Friday, June 19, 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙI

Ανακλαστική ιδιότητα (ή σχέση). Μία σχέση σ μεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου ονομάζεται ανακλαστική, όταν για κάθε στοιχείο α του συνόλου ισχύει: α σ α, δηλαδή κάθε στοιχείο του συνόλου συνδέεται με τον εαυτό του μέσω της σχέσης σ.
Παραδείγματα:
1. Η ισότητα μεταξύ πραγματικών αριθμών είναι ανακλαστική, γιατί κάθε πραγματικός αριθμός είναι ίσος με τον εαυτό του ( x  ΙR, ισχύει x = x).
2. Η παραλληλία μεταξύ ευθειών του χώρου είναι ανακλαστική, γιατί κάθε ευθεία είναι παράλληλη με τον εαυτό της (ε // ε).
3. Η συγγραμμικότητα μεταξύ διανυσμάτων του χώρου έχει την ανακλαστική ιδιότητα, γιατί κάθε διάνυσμα είναι συγγραμμικό με τον εαυτό του.
4. Η ισότητα τριγώνων είναι επίσης ανακλαστική, γιατί κάθε τρίγωνο είναι ίσο με τον εαυτό του.
Παράδειγμα μη ανακλαστικής σχέσης είναι η ανισοτική σχέση μεταξύ πραγματικών αριθμών, γιατί κανένας πραγματικός αριθμός δεν είναι ούτε μεγαλύτερος ούτε μικρότερος από τον εαυτό του.
Αν μία σχέση μεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου είναι συγχρόνως ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική, τότε ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας.
Αόριστο ολοκλήρωμα. Αόριστο ολοκλήρωμα ή αρχική συνάρτηση ή παράγουσα μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα (α, β) ονομάζεται μία νέα συνάρτηση F, αν υπάρχει η παράγωγος της F(x) στο (α, β) και είναι F΄(x) = f(x), " x Î IR. Το αόριστο ολοκλήρωμα της f συμβολίζεται με και διαβάζεται: «ολοκλήρωμα της εφ του χι ντε χι». Ισχύουν τα ακόλουθα θεωρήματα:
1. Αν F(x) και G(x) είναι δύο αρχικές της συνάρτησης f στο διάστημα (α, β), τότε αυτές διαφέρουν κατά μία σταθερή ποσότητα.
2. Αν F(x) είναι μία αρχική της συνάρτησης f στο διάστημα (α, β), τότε κάθε συνάρτηση G με τύπο G(x) = F(x) + c, όπου c πραγματική σταθερά, είναι αρχική της f στο (α, β).
Ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος:
1. Τα σύμβολα d της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης, αν είναι γραμμένα το ένα μετά το άλλο, αλληλοαναιρούνται, δηλαδή: και.
2. Αν στην ολοκληρωτέα συνάρτηση υπάρχει σταθερός πραγματικός αριθμός ως παράγοντας,τότε αυτός εξέρχεται του ολοκληρώματος, δηλαδή:
3. Το αόριστο ολοκλήρωμα του αθροίσματος δύο ή περισσότερων συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των συναρτήσεων αυτών, δηλαδή:
4. Το αόριστο ολοκλήρωμα της διαφοράς δύο συναρτήσεων είναι ίσο με τη διαφορά των ολοκληρωμάτων των συναρτήσεων αυτών, δηλαδή:
5. Αν λ1, λ2, …, λν σταθεροί πραγματικοί αριθμοί, τότε ισχύει:6. Ισχύουν οι τύποι: καιΠερισσότερα στοιχεία για τις μεθόδους υπολογισμού των αόριστων ολοκληρωμάτων βλ. λ. ολοκλήρωση.
Ανάλυση κλάσματος σε αλγεβρικό άθροισμα άλλων. Με τη βοήθεια των εκ ταυτότητας ίσων ακεραίων πολυωνύμων, μπορούμε να αναλύσουμε ένα ρητό κλάσμα σε αλγεβρικό άθροισμα άλλων, συνήθως απλούστερων, κλασμάτων. Για να είναι δυνατή η ανάλυση, αν διατάξουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ως προς την ίδια μεταβλητή, θα πρέπει ο αριθμητής να είναι μικρότερου βαθμού από τον παρονομαστή. Διαφορετικά, εκτελούμε τη διαίρεση των πολυωνύμων και αναλύουμε σε άθροισμα κλασμάτων το κλάσμα που έχει αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρεσης και παρονομαστή τον ίδιο, εφόσον το υπόλοιπο θα είναι πολυώνυμο μικρότερου βαθμού από του παρονομαστή. Αναλυτικότερα, ας υποθέσουμε ότι οι όροι του κλάσματος είναι πολυώνυμα του x και ότι ο παρονομαστής έχει συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου τη μονάδα (διαφορετικά, διαιρούμε και τους δύο όρους του κλάσματος με το συντελεστή αυτό, για να γίνει μονάδα). Ο παρονομαστής μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων με πραγματικούς συντελεστές. Για κάθε πραγματική ρίζα ρ πολλαπλότητας ν, σχηματίζουμε τα κλάσματα και για κάθε μιγαδική ρίζα λ + iμ πολλαπλότητας κ τα κλάσματα: όπου οι πραγματικοί συντελεστές Αi, Bj, Γj με i = 1, 2, …, ν και j = 1, 2, …, κ θα πρέπει να προσδιοριστούν. Αναλύουμε το κλάσμα σύμφωνα με όσα αναφέραμε, εκτελούμε τις πράξεις στο δεύτερο μέλος, θεωρώντας ως ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των κλασμάτων τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος και εξισώνουμε εκ ταυτότητος τους δύο αριθμητές. Από το σύστημα που προκύπτει, προσδιορίζουμε τους συντελεστές Αi, Bj, Γj και γράφουμε το άθροισμα.
