνο. Το 1996 δημοσιεύτηκε ένας αλγόριθμος των Railey, Borwein και Plouffe, που επιτρέπει την εύρεση στο εξαδικό σύστημα αρίθμησης του νιοστού δεκαδικού ψηφίου του π χωρίς την εύρεση των προηγούμενων ν–1 ψηφίων του. Το 1997 ο Plouffe ανακάλυψε νέο αλγόριθμο που επιτρέπει το ίδιο, αλλά σε οποιοδήποτε σύστημα αρίθμησης. Το Σεπτέμβριο του 1999 στον Καναδά ο Takahashi προσέγγισε το π με περισσότερα από 206 δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία.
Σήμερα το π δίνεται με όσα ψηφία θέλουμε από την πρόσθεση κατάλληλου πλήθους όρων διαφόρων σειρών, μεταξύ των οποίων είναι οι εξής
β) Από το ανάπτυγμα της συνάρτησης y= τοξεφχ σε σειρά Mac-Laurin και αντικατάσταση σε αυτό όπου x=1.
Επίσης, δίνεται το π από το συνεχές κλάσμα. Ακόμη βρίσκεται και από το απειρογινόμενο του Wallis:
Το ελληνικό γράμμα π είναι ο διεθνής συμβολισμός του λόγου που προαναφέραμε. Υπάρχουν δυο μνημονικά ποιήματα (ένα ελληνικό και ένα γαλλικό) με τέτοιες λέξεις ώστε, αν αντικαταστήσουμε το πλήθος των γραμμάτων τους με αριθμούς, βρίσκουμε το αντίστοιχο ψηφίο του π. Το ελληνικό λέει: «Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί το κύκλου μήκος, ίνα ορίση διαμέτρω· παρήγαγεν αριθμόν απέραντον και ον φευ! ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι». Η αρχή του γαλλικού ποιήματος είναι: Que j’ aime a faire apprendre un nombre utile aux sages...
Τετραγωνισμός του κύκλου. Ένα από τα τρία περίφημα «άλυτα» προβλήματα της αρχαιότητας. Διατυπώνεται ως εξής: χρησιμοποιώντας αποκλειστικά και μόνο κανόνα και διαβήτη και σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων να κατασκευαστεί τετράγωνο ισεμβαδικό με δοσμένο κύκλο. Το εμβαδό του κύκλου ακτίνας ρ είναι Ε = πρ2 και για ακτίνα ρ = 1 το εμβαδό του είναι
Ε = π, όπου π ο γνωστός άρρητος αριθμός 3,14. Το τετράγωνο πλευράς α έχει εμβαδό
Ε = α2, οπότε για να λυθεί το πρόβλημα, αρκεί να κατασκευάσουμε την πλευρά του τετραγώνου που έχει εμβαδό π, δηλαδή την πλευρά μήκους. Ιδιαίτερα δημοφιλές θα πρέπει να ήταν το πρόβλημα στην Ελλάδα τον 5ο αιώνα π.Χ. και μάλιστα ισοδύναμο με τη λέξη «ακατόρθωτο», μια που ο ίδιος ο Αριστοφάνης στην κωμωδία του «Όρνιθες» (414 π.Χ.) διακωμωδεί τον τετραγωνισμό του κύκλου και τις ατέρμονες προσπάθειες των γεωμετρών να το λύσουν. Στο εξής αναφέρονται από τους αρχαίους Έλληνες ως «τετραγωνίζοντες τον κύκλον» αυτοί που προσπαθούν να κάνουν κάτι το ακατόρθωτο. Προσπάθειες έγιναν πάρα πολλές: ο Οινοπίδης από τη Χίο (5ος αι. π.Χ.) λέγεται ότι ήταν αυτός που πρώτος καθόρισε τους κανόνες σύμφωνα με τους οποίους γινόταν δεκτή μία γεωμετρική κατασκευή και ήταν από τους πρώτους που προσπάθησε να λύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Ο Αναξαγόρας από τις Κλαζομενές (5ος αι. π.Χ.) αναφέρεται από τον Πλούταρχο στο έργο του «Περί εξορίας» (1ος αι. μ.Χ.) ως ένας από αυτούς που συνέβαλαν στη διάδοση του προβλήματος. Συγκεκριμένα, γράφει: «Δεν υπάρχει μέρος στο οποίο ο άνθρωπος να χάνει την ευτυχία του, την αρετή του, ακόμα και τη σοφία του. Και πράγματι, ο Αναξαγόρας μελέτησε τον τετραγωνισμό του κύκλου μέσα στη φυλακή». Ο Αντιφώντας ο Σοφιστής από την Αθήνα (5ος αι. π.Χ.), σύγχρονος του Σωκράτη, προσπάθησε να υπολογίσει το εμβαδό ενός κύκλου, εγγράφοντας σε αυτόν διαδοχικά κανονικά πολύγωνα με διπλάσιο αριθμό πλευρών από τα αμέσως προηγούμενα. Ο σχολιαστής Συμπλίκιος επικρίνει τη μέθοδο του Αντιφώντα γιατί έχει άπειρο αριθμό βημάτων. Παρ’ όλα αυτά όμως, είναι ιστορικά σημαντική η συμβολή του στην εξέλιξη των μαθηματικών, γιατί είναι πολύ πιθανό πάνω σε αυτήν την ιδέα των διαδοχικών προσεγγίσεων να βασίστηκε ο Εύδοξος ο Κνίδιος, ο οποίος δημιούργησε τη δική του «μέθοδο της εξαντλήσεως», πρόδρομο των ολοκληρωμάτων, για τον υπολογισμό του εμβαδού οποιουδήποτε καμπυλόγραμμου χωρίου. Ο σοφιστής Βρύσων από την Ηράκλεια της Ν. Ιταλίας (μέσα 5ου αι. π.Χ.) προσέγγισε το εμβαδό του κύκλου, αυξάνοντας τον αριθμό των πλευρών του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου πολυγώνου, υποστηρίζοντας ταυτόχρονα ότι ο κύκλος έχει μεγαλύτερο εμβαδό από όλα τα εγγεγραμμένα πολύγωνα και μικρότερο εμβαδό από όλα τα περιγεγραμμένα πολύγωνα. Ο Ιπποκράτης ο Χίος (5ος αι. π.Χ.) ήταν ο πρώτος που πράγματι κατασκεύασε γεωμετρικά ένα τετράγωνο με εμβαδό ίσο με το εμβαδό ενός καμπυλόγραμμου σχήματος. Τετραγώνισε αρκετούς μηνίσκους, καθώς και ένα άθροισμα μηνίσκου και κύκλου, αλλά δεν κατόρθωσε να αποδείξει ότι κάθε μηνίσκος τετραγωνίζεται. Ο Ιππίας ο Ηλείος (5ος αι. π.Χ.) χρησιμοποίησε μία καμπύλη που είχε εφεύρει ο ίδιος, την τετραγωνίζουσα, αλλά η λύση δεν είναι αποδεκτή, επειδή η κατασκευή της ίδιας της τετραγωνίζουσας δε γίνεται με κανόνα και διαβήτη, αλλά με μηχανικές μεθόδους. Ο Δεινόστρατος επίσης (4ος αι. π.Χ.) χρησιμοποίησε την ίδια καμπύλη για να τετραγωνίσει τον κύκλο. Οι προσπάθειες των προηγούμενων αναφέρονται από τον Πάππο στο έργο του «Μαθηματική Συναγωγή». Ο Νικομήδης (3ος αι. π.