Ανισότητα του Γένσεν. Είναι μία πολύ ενδιαφέρουσα και χρήσιμη εφαρμογή των κυρτών και κοίλων συναρτήσεων. Η διατύπωσή της είναι η ακόλουθη:
Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα (α, β) και ότι υπάρχει η δεύτερη παράγωγός της σ’ αυτό το διάστημα. Θεωρούμε τυχαία x1, x2  (α, β). Τότε ισχύουν τα εξής:
1. f(μx1 + νx2) < μf(x1) + νf(x2), όταν f’’(x) > 0,  x  (α, β)
2. f(μx1 + νx2) > μf(x1) + νf(x2), όταν f’’(x) < 0,  x  (α, β)
όπου οι θετικοί αριθμοί μ και ν πληρούν τη σχέση μ + ν = 1.
Παρατήρηση:
Στην ειδική περίπτωση που μ = ,ν =, οι σχέσεις γίνονται αντίστοιχα:
3., όταν f’’(x) > 0,  x  (α, β)
4., όταν f’’(x) < 0,  x  (α, β).
Ανισότητα του Βάιερστρας. Μία ανισότητα για τους πραγματικούς αριθμούς που έχει τρεις περιπτώσεις:
Ι. Αν α1, α2, …, αν  IR+ και α1 + α2 + …+ αν = σν, τότε:
(1 + α1) (1 + α2) … (1 + αν)  1 + σν.
ΙΙ. Αν α1, α2, …, αν  IR+ και α1 + α2 + …+ αν = σν < 1, τότε:
(1 + α1) (1 + α2) … (1 + αν) <.
ΙΙΙ. Αν α1, α2, …, αν  (0, 1) και α1 + α2 + …+ αν = σν, τότε:
1 – σν  (1 - α1) (1 - α2) … (1 - αν) <.
Από αυτή την ανισότητα προκύπτει η ανισότητα του Μπερνούλι.


αξιωματικός ορισμός πιθανότητας. Έστω Ω ο δειγματοχώρος ενός πειράματος τύχης που περιέχει ν διακεκριμένα απλά ενδεχόμενα ω1, ω2, …, ων. Αν Α είναι ένα ενδεχόμενο του πειράματος, υποσύνολο του Ω, ονομάζουμε πιθανότητα του Α το λόγο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων του πειράματος προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος, δηλαδή: Ρ(Α) =, όπου Ν(Α) ο πληθικός αριθμός του συνόλου Α και Ν(Ω) ο πληθικός αριθμός του δειγματοχώρου. Ο αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας ισχύει για διακριτές τυχαίες μεταβλητές (δηλαδή για αριθμήσιμο δειγματοχώρο).
Πιθανά (Ν)
Ευνοϊκά (Α)
Πιθανότητα Ρ = Α\Ν Χ 100

1 2 3 4 5 6
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Απαλοιφής μέθοδος του Gauss. Χρησιμοποιείται στην επίλυση των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων και βασίζεται στη διαδοχική απαλοιφή των αγνώστων των εξισώσεων με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών. Ονομάζεται αλλιώς και αλγόριθμος του Gauss, καθώς και μέθοδος του επαυξημένου πίνακα. Χρησιμοποιείται από τους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με μεγάλο πλήθος εξισώσεων και αγνώστων. Για παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου, βλ. λ. επαυξημένος πίνακας.
Αντιθετοαντιστροφής, μέθοδος απόδειξης. Είναι μία έμμεση μέθοδος απόδειξης μαθηματικών προβλημάτων, στην οποία ξεκινάμε από την άρνηση του συμπεράσματος και με σωστά και λογικά βήματα, καταλήγουμε σε κάτι που αντιβαίνει στην υπόθεση της πρότασης την οποία θέλουμε να αποδείξουμε.