Χ.) χρησιμοποίησε επίσης την τετραγωνίζουσα του Ιππία, αλλά και μία νέα καμπύλη, την κογχοειδή, που ο ίδιος εφεύρε και ανέλυσε την κατασκευή της στο έργο του «Περί κογχοειδών γραμμών». Ο Αρχιμήδης από τις Συρακούσες (3ος αι. π.Χ.) απέδειξε στο έργο του «Κύκλου Μέτρησις» την ισοδυναμία αυτού του προβλήματος με το πρόβλημα του υπολογισμού του μήκους της περιφέρειας του κύκλου και, χρησιμοποιώντας πρώτος από όλους την κλασική πλέον σήμερα μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων, καθόρισε την κατά προσέγγιση σχέση του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του και χρησιμοποίησε την έλικα (που φέρει το όνομά του) για να τετραγωνίσει τον κύκλο. Ο Απολλώνιος ο Περγαίος (3ος-2ος αι. π.Χ.) και ο Κάρπος από την Αντιόχεια (2ος αι. μ.Χ.) επινόησαν νέες καμπύλες, την «αδελφή καμπύλη της κογχοειδούς» και την «καμπύλη της διπλής κινήσεως», για να τετραγωνίσουν τον κύκλο, όμως δεν είναι γνωστές άλλες λεπτομέρειες για το πώς ακριβώς τις χρησιμοποίησαν. Ο Ήρων από την Αλεξάνδρεια (1ος αι. μ.Χ.) προσέγγισε το π με τον αριθμό 3,1408, ενώ ο Πτολεμαίος (2ος αι. μ.Χ.) με τον αριθμό 3,1416. Και σε άλλες χώρες, ωστόσο, δεκάδες μαθηματικοί ενδιαφέρθηκαν για τη λύση του προβλήματος. Στην Ινδία πολλοί ήταν εκείνοι που προσπάθησαν να βρουν λύση, όπως μαρτυρεί ο Τ. Hayashi στο βιβλίο του: «Ένας νέος ινδικός κανόνας για τον τετραγωνισμό του κύκλου: Mavana’sulbasutra». Στην Κίνα ο μαθηματικός Liu Hsiao της δυναστείας Χαν (περ. 25 μ.Χ.) αναφέρεται ως ο σημαντικότερος από όσους προσπάθησαν να τετραγωνίσουν τον κύκλο. Ο Κινέζος Liu Hu (250 μ.Χ.) προσέγγισε το π με τον αριθμό 3,14159 και ο Tsu Chung Chi (5ος αι. μ.Χ.) με τον αριθμό 3,1415926. Ο Άραβας Αλ Χασάν Ιμπν Αλ Χαϊτχάμ από τη Βασόρα (10ος-11ος αι.) παρουσίασε μία πραγματεία, στην οποία περιέγραφε τετραγωνισμούς μηνίσκων, στην τελευταία σελίδα της οποίας διατύπωσε την υπόσχεση πως πολύ σύντομα θα παρουσίαζε και μία δεύτερη πραγματεία, όπου θα έλυνε το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου˙ αυτή όμως δεν εμφανίστηκε ποτέ. Όχι πολύ αργότερα από τον Αλ Χαϊτχάμ, στη Λιέγη ο Φράνκο γύρω στο 1050 έγραψε την πραγματεία «De quadratura circuli», όπου αναφέρει τρεις προγενέστερες μεθόδους υπολογισμού της τιμής του αριθμού π˙ δίνει τις τιμές, και 4. Ο ίδιος απορρίπτει αυτές τις προσεγγίσεις και δίνει δική του κατασκευή υπολογίζοντας το π =, αριθμό που και σήμερα πολλές φορές χρησιμοποιείται ως μία ιδιαίτερα καλή προσέγγιση του π. Ο Ιταλός Ν. ντε Κούσα (15ος αι.) πιστεύεται ότι ήταν ο πρώτος στη νεότερη ιστορία της Δυτικής Ευρώπης που ασχολήθηκε με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Ήταν γύρω στο 1450 που έγινε επίσκοπος στην πόλη Bressanone και χρησιμοποίησε την υπέρμετρη δυσκολία που αντιμετωπίζει κανείς στην εξεύρεση λύσης για το πρόβλημα αυτό, με τρόπο που νουθετούσε το ποίμνιό του. Έλεγε από τον άμβωνα: «Η αναζήτηση της αλήθειας από τον άνθρωπο ισοδυναμεί με τον τετραγωνισμό του κύκλου. Η προσπάθεια που κάνει κανείς για να φτάσει στην αλήθεια, αλλά που ποτέ δε φτάνει στην ολότητά της, μοιάζει με την προσπάθεια που κάνουμε για να προσεγγίσουμε τον κύκλο με κανονικά πολύγωνα εγγεγραμμένα σε αυτόν, τα οποία όμως ποτέ δεν τον φτάνουν αρκετά». Τα λάθη στις αποδείξεις που πρότεινε ο ντε Κούσα, υπέδειξε λίγο αργότερα ο Ρεγιομοντάνους (Γιόχαν Μίλερ, 15ος αι.). Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι (1452-1519) δέχτηκε εξαιρετικά μεγάλη επιρροή από τις μηχανικές λύσεις που πρότειναν οι αρχαίοι Έλληνες. Επανεξέτασε πολλές από αυτές που αφορούσαν τον τετραγωνισμό του κύκλου και δημοσίευσε πολλές καινούργιες δικές του το 1498. Οι προσπάθειες εξεύρεσης λύσης συνεχίστηκαν το 16ο και το 17ο αιώνα με σημαντικότερους τους Τζ. ντελά Πόρτα, Π. Νούνες, Σεντ Βίνσεντ κ.ά. Ο Τζ. Γκρέγκορι (17ος αι.) προσπάθησε να αποδείξει ότι δεν υπάρχει επίπεδη λύση για το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, χρησιμοποιώντας σειρές εμβαδών εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων. Ο Ζαν Μπερνούλι (γύρω στο 1700) χρησιμοποίησε απόδειξη στο χώρο των τριών διαστάσεων και επαγωγική μέθοδο με διαδοχικές προσεγγίσεις. Το πρώτο σωστό βήμα προς την κατεύθυνση της απόδειξης του «αδύνατου» του τετραγωνισμού του κύκλου έγινε το 1761, όταν ο Λάμπερτ απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος αριθμός. Το 1775 η Ακαδημία των Παρισίων και η Βασιλική Εταιρεία του Λονδίνου αποφάσισαν να σταματήσουν την εξέταση και εκτίμηση άλλων λύσεων πάνω στο πρόβλημα, καθώς όλες αποδεικνύονταν λανθασμένες. Η τελική λύση ήρθε μόλις το 1880, όταν ο Γερμανός μαθηματικός Φ. Κ. Λ. Λίντεμαν (1852-1939) απέδειξε ότι ο π είναι υπερβατικός, γεγονός που αποδεικνύει ότι δεν κατασκευάζεται αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη τετράγωνο ισεμβαδικό με έναν κύκλο.
Τριχοτόμηση γωνίας. Η διαίρεση τυχαίας γωνίας σε τρεις ίσες γωνίες. Οι αρχαίοι Έλληνες προσπάθησαν να λύσουν το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας (ένα από τα περίφημα «άλυτα» προβλήματα του Πάππου) με αποκλειστική χρήση κανόνα και διαβήτη και μάλιστα σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Το πρόβλημα αυτό καταρχήν μοιάζει απλό, κυρίως γιατί λύνεται για ορισμένες γωνίες, π.χ. 90 ή 45 μοιρών. Για τυχαία γωνία, όμως, είναι αδύνατο με αυτούς τους περιορισμούς στην κατασκευή. Αρχικά, φαίνεται να προήλθε από τις προσπάθειες να κατασκευαστούν γεωμετρικά τα κανονικά πολύγωνα. Οι Πυθαγόρειοι (αρχές 5ου αι. π.Χ.) είχαν καταφέρει να κατασκευάσουν το κανονικό πεντάγωνο και αυτό τους ώθησε να εξετάσουν αν μπορούν να εγγράψουν σε κύκλο και άλλα κανονικά πολύγωνα με περιττό πλήθος πλευρών. Η ανάγκη για την τριχοτόμηση μίας γωνίας φάνηκε ίσως πρώτη φορά στο κανονικό εννεάγωνο, όπου θα έπρεπε να διαιρεθεί σε τρία ίσα μέρη η γωνία 120 μοιρών (γιατί η κεντρική γωνία του κανονικού εννεαγώνου είναι 40 μοιρών). Εφόσον, λοιπόν, αυτή αποτελείται από μία ορθή, που εύκολα τριχοτομείται, και μία γωνία 30 μοιρών, αρκούσε να λυθεί το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας 30 μοιρών. Εδώ ακριβώς ξεκίνησε ο μαραθώνιος εκατοντάδων μαθηματικών να βρουν λύση σ’ αυτό το ειδικό πρόβλημα και κατ’ επέκταση στο γενικότερο πρόβλημα της τριχοτόμησης οποιασδήποτε γωνίας. Είναι βέβαιο ότι ο Ιπποκράτης ο Χίος (5ος αι. π.Χ.) ήταν από τους πρώτους που συνέβαλαν ενεργά στις προσπάθειες για την εξεύρεση λύσης. Βρήκε, μάλιστα, έναν εύκολο τρόπο για την τριχοτόμηση της γωνίας, όπως φαίνεται στο σχήμα 1, χρησιμοποιώντας, όμως, τη μέθοδο της νεύσης, που δεν ήταν αποδεκτή.
Δίνεται η γωνία ΒΓ. Από το Γ φέρνουμε κάθετη ΓΔ προς την ΑΒ. Σχηματίζουμε το ορθογώνιο ΑΔΓΖ και προεκτείνουμε τη ΖΓ. Φέρνουμε την ΑΕ που τέμνει τη ΓΔ στο Η έτσι, ώστε να ισχύει ΗΕ = 2ΑΓ. Η γωνία ΕΒ είναι το ένα τρίτο της γωνίας ΒΓ. Ο Ιππίας ο Ηλείος (γύρω στο 425 π.Χ.) επινόησε την τετραγωνίζουσα, μία καμπύλη που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διαιρέσουμε μία δοσμένη γωνία σε οποιοδήποτε αριθμό ίσων γωνιών. Στο σχήμα 2, η γωνία είναι ανάλογη της απόστασης ΖΗ, όπου το Ζ ανήκει στην τετραγωνίζουσα. Για να διαιρέσουμε τη γωνία σε γνωστό λόγο, π.χ. σε τρία ίσα μέρη, αρκεί να κάνουμε το ίδιο για την απόσταση ΖΗ. Βρίσκοντας λοιπόν το σημείο Ρ για το οποίο ισχύει ΡΗ = ΖΗ και φέρνοντας από αυτό παράλληλη προς την ΑΔ, που τέμνει την τετραγωνίζουσα στο Τ, βλέπουμε ότι η γωνία είναι το ένα τρίτο της. Το πρόβλημα με αυτή τη λύση έγκειται στην ίδια την κατασκευή της τετραγωνίζουσας καμπύλης.
Στο αραβικό «Βιβλίο των Λημμάτων» αναφέρεται ότι ο Αρχιμήδης ήταν γνώστης μίας άλλης μηχανικής λύσης, που υπήρχε πιθανότατα στην πραγματεία του «Περί Ελίκων». Όπως βλέπουμε στο σχήμα 3, καθιστούμε τη δοσμένη γωνία επίκεντρη, ώστε οι ΑΒ και ΑΓ να είναι ακτίνες του κύκλου. Από το Γ φέρνουμε μία ευθεία που τέμνει τον κύκλο στο Ζ και την προέκταση της ΒΑ στο Ε με τρόπο, ώστε η ΕΖ να είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τέλος, φέρνουμε από το Α ημιευθεία ΑΔ παράλληλη προς την ΓΕ, η οποία τριχοτομεί τη γωνία.
Σε μία άλλη λύση, ο Αρχιμήδης είχε χρησιμοποιήσει και την έλικα που φέρει το όνομά του. Σε αυτήν, η γωνία περιστροφής ενός σημείου Ρ είναι ανάλογη προς την απόσταση του σημείου από τον πόλο Ο της έλικας. Αυτό σημαίνει ότι, αν καταφέρουμε να τριχοτομήσουμε την απόσταση ΟΡ, θα μπορέσουμε να τριχοτομήσουμε και τη γωνία. Στις προσπάθειές του ο Νικομήδης (γύρω στο 180 π.Χ.) επινόησε την κογχοειδή καμπύλη. Ο Απολλώνιος ο Περγαίος (3ος αι. π.Χ.) χρησιμοποίησε τις ιδιότητες των κωνικών τομών, όπως αργότερα και ο Πάππος. Αλλά ακόμα και αλγεβρικές μέθοδοι δεν καταλήγουν σε αποδεκτή λύση, π.χ. γνωρίζουμε ότι η φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο και λόγο έχει άθροισμα άπειρων όρων: + + + … =, οπότε θα μπορούσε κανείς να πει ότι διχοτομώντας συνεχώς μία γωνία και βρίσκοντας με κανόνα και διαβήτη το αυτής, το αυτής, το αυτής κ.ο.κ., θα μπορούσαμε, σε άπειρο αριθμό βημάτων, να βρούμε το ένα τρίτο της γωνίας. Όμως, και αυτή η κατασκευή, αν και δυνατή, δεν είναι αποδεκτή, γιατί θα πρέπει να ολοκληρώνεται σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Στα νεότερα χρόνια, ο διάσημος Γερμανός μαθηματικός Γκάους (1777-1855) είχε διατυπώσει την άποψη ότι δεν υπάρχει λύση, αλλά δεν την απέδειξε. Αυτός που δημοσίευσε πρώτος από όλους απόδειξη για το πότε μία γεωμετρική κατασκευή είναι δυνατή με αποκλειστική χρήση του κανόνα και του διαβήτη ήταν ο Γάλλος μαθηματικός Pierre Laurent Wantzel το 1837, στο περιοδικό «Journal» του Λιουβίλ. Τότε δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά τεκμηριωμένη απάντηση στο θέμα αυτό με τη βοήθεια της θεωρίας του Εβαρίστ Γκαλουά. Έτσι, έληξε ο μαραθώνιος των προσπαθειών να βρεθεί λύση σε ένα πρόβλημα για το οποίο δεν υπάρχει λύση. Βελτιωμένες αποδείξεις επινόησε αργότερα και ο μαθηματικός Τσαρλς Στουρμ, αλλά δεν τις δημοσίευσε ποτέ. Σύμφωνα με τη θεωρία του Ε. Γκαλουά, για να λυθεί ένα γεωμετρικό πρόβλημα, με αποκλειστική χρήση του κανόνα και του διαβήτη, θα πρέπει να ανάγεται στη λύση πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Όπως όμως απέδειξε ο Wantzel, το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας, αλλά και τα άλλα δύο «άλυτα» προβλήματα της αρχαιότητας (ο διπλασιασμός του κύβου και ο τετραγωνισμός του κύκλου), δεν έχουν αυτή την ιδιότητα. Παρ’ όλα αυτά, η ενασχόληση με αυτά δεκάδων μαθηματικών από την αρχαιότητα μέχρι το 19ο αιώνα είχε ως αποτέλεσμα να ανακαλυφθούν πολλές σημαντικές προτάσεις και εφαρμογές της γεωμετρίας.