Παράδειγμα: Να αποδειχθεί η πρόταση: «αν το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού α είναι περιττός, τότε ο α θα είναι επίσης περιττός».
Απόδειξη:
Θα την αποδείξουμε με τη μέθοδο της αντιθετοαντιστροφής. Υποθέτουμε λοιπόν ότι ισχύει το αντίθετο του συμπεράσματος, δηλαδή υποθέτουμε ότι ο α δεν είναι περιττός και θα καταλήξουμε σε κάτι που αντιβαίνει στην υπόθεση (που είναι ότι ο α2 είναι περιττός).
Αφού ο ακέραιος α δεν είναι περιττός, θα είναι άρτιος, δηλαδή θα έχει τη μορφή α = 2κ, όπου κ ακέραιος. Βρίσκουμε το τετράγωνό του:
α2 = (2κ)2 = 4κ2 = 2  2κ2 = 2λ, όπου λ = 2κ2 ακέραιος.
Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός α2 είναι πολλαπλάσιο του 2, δηλαδή άρτιος. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι το τετράγωνο του α είναι περιττός, επομένως λανθασμένα υποθέσαμε ότι ο α είναι άρτιος. Συνεπώς, ο α είναι κι αυτός περιττός.


Αντίθετο ενδεχόμενο. Έστω Ω ο δειγματοχώρος ενός πειράματος τύχης και Α ένα ενδεχόμενό του. Ονομάζουμε αντίθετο (ή συμπληρωματικό) ενδεχόμενο του Α και το συμβολίζουμε με Α΄ ή με Ω – Α, το ενδεχόμενο που συμβαίνει, όταν δε συμβαίνει το Α. Στο διάγραμμα Venn-Euler το αντίθετο ενδεχόμενο παριστάνεται με το γραμμοσκιασμένο χωρίο.Για δύο αντίθετα ενδεχόμενα ισχύουν οι σχέσεις:
α) Α  Α΄ = 
β) Α  Α΄ = Ω
γ) Ρ(Α΄) = 1 – Ρ(Α)
Το αντίθετο του δειγματοχώρου Ω είναι το .
Αντιθετοαντίστροφη πρόταση. Έστω «p  q» μία συνεπαγωγή μεταξύ δύο προτάσεων p και q. Ονομάζουμε αντιθετοαντίστροφη αυτής τη συνεπαγωγή «q  p», η οποία είναι ισοδύναμη με την αρχική συνεπαγωγή, όπως άλλωστε φαίνεται και στον πίνακα αληθείας (η τρίτη και η έκτη στήλη είναι ίδιες).
Αυτό σημαίνει ότι όταν θέλουμε να αποδείξουμε μία συνεπαγωγή, αρκεί να αποδείξουμε ότι ισχύει η αντιθετοαντίστροφή της. Αντί δηλαδή να ξεκινήσουμε από την υπόθεση και να καταλήξουμε στο συμπέρασμα, ξεκινάμε από την άρνηση του συμπεράσματος και καταλήγουμε στην άρνηση της υπόθεσης. Εφόσον καταλήξαμε σε κάτι που δεν ισχύει, αυτό θα σημαίνει ότι και η πρόταση από την οποία ξεκινήσαμε (η άρνηση του συμπεράσματος), δεν είναι αληθής, άρα θα είναι αληθές το συμπέρασμα της πρότασης που θέλαμε να αποδείξουμε.
Αντικατάσταση. Θεωρούμε σύνολο Σν = {α1, α2, ..., αν}, όπου ν φυσικός αριθμός και α1, α2, …, αν διακεκριμένα αντικείμενα. Ονομάζουμε αντικατάσταση του συνόλου Σν κάθε αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του Σν επί του εαυτού του. Η αντικατάσταση παριστάνεται από έναν πίνακα με 2 γραμμές και ν στήλες, δηλαδή
όπου οι αριθμοί κ1, κ2, …, κν είναι οι αριθμοί 1, 2, …, ν γραμμένοι ενδεχομένως με διαφορετική διάταξη. Η πρώτη γραμμή του πίνακα έχει τα πρότυπα και η δεύτερη τις εικόνες μέσω της αντικατάστασης.
Παράδειγμα: Αντικαταστάσεις του συνόλου Α = {α, ε, η, ι, ο, υ, ω} των φωνηέντων του αλφάβητου παριστάνουν οι πίνακες: κτλ.
Το πλήθος ν λέγεται βαθμός της αντικατάστασης. Σε μία αντικατάσταση δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία αναγράφονται τα στοιχεία της πρώτης γραμμής. Ονομάζουμε ταυτοτική (ή μονάδα) την αντικατάσταση στην οποία οι δύο γραμμές είναι η ίδια μετάθεση. Το γινόμενο δύο αντικαταστάσεων
S = και Τ = είναι η αντικατάσταση: S  T =
Στο γινόμενο αντικαταστάσεων δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, αλλά ισχύει η προσεταιριστική. Αν Ε είναι η ταυτοτική αντικατάσταση βαθμού ν και S μία αντικατάσταση του ίδιου βαθμού, τότε η αντίστροφη αντικατάσταση συμβολίζεται με S–1 και ικανοποιεί τη σχέση: S  S–1= S–1  S = E.