Χρυσή τομή. Με αυτό το όνομα έμεινε γνωστή η διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, δηλαδή η διαίρεσή του σε δύο άνισα μέρη, από τα οποία το μεγαλύτερο να είναι μέσο ανάλογο του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος και του μικρότερου μέρους. Χρυσή τομή την ονόμασε ο Ιταλός μοναχός Λουκάς Πατσιόλι στο βιβλίο του «Θεϊκή Αναλογία», γιατί (σύμφωνα με τον Ομ) «με τη διαίρεση αυτή το τμήμα χωρίζεται σε δύο μέρη, κανένα από τα οποία δεν είναι αντιαισθητικά μεγαλύτερο από το άλλο». Η χρυσή τομή συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα φ (το αρχικό του ονόματος του γλύπτη Φειδία που διακόσμησε με καλλιτεχνικά αριστουργήματα την Ακρόπολη των Αθηνών) και ισούται με τον άρρητο αριθμό φ = 1,618... Η χρυσή τομή βρίσκει πολλές εφαρμογές στη γεωμετρία, την τέχνη, την αρχιτεκτονική, τη μουσική, αλλά υπάρχει και στη φύση.
Στο ανθρώπινο σώμα: Η μέση του ανθρώπου βρίσκεται στο σημείο το οποίο διαιρεί το συνολικό του ύψος σε μέσο και άκρο λόγο. Η χρυσή τομή υπάρχει και στη σχέση του μπράτσου με το χέρι, στις φάλαγγες των δακτύλων του χεριού, στη σχέση της κνήμης με το πόδι, στα στοιχεία του προσώπου και αλλού.
Στα φυτά: Ο λόγος φ εμφανίζεται στις αποστάσεις των φύλλων, όπως είναι διατεταγμένα πάνω στα κλαδιά. Η φυλλοταξία εκφράζεται ως κλάσμα, του οποίου ο παρονομαστής είναι το πλήθος των φύλλων που συνδέονται με ελικοειδή γραμμή η οποία διέρχεται από τη βάση τους και ο αριθμητής το πλήθος των περιφερειών που γράφει η γραμμή αυτή μέχρις ότου συναντήσει το υπερκείμενο φύλλο, και ανάλογα με το φυτό μπορεί να είναι 5/8, 8/13, 13/21, δηλαδή ίση με το λόγο 1/φ. Στις κουκουνάρες, στο λουλούδι του ηλιόσπορου και στο περίβλημα του ανανά, τα «λέπια» αναπτύσσονται σε έλικες, άλλες αριστερόστροφες και άλλες δεξιόστροφες. Το πλήθος των κομματιών των διαδοχικών στροφών ακολουθεί συνήθως την ακολουθία του Φιμπονάτσι: 5, 8, 13, 21, ..., της οποίας κάθε όρος προς τον προηγούμενο έχει λόγο που προσεγγίζει το λόγο φ.
Στα κοχύλια και τα όστρακα: Πολλά κελύφη οστράκων, όπως π.χ. ο ναυτίλος, αναπτύσσονται σε ελικοειδή μορφή, όπου τα μήκη των διαδοχικών στροφών έχουν λόγο φ. Η σπείρα του ναυτίλου σχηματίζεται όπως ακριβώς και η σπείρα των διαδοχικών χρυσών ορθογωνίων.
Στη μουσική: Πρώτοι οι Πυθαγόρειοι είχαν ανακαλύψει ότι οι χορδές με μήκη σε αναλογίες που προσέγγιζαν τη χρυσή τομή, παρήγαν όλες τις γνωστές αρμονικές συγχορδίες που ακούει ευχάριστα το ανθρώπινο αυτί. Στο πέμπτο βιβλίο του ο Ρωμαίος αρχιτέκτονας Βιτρούβιος γράφει: «οι τεχνίτες που κατασκευάζουν τα μουσικά όργανα, χρησιμοποιούν αυτές τις αναλογίες που έχει ορίσει η ίδια η φύση, ώστε να πετύχουν τις κατάλληλες αρμονικές συμφωνίες».
Στην τέχνη: Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν συνειδητοποιήσει την ύπαρξη του λόγου φ στη φύση, γι’ αυτό και τον χρησιμοποίησαν στα «θαύματα» της χρυσής εποχής του Περικλή. Ο λόγος π.χ. του μήκους της πρόσοψης του Παρθενώνα προς το συνολικό ύψος του ισούται με το λόγο φ. Αλλά η χρυσή τομή υπάρχει και στα κιονόκρανα, τις σπείρες που στόλιζαν τους αρχαίους ναούς και τα αγάλματα της κλασικής εποχής, που τόσο εντυπωσιάζουν με την ομορφιά και την ισορροπία τους.
Στη ζωγραφική: Στην Ιταλία και τη Γαλλία, την εποχή της αναγέννησης οι Πιέρο ντε λα Φραντσέσκα και Λεονάρντο ντα Βίντσι, την εποχή των κλασικιστών ο Πουσέν, την εποχή των μετεμπρεσιονιστών οι Σεζάν και Σερά χρησιμοποίησαν το «χρυσό κανόνα ομορφιάς» στους ζωγραφικούς τους πίνακες και έδωσαν τα αριστουργήματα που θαυμάζουμε σήμερα.
Στην αρχιτεκτονική: Το ύψος και το μισό της βάσης της Μεγάλης Πυραμίδας της Γκίζας στην Αίγυπτο έχουν λόγο φ, γι’ αυτό και φαίνεται αρμονική με το περιβάλλον, αν και τεράστια σε μέγεθος. Στο αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου, η κατασκευή του άνω και του κάτω διαζώματος έχει γίνει σύμφωνα με το λόγο φ, με αποτέλεσμα να έχει τόσο καλή ακουστική: στο πάνω διάζωμα υπάρχουν 21 κερκίδες και στο κάτω 34, ώστε ο λόγος (34 + 21) : 34  φ. Επίσης, η χρυσή τομή χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην κατασκευή της Αγίας Σοφίας στην Κωνσταντινούπολη και πολλών βυζαντινών ναών (κατόψεις, τρούλους, θόλους, όψεις). Στη νεότερη εποχή, ο Ιταλός Μπρουνελέσκι έκτισε τις εκκλησίες του Σαν Λορέντζο και του Σάντο Σπίριτο, ο Λεόν Μπατίστα Αλμπέρτι την εκκλησία του Αγίου Ανδρέα στη Μάντοβα, ο Ντονάτο Μπραμάντε το αίθριο του «Αγίου Πέτρου Ιν Μοντόριο» στη Ρώμη, ο Μικελότσι το παλάτι των Μεδίκων στη Φλωρεντία, οι Σαγκάλο και Μιχαήλ Άγγελος το παλάτι της οικογένειας Φαρνέζε –όλοι αυτοί χρησιμοποίησαν το λόγο φ στις προσόψεις και στο σχήμα των κτιρίων. Στη σύγχρονη εποχή, ο διάσημος αρχιτέκτονας Λε Κορμπιζιέ κατασκεύασε το «Μοντουλόρ» (κάνναβος για το χτίσιμο μιας οικοδομής) και πολλά κτίρια βασισμένα στις ιδιότητες της χρυσής τομής. Ακόμη και το κτίριο των Ηνωμένων Εθνών στη Νέα Υόρκη είναι ολόκληρο ένα «χρυσό ορθογώνιο», δηλαδή έχει διαστάσεις με λόγο φ.
Στην ψυχολογία: Με μία σειρά ψυχολογικών πειραμάτων στις αρχές του 20ού αιώνα οι Γερμανοί Γκούσταφ Φέχνερ και Βίλχελμ Βουντ απέδειξαν ότι οι περισσότεροι άνθρωποι προτιμούν υποσυνείδητα τις «χρυσές διαστάσεις», όταν επιλέγουν πίνακες, κάρτες, καθρέφτες, τυλιγμένα δέματα και άλλα ορθογώνια αντικείμενα.
Στα μαθηματικά: Αν πάρουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΡΑ = α και γράψουμε περιφέρεια (Ο,), που να εφάπτεται στο άκρο του Α (βλ. σχήμα), τότε η περιφέρεια (Ρ, ΡΒ), όπου Β το σημείο τομής της ΡΟ με την περιφέρεια Ο, τέμνει το ΡΑ στο Δ, που χωρίζει το ΡΑ σε μέσο και άκρο λόγο, δηλαδή Με τη χρυσή τομή ασχολείται ο Ευκλείδης στα βιβλία II και VI των στοιχείων του. Στο πρώτο από αυτά τη διατυπώνει ως εξής: «Να χωριστεί ευθύγραμμο τμήμα σε δυο μέρη τέτοια, ώστε το ορθογώνιο που έχει βάση το δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα και ύψος το μικρότερο από τα τμήματα, να είναι ισοδύναμο προς το τετράγωνο που έχει πλευρά το μεγαλύτερο από τα δυο τμήματα στα οποία χωρίστηκε το αρχικό».
Σε λόγο φ διαιρούνται οι διαγώνιες του κανονικού πενταγώνου (εμβλήματος της Σχολής των Πυθαγορείων). Η χρυσή τομή εφαρμόζεται στην κατασκευή των κανονικών πολυγώνων, ειδικότερα στην κατασκευή του κανονικού δεκαγώνου και πενταγώνου. Επίσης, παρουσιάζεται σε πολλά ενδιαφέροντα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης, στη Θεωρία των Αριθμών, στις ακολουθίες κ.α. Ο μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος Γιοχάνες Κέπλερ έγραψε: «η γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς: ο ένας είναι το θεώρημα του Πυθαγόρα και ο άλλος η χρυσή τομή».




Αρχιμήδειο στερεό σώμα ή ημιομαλό στερεό σώμα. Ένα κυρτό πολύεδρο, όταν οι έδρες του αποτελούνται από δύο διαφορετικά είδη κανονικών πολυγώνων με κοινές κορυφές, όπου όλα τα κανονικά πολύγωνα με το ίδιο πλήθος πλευρών έχουν και το ίδιο μήκος πλευρών. Τα στερεά σώματα αυτού του είδους, δεκατρία στον αριθμό, ονομάστηκαν έτσι προς τιμή του Αρχιμήδη, ο οποίος μελέτησε και τα δεκατρία διεξοδικά, αλλά δυστυχώς η πραγματεία του η σχετική με αυτά έχει χαθεί. Είναι επιβεβαιωμένο ότι ο Πλάτωνας ήξερε τουλάχιστον το ένα από αυτά. Στο έργο του «Divina Proportione» («Θεϊκή Αναλογία», περ. 1509), ο Ιταλός μοναχός Luca Paccioli (Λούκα Πατσιόλι) παρουσιάζει τρία από τα αρχιμήδεια στερεά και μάλιστα διάφορες όψεις τους δοσμένες με διαφορετική προοπτική. Τα περισσότερα από τα σχήματα αυτού του βιβλίου αποδίδονται στο Λεονάρντο ντα Βίντσι, που υπήρξε στενός φίλος του συγγραφέα. Επίσης, στο έργο του «Πραγματεία πάνω στις κατασκευές με κανόνα και διαβήτη», ο διάσημος Γερμανός ζωγράφος, αλλά και εξαίρετος γεωμέτρης, Άλμπρεχτ Ντίρερ (1471-1528) ασχολείται με επτά από τα αρχιμήδεια στερεά και παρουσιάζει την πρωτότυπη και πρωτοεμφανιζόμενη στην ιστορία μέθοδό του, με την οποία βρίσκει το ανάπτυγμα αυτών των στερεών πάνω στο επίπεδο (βλ. σχήμα) με τρόπο ώστε, αν το περίγραμμα του αναπτύγματος κοπεί, διπλωθεί κατά μήκος των εσωτερικών ακμών και κολληθεί προσεκτικά, να σχηματιστεί το τρισδιάστατο στερεό (κατασκευές πολύ συνηθισμένες πλέον στη Στερεομετρία). Τα αρχιμήδεια στερεά και τα αναπτύγματά τους μελετήθηκαν συστηματικά και από τον περίφημο αστρονόμο και μαθηματικό Γιοχάνες Κέπλερ (1571-1630). Τέλος, στον περίφημο ζωγραφικό πίνακα του Τζιάκοπο ντε Μπαρμπάρι που φυλάσσεται στο Εθνικό Μουσείο της Νεάπολης, στην Ιταλία, απεικονίζονται εκτός από το μοναχό Λουκά Πατσιόλι και το μαθητή του Γκουιντομπάλντο, Δούκα του Ούρμπινο, ένα δωδεκάεδρο πάνω στο τραπέζι, καθώς και ένα αρχιμήδειο στερεό.
Άβακας. Απλή υπολογιστική μηχανή κατάλληλη για την εκτέλεση πράξεων (κυρίως πρόσθεσης και αφαίρεσης) της αριθμητικής. Είναι το αρχαίο αριθμητήρι υπολογισμών, πρόδρομος των αριθμητικών μηχανών και των σύγχρονων ηλεκτρονικών υπολογιστών. Υπάρχουν πολλά είδη άβακα.Ο συνήθης ως σήμερα τύπος άβακα είναι αυτός με συρόμενες χάντρες - ψήφους. Ο Ηρόδοτος αναφέρει ότι τον χρησιμοποιούσαν Έλληνες, Αιγύπτιοι καί Ρωμαίοι. Ο ρωμαϊκός άβακας είναι σαν τάβλι με πούλια (κάλικες = calculi). Υπάρχει επίσης ο κινεζικός, ο ινδικός, ο ρωσικός κ.ά. Η λειτουργία τους βασίζεται στο δεκαδικό σύστημα με «τάξεις» - σύρματα μονάδων, δεκάδων, εκατοντάδων κτλ.Το γνωστό αριθμητήριο, μια μορφή άβακα, αποτελείται από πίνακες διάφορων μεγεθών και σχημάτων (κατά κανόνα ορθογώνιων). Από τις άκρες τους στερεώνονται, σε παράλληλες σειρές, σύρματα, στα οποία βρίσκονται περασμένα από το κέντρο τους ομοιόμορφα σφαιρίδια. Οι μαθηματικές πράξεις γίνονται με κατάλληλες μετακινήσεις των σφαιριδίων επάνω στα σύρματα.
Πυθαγόρειος άβακας λέγεται ο πίνακας, ο οποίος απεικονίζει τα γινόμενα του πολλαπλασιασμού, ανά δύο, όλων των μονοψήφιων αριθμών.
Αριθμός. Πλήθος μονάδων, δηλαδή το εξαγόμενο της μέτρησης κάποιου ποσού με άλλο, το οποίο παίρνουμε ως μονάδα. Αφηρημένος αριθμός είναι αυτός που δε φανερώνει το είδος των μονάδων του. Συγκεκριμένος αριθμός είναι αυτός που φανερώνει το είδος των μονάδων του.
Αβελιανή ομάδα. Η ομάδα στην οποία ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα για όλα τα στοιχεία της και όχι μόνο για το ουδέτερο και το συμμετρικό στοιχείο. Λέγεται αλλιώς και αντιμεταθετική ομάδα. Η ονομασία «αβελιανή» προήλθε από το όνομα του Νορβηγού μαθηματικού Abel Niels (1802-1829), ο οποίος μελέτησε αυτό το είδος των ομάδων (βλ. και λ. ομάδα).
Άγκιστρο. Τα σύμβολα { (αριστερό), } (δεξιό). Μέσα στα άγκιστρα τοποθετούνται τα στοιχεία ενός συνόλου, π.χ. το σύνολο των φωνηέντων του ελληνικού αλφαβήτου είναι {α, ε, η, ι, ο, υ, ω}. Πολλές φορές τα άγκιστρα παίζουν το ρόλο αγκυλών.
Αγκύλη. Τα σύμβολα [ (αριστερή αγκύλη) και ] (δεξιά αγκύλη) σημαίνουν ότι οι ποσότητες που βρίσκονται μέσα στις αγκύλες ακολουθούν την πράξη που βρίσκεται πριν από την αριστερή αγκύλη. Επίσης, χρησιμοποιούνται στην αναγραφή ενός κλειστού ή ημιανοικτού διαστήματος της ευθείας των πραγματικών αριθμών π.χ:
[3, 5] ή (3, 5] ή [3, 5).
Άγνωστος. Παράγοντας εξίσωσης ή συστήματος. Συμβολίζεται συνήθως με ένα από τα τελευταία γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφάβητου (χ, ψ, φ, ω, z, r, t) και είναι η ποσότητα που πρέπει να προσδιοριστεί. «Προσδιορίζω τον άγνωστο» σημαίνει ότι τον βρίσκω σε συνάρτηση με άλλα γνωστά μεγέθη που υπεισέρχονται στην εξίσωση ή το σύστημα.
Άγονος αριθμός. Έτσι ονομαζόταν ο αριθμός 7 από τους Πυθαγόρειους, διότι ούτε διαιρείται από μικρότερό του αριθμό ούτε διαιρεί ακριβώς κανέναν άλλον αριθμό εκτός από τα πολλαπλάσιά του.
Αδύνατη εξίσωση ή ανίσωση. Η εξίσωση (ή ανίσωση) η οποία δεν επιδέχεται λύση. Δεν υπάρχει αριθμός ο οποίος, αν τεθεί στη θέση του αγνώστου, να μπορεί να την επαληθεύσει, π.χ. αδύνατες είναι οι εξής: 0x = 6 και 0x > 5. Βέβαια, το αν είναι αδύνατη μία εξίσωση, εξαρτάται και από το σύνολο από το οποίο εκλέγουμε τις τιμές του αγνώστου, π.χ. η εξίσωση 3x = 5 είναι αδύνατη στο σύνολο των ακεραίων, αλλά δεν είναι αδύνατη στο σύνολο των ρητών αριθμών.
Αδύνατο ενδεχόμενο. Το ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης, που έχει πιθανότητα να συμβεί ίση με το μηδέν. Συμβολίζεται με το κενό σύνολο. Παράδειγμα αδύνατου ενδεχομένου αποτελεί το ακόλουθο: «φέρνουμε τον αριθμό επτά ρίχνοντας ένα κανονικό ζάρι μία φορά». Η πιθανότητα να φέρουμε ένδειξη 7 είναι μηδέν, εφόσον το ζάρι έχει έδρες με ενδείξεις 1, 2, 3, 4, 5 και 6.
Αδύνατο σύστημα (εξισώσεων ή ανισώσεων). Το σύστημα που δεν επιδέχεται λύση. Δεν υπάρχει διατεταγμένη νιάδα αριθμών, η οποία να επαληθεύει όλες τις εξισώσεις (ή τις ανισότητες) του συστήματος των ν αγνώστων.
Άθροισμα. Το αποτέλεσμα της πράξης της πρόσθεσης δύο ομοειδών πραγμάτων. Διακρίνουμε τρία είδη αθροίσματος: αριθμητικό, αλγεβρικό και γεωμετρικό. Στο αριθμητικό άθροισμα προσθέτουμε θετικούς αριθμούς, π.χ. 3 + 5 + 12. Στο αλγεβρικό άθροισμα προσθέτουμε προσημασμένους αριθμούς (δηλ. με θετικό ή αρνητικό πρόσημο) ή προσημασμένες αλγεβρικές παραστάσεις, οι μεταβλητές των οποίων παίρνουν τιμές από το C των μιγαδικών αριθμών,
π.χ. (-3) + 6 + (-3) ή 5 + (-8) + (-2) ή (2x + 5y) + (3x – 6y).
Στο γεωμετρικό άθροισμα προσθέτουμε διανύσματα. Υπάρχουν δύο τρόποι πρόσθεσης διανυσμάτων: α) Αν τα διανύσματα έχουν κοινή αρχή, τότε το άθροισμά τους είναι το διάνυσμα που έχει αρχή την κοινή αρχή τους και πέρας την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές τα δοσμένα διανύσματα. Γι’ αυτό και αυτή η μέθοδος πρόσθεσης διανυσμάτων ονομάζεται κανόνας του παραλληλογράμμου. Eφαρμόζεται μόνο για δύο διανύσματα κάθε φορά και είναι πολύ χρήσιμη στη σύνθεση δυνάμεων, ταχυτήτων κτλ.β) Αν τα διανύσματα είναι διαδοχικά, το άθροισμά τους είναι ένα διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και πέρας το πέρας του δεύτερου. Αυτός ο κανόνας εφαρμόζεται και για περισσότερα από δύο διαδοχικά διανύσματα.
Άθροισμα Ρίμαν. Δίνεται μία συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Διαιρούμε το [α, β] σε ν διαστήματα, συνήθως ίδιου πλάτους
Δx =, θεωρώντας ως σημεία διαίρεσης τα ακόλουθα: α = x0 < x1 < x2 < … < xν = β. Σε κάθε διάστημα [xκ – 1, xκ] επιλέγουμε αυθαίρετα ένα ξκ  [xκ – 1, xκ], όπου κ = 1, 2, …, ν και σχηματίζουμε το άθροισμα:
Sν = f (ξ1) Δx + f (ξ2) Δx + … + f (ξκ) Δx + … + f (ξν) Δx =
που παριστάνει το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων με βάση Δx και ύψη τις τιμές f (ξκ). (βλ. σχήμα). Το Sν ονομάζεται άθροισμα Ρίμαν (από το όνομα του B. Riemann, γύρω στο 1854) και χρησιμοποιείται για τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος συνάρτησης. Αποδεικνύεται ότι όταν η διαμέριση του [α, β] περιλάβει άπειρα υποδιαστήματα και σημεία ξκ (δηλαδή όταν το πλήθος τους ν τείνει στο + ), το άθροισμα Sν έχει όριο πραγματικό αριθμό, ανεξάρτητο από την επιλογή των αυθαίρετων σημείων ξκ. Αυτό το όριο ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το α έως το β και παριστάνεται με.
Άθροισμα σειράς. Είναι η οριακή τιμή s μιας συγκλίνουσας σειράς, δηλαδή το όριο της σειράς, όταν το n τείνει στο + . Τότε γράφουμε:
= s ή α1 + α2 + … + αν + … = s.
Αθροίσματα μερικά. Αν δοθεί η ακολουθία (αν), ν  ΙΝ * με όρους α1, α2, α3, …, αν, …, μπορούμε να σχηματίσουμε τη νέα ακολουθία (sν) με όρους s1 = α1, s2 = α1 + α2, s3 = α1 + α2 + α3 , …, sν = α1 + α2 + … + αν. Τότε κάθε όρος της (sν) ονομάζεται νιοστό μερικό άθροισμα της σειράς. Η ακολουθία (sν) των μερικών αθροισμάτων ονομάζεται σειρά.
Αθροιστική μηχανή. Υπολογιστική μηχανή ηλεκτροκίνητη ή χειροκίνητη, η οποία εκτελεί πράξεις μεταξύ αριθμών. Ο Μ. Πασκάλ, το 1642, κατασκεύασε την πρώτη αθροιστική μηχανή με οδοντωτούς τροχούς, η οποία μετέφερε τα κρατούμενα της πρόσθεσης με τη βοήθεια περιστρεφόμενου βάρους. Αργότερα τελειοποιήθηκε από τον G. Poleni (1709) και ο Schilt, το 1851, κατασκεύασε την πρώτη μηχανή με πλήκτρα. Αργότερα επινοήθηκαν οι αθροιστικές μηχανές με 10 έως 90 πλήκτρα, τοποθετημένα με μορφή πίνακα, που χρησιμοποιούνταν ως εξής: Ο χειριστής σημείωνε τους αριθμούς πατώντας τα αντίστοιχα πλήκτρα σε ταινία κυλίνδρου. Ανάλογα με την πράξη την οποία ήθελε να κάνει, πίεζε τα αντίστοιχα πλήκτρα (+, –, x, :) και το αποτέλεσμα αποτυπωνόταν στην ταινία. Σήμερα χρησιμοποιούνται ηλεκτρονικές αριθμομηχανές σε αφάνταστη ποικιλία, οι οποίες εκτελούν πολύπλοκες πράξεις ακαριαία, π.χ. βρίσκουν τετραγωνικές ρίζες, λογάριθμους, τριγωνομετρικούς αριθμούς κτλ.
Αθροιστική συνάρτηση κατανομής. Η συνάρτηση FX (x) = P (X  x),xIR μιας τυχαίας μεταβλητής Χ ενός πειράματος τύχης, η οποία εκφράζει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χ να παίρνει τιμές μικρότερες ή ίσες από μία δοσμένη τιμή x. Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
i) FX (- ) = FX (x) = 0 και FX (+ ) = FX (x) = 1.
ii) Η FX (x) είναι αύξουσα συνάρτηση του x.
iii) Η FX (x) είναι συνεχής από δεξιά, δηλαδή FX (x + h) = FX (x).
Αθροιστική συχνότητα. Όταν εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους κ ενός πληθυσμού ως προς μία ποσοτική διακριτή μεταβλητή x, ονομάζουμε αθροιστική συχνότητα Νi της τιμής xi της μεταβλητής x, όπου i = 1, 2, …, κ, το άθροισμα των απόλυτων συχνοτήτων ν i όλων των τιμών της μεταβλητής x που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή xi, δηλαδή Νi = ν1 + ν2 + … + νi , όπου i = 1, 2, …, κ. Η αθροιστική συχνότητα μιας τιμής εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων του δείγματος που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή. Είναι φανερό ότι ισχύουν: Ν1 = ν1, Νi = Ni–1 + νi για i = 2, 3, …, κ και Νκ = κ.
Παράδειγμα: Δίνεται ο αριθμός των αβγών που έκαναν 40 κότες ενός πτηνοτροφείου σε διάστημα δύο εβδομάδων, όπως φαίνεται στον Πίνακα 1.
Να υπολογίσετε τις αθροιστικές συχνότητες των παρατηρήσεων, να κατασκευάσετε το διάγραμμα και το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων και να βρείτε πόσες κότες έκαναν το πολύ 8 αβγά.Λύση: Η μεταβλητή x είναι το πλήθος των αβγών που έκαναν οι κότες και οι δυνατές τιμές της είναι: x1 = 4, x2 = 5, x3 = 6, x4 = 7, x5 = 8, x6 = 9, x7 = 10, x8 = 11, x9 = 12 με αντίστοιχες απόλυτες συχνότητες ν1 = 3, ν2 = 4, ν3 = 3, ν4 = 5, ν5 = 8, ν6 = 6, ν7 = 8, ν8 = 2, ν9 = 1. Το μέγεθος του δείγματος είναι κ = 40. Υπολογίζουμε τις αθροιστικές συχνότητες: Ν1 = ν1 = 3, Ν2 = ν1 + ν2 = 3 + 4 = 7, Ν3 = Ν2 + ν3 = 7 + 3 = 10, Ν4 = Ν3 + ν4 = 10 + 5 = 15, Ν5 = Ν4 + ν5 = 15 + 8 = 23, Ν6 = Ν5 + ν6 = 23 + 6 = 29, Ν7 = Ν6 + ν7 = 29 + 8 = 37, Ν8 = Ν7 + ν8 = 37 + 2 = 39, Ν9 = Ν8 + ν9 = 39 + 1 = 40.
Στον πίνακα 2 συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων βλέπουμε στην τρίτη στήλη την αθροιστική συχνότητα κάθε τιμής.Το διάγραμμα και το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων φαίνονται στο σχήμα.Όσο για το τρίτο ερώτημα, ζητάμε το πλήθος των πουλερικών που έκαναν 8 αβγά ή λιγότερα στο διάστημα των δύο εβδομάδων, δηλαδή την αθροιστική συχνότητα της τιμής 8. Η απάντηση είναι 23 κότες.
Αθροιστική σχετική συχνότητα. Όταν εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους κ ενός πληθυσμού ως προς μία ποσοτική διακριτή μεταβλητή x, ονομάζουμε αθροιστική σχετική συχνότητα Fi της τιμής xi της μεταβλητής x, όπου i = 1, 2, …, κ, το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων f i όλων των τιμών της μεταβλητής x που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή xi, δηλαδή Fi = f1 + f2 + … + fi , όπου i = 1, 2, …, κ. Η αθροιστική σχετική συχνότητα μιας τιμής εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή. Είναι φανερό ότι ισχύουν οι σχέσεις: F1 = f1, Fi = Fi–1 + fi για i = 2, 3, …, κ και Fκ = 1. Συνήθως όμως οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες εκφράζονται ως ποσοστά επί τοις εκατό, γι’ αυτό οι τιμές τους πολλαπλασιάζονται επί 100. Τότε συμβολίζονται με Fi % και ισχύει Fκ % = 100.
Παράδειγμα: Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του λ. αθροιστική συχνότητα να υπολογίσετε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες των τιμών της μεταβλητής x, να κατασκευάσετε το διάγραμμα και το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και να βρείτε το ποσοστό των πουλερικών που έκαναν το πολύ 6 αβγά στο διάστημα των δύο εβδομάδων.
Λύση: Θα βρούμε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες των τιμών, αφού υπολογίσουμε αρχικά τις σχετικές συχνότητες. Το μέγεθος του δείγματος είναι κ= 40. (Για τα αποτελέσματα βλ. πίνακα. Για το διάγραμμα και το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων βλ. σχήμα).Όσον αφορά το τρίτο ερώτημα, ζητάμε το ποσοστό των πουλερικών του δείγματος που έκαναν 6 αβγά ή λιγότερα στο διάστημα των δύο εβδομάδων, επομένως ζητάμε την αθροιστική σχετική συχνότητα επί τοις εκατό της παρατήρησης 6, δηλαδή το ζητούμενο ποσοστό είναι 25%.
Αναγωγή ομοίων όρων. Μαθηματικός όρος. Στα αλγεβρικά αθροίσματα, υπάρχουν μονώνυμα που είναι όμοια και άλλα που δεν είναι. Όμοια λέγονται δύο μονώνυμα όταν έχουν το ίδιο κύριο μέρος, δηλαδή περιέχουν τις ίδιες μεταβλητές και στις ίδιες δυνάμεις την καθεμία. Όταν αναφέρουμε την αναγωγή ομοίων όρων εννοούμε την εκτέλεση των πράξεων μεταξύ των όμοιων μονωνύμων του αλγεβρικού αθροίσματος με χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού των πραγματικών αριθμών ως προς την πρόσθεση των πραγματικών αριθμών. Να γίνουν οι αναγωγές ομοίων όρων στις ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις:
α) 5xy + 8xy2 – 2xy + 6x2 y – 10xy2 + 5xy2 – 2xy + 4x2y
β) 15αβγ – 2α2 + 4α2 + 2αβγ – 10αβγ – 3α2
γ) 4x3 + 5x – 2x2 + 8x – 10x3 – 3x + 6x – 10 + 5x – 2
Λύση:
α) 5xy + 8xy2 – 2xy + 6x2 y – 10xy2 + 5xy2 – 2xy + 4x2 y = 5xy – 2xy – 2xy + 8xy2 – 10xy2 + 5xy2 + 6x2 y + 4x2 y = (5 – 2 – 2) xy + (8 – 10 + 5) xy2 + (6 + 4)x2 y = xy + 3xy2 + 10x2 y
β) 15αβγ – 2α2 + 4α2 + 2αβγ – 10αβγ – 3α2 = 15αβγ + 2αβγ – 10αβγ – 2α2 + 4α2 – 3α2 = (15 + 2 – 10) αβγ + (- 2 + 4 – 3) α2 = 7αβγ – α2
γ) 4x3 + 5x – 2x2 + 8x – 10x3 – 3x + 6x – 10 + 5x – 2 = 4x3 – 10x3 – 2x2 + 5x + 8x – 3x + 6x + 5x – 10 – 2 = (4 – 10) x3 – 2x + (5 + 8 – 3 + 6 + 5) x – 12 = - 6x3 – 2x2 + 21x – 12
Αμβλεία γωνία. Κάθε κυρτή γωνία που είναι μεγαλύτερη από την ορθή γωνία, δηλαδή το μέτρο της είναι μεταξύ 90 και 180 μοιρών.
Αμβλυγώνιο τρίγωνο. Το τρίγωνο που έχει μια γωνία αμβλεία.
Αμερόληπτη εκτιμήτρια. Όρος της στατιστικής. Στη στατιστική συμπερασματολογία πολλά προβλήματα αναφέρονται στην εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού, η οποία στηρίζεται στις παρατηρήσεις μας πάνω σ’ ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα αυτού του πληθυσμού. Όμως, για να εκτιμήσουμε μία παράμετρο, πρέπει να επιλέξουμε μία συνάρτηση που ονομάζεται εκτιμήτρια, να υπολογίσουμε πειραματικά ικανό αριθμό τιμών της και με μία αξιόπιστη και όσο το δυνατό λιγότερο χρονοβόρα μέθοδο να ελέγξουμε αν η εκτιμήτρια αυτή εκφράζει πράγματι μέσα σ’ ένα ορισμένο διάστημα εμπιστοσύνης την παράμετρο ως προς την οποία εξετάζουμε τον πληθυσμό. Αν μάλιστα η μέση τιμή της συνάρτησης που επιλέξαμε είναι ίση με την παράμετρο, την τιμή της οποίας θέλουμε να εκτιμήσουμε, τότε η εκτιμήτρια αυτή ονομάζεται αμερόληπτη. Συνήθως, για τη μέση τιμή και τη διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής, χρησιμοποιούμε ως αμερόληπτες εκτιμήτριες αντίστοιχα τον αριθμητικό μέσο των n παρατηρήσεων που πήραμε από το δείγμα και τη δειγματική διασπορά.
Αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση. Λέγεται αλλιώς και αμφιμονότιμη ή «ένα προς ένα» και συμβολίζεται με «1 – 1» (το σύμβολο αυτό διαβάζεται «ένα προς ένα»). Για τον ακριβή ορισμό και τη γραφική παράσταση μιας αμφιμονοσήμαντης απεικόνισης, βλ. λ. απεικόνιση.
Αναγωγής στη μονάδα, μέθοδος. Είναι μία μέθοδος επίλυσης αριθμητικών προβλημάτων, σύμφωνα με την οποία πρώτα βρίσκουμε την τιμή της μίας μονάδας και κατόπιν από αυτήν βρίσκουμε την τιμή των πολλών μονάδων.
Παραδείγματα:
1. Για να αγοράσουμε 9 μέτρα ενός υφάσματος, δώσαμε 8,1 ευρώ. Πόσα θα πληρώναμε, αν αγοράζαμε 12 μέτρα από το ίδιο ύφασμα;
Λύση: Εφόσον τα 9 μέτρα κοστίζουν 8,1 ευρώ, το ένα μέτρο θα κοστίζει 8,1 : 9 = 0,9 ευρώ. Επομένως, για τα 12 μέτρα θα πληρώναμε: 12  0, 9 = 10, 8 ευρώ.
2. Αν 6 εργάτες χρειάζονται 7 ώρες για να πλακοστρώσουν ένα πεζοδρόμιο, πόσες ώρες θα χρειαστούν 14 εργάτες;
Λύση: Εφόσον 6 εργάτες χρειάζονται 7 ώρες, ο ένας εργάτης θα χρειαζόταν για το ίδιο έργο:
6  7 = 42 ώρες, οπότε οι 14 εργάτες θα χρειαστούν 42 : 14 = 3 ώρες.
3. Μία βρύση γεμίζει τα τρία τέταρτα μιας ορισμένης δεξαμενής σε 6 ώρες. Πόσο μέρος της θα γεμίσει σε 4 ώρες;
Λύση: Εφόσον σε 6 ώρες γεμίζει τα τρία τέταρτα της δεξαμενής, σε μία ώρα γεμίζει το της δεξαμενής. Σε 4 ώρες λοιπόν θα γεμίσει μέρος, δηλαδή τη μισή δεξαμενή.
Ανάγωγο κλάσμα. Το κλάσμα που δεν επιδέχεται απλοποίηση, δηλαδή όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του δε διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό, εκτός από τη μονάδα. Οι όροι του κλάσματος είναι τότε πρώτοι μεταξύ τους, δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι η μονάδα.
Ανάγωγο πολυώνυμο. Το πολυώνυμο Π(x) = α0xν + ρα1xν–1 + ρα2xν–2 + … +ραν όπου α0, α1, α2, ..., αν ακέραιοι και το ρ είναι πρώτος, λέγεται ανάγωγο στο σώμα των ρητών αριθμών, όταν τα α0 και αν δε διαιρούνται με το ρ.
Επίσης, το πολυώνυμο Π(x) = α0xν + α1xν–1 + ... + αλxν–λ + ραλ+1xν-λ–1 + ... + ραν, όπου α0, α1, α2, ..., αν ακέραιοι και το ρ είναι πρώτος, έχει ανάγωγο παράγοντα βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου προς το ν – λ, όταν τα αλ και αν δε διαιρούνται με το ρ.
Αν ένα πολυώνυμο είναι ανάγωγο στο σώμα των συντελεστών του, δεν μπορεί να έχει πολλαπλές ρίζες στο σώμα αυτό.
Ανάδελτα. Είναι το μαθηματικό σύμβολο  που χρησιμοποιείται στη Διανυσματική Ανάλυση. Ονομάζεται αλλιώς και Del ή Nabla και είναι ένα διάνυσμα, το οποίο έχει ως συντεταγμένες τις μερικές παραγώγους μιας συνάρτησης ή ενός διανύσματος ως προς τις μεταβλητές x, y, z των αξόνων, δηλαδή. Είναι πολύ χρήσιμο για την απλούστερη παράσταση της κλίσης μιας συνάρτησης (gradient), για τη γεωμετρική ερμηνεία του εφαπτόμενου επιπέδου σε κάποιο σημείο της επιφάνειας που παριστάνει γραφικά τη συνάρτηση σε χώρο τριών διαστάσεων και για την ευκολότερη χρήση της απόκλισης και περιστροφής ενός διανυσματικού πεδίου.
Αναδρομικός τύπος. Λέγεται αλλιώς και αναγωγικός τύπος. Είναι μία σχέση που συνδέει το γενικό όρο μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών, πολυωνύμων, παραγώγων συναρτήσεων, ολοκληρωμάτων κτλ., με πεπερασμένου πλήθους προηγούμενους όρους. Οι αναδρομικοί τύποι χρησιμοποιούνται ευρύτατα στα Μαθηματικά για να γενικευτούν προτάσεις που ισχύουν για όλους τους φυσικούς αριθμούς· αποδεικνύονται συνήθως με τη μέθοδο της επαγωγής και για να είναι χρήσιμοι, πρέπει να δοθούν οι αρχικές συνθήκες, δηλαδή ικανός αριθμός αρχικών όρων, ώστε να είναι δυνατό να βρούμε όλους τους όρους της ακολουθίας.

No comments:

Post a Comment