Ο μικρότερος φυσικός κ για τον οποίο είναι Sκ = Ε λέγεται τάξη της S.
Η αντικατάσταση S = σημαίνει ότι το 1 αντιστοιχεί στο 3, το 3 στο 4 και το 4 στο 1. Ακόμη, το 2 στο 2, το 5 στο 6 και το 6 στο 5. Αυτά σημειώνονται ως εξής: S = (1, 3, 4) (2) (5, 6) Τα τρία αυτά σύμβολα λέγονται κύκλοι. Σε κύκλο κάθε στοιχείο αντικαθίσταται με το επόμενό του κυκλικά. Οι κύκλοι με δύο στοιχεία λέγονται μεταβάσεις και κάθε κύκλος μετατρέπεται σε γινόμενο μεταβάσεων.
Το σύνολο των αντικαταστάσεων ν διαφορετικών αντικειμένων έχει πληθάριθμο ν! και αποτελεί ομάδα με πράξη συνθέσεως το γινόμενο αντικαταστάσεων. Κάθε υποσύνολό του λέγεται σύμπλεγμα. Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να αποτελεί το σύμπλεγμα ομάδα είναι το γινόμενο δύο οποιωνδήποτε στοιχείων του να ανήκει στο σύμπλεγμα, δηλαδή το σύμπλεγμα να είναι κλειστό ως προς το γινόμενο αντικαταστάσεων.
Οι αντικαταστάσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην Άλγεβρα Galois, καθώς και στη Συνδυαστική Ανάλυση, όπου με τη βοήθειά τους ορίζονται οι μεταθέσεις και οι διατάξεις ν διακεκριμένων αντικειμένων.
Αντιστροφή. Θεωρούμε τους ν πρώτους φυσικούς αριθμούς 1, 2, …, ν με τη φυσική τους σειρά, δηλαδή καθένας από αυτούς βρίσκεται πριν από τους μεγαλύτερους και μετά τους μικρότερούς του. Αν για ένα ζεύγος φυσικών αριθμών από μία άλλη μετάθεση των ν αυτών φυσικών αριθμών, συμβαίνει ένας μικρότερος να ακολουθεί μεγαλύτερό του, τότε λέμε ότι η μετάθεση των φυσικών που θεωρήσαμε παρουσιάζει αντιστροφή. Παραδείγματα:
1. Η μετάθεση 1, 2, 3, 4 δεν παρουσιάζει αντιστροφή, όμως η μετάθεση 1, 3, 2, 4 παρουσιάζει μία αντιστροφή (την 3, 2) και η μετάθεση 3, 1, 4, 2 παρουσιάζει τρεις αντιστροφές (την 3, 1, την 3, 2 και την 4, 2).
2. Πόσες αντιστροφές υπάρχουν στη μετάθεση 5, 4, 3, 2, 1; Να γενικεύσετε το ερώτημα για τους αριθμούς ν, ν – 1, …, 3, 2, 1.
Λύση: Το 5 παρουσιάζει τέσσερις αντιστροφές, το 4 τρεις, το 3 δύο, το 2 μία και το 1 καμία. Συνολικά έχουμε: 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10 αντιστροφές. Γενικότερα, αν έχουμε τη μετάθεση ν, ν – 1, ν – 2, …, 3, 2, 1, τότε το ν παρουσιάζει ν – 1 αντιστροφές, το ν – 1 παρουσιάζει ν – 2 αντιστροφές και ούτω καθεξής και τέλος το 2 παρουσιάζει μία αντιστροφή. Άρα συνολικά έχουμε: ν – 1 + ν – 2 + … + 3 + 2 + 1 = = αντιστροφές. Ονομάζουμε μία απλή μετάθεση των φυσικών αριθμών 1, 2, …, ν άρτια, όταν παρουσιάζει άρτιο πλήθος αντιστροφών, και περιττή, όταν παρουσιάζει περιττό πλήθος αντιστροφών.
Αντίστροφη απεικόνιση. Δίνεται μία απεικόνιση σ από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β, σύμφωνα με την οποία στο στοιχείο x απεικονίζεται το στοιχείο y. Ορίζουμε ως αντίστροφη της απεικόνισης σ, την απεικόνιση σ–1 από το σύνολο Β στο σύνολο Α, σύμφωνα με την οποία ισχύε:
Για το γράφημα της αντίστροφης ισχύει: G = {(x, y) / (y, x) Î B ´ A : (x, y) Î Gσ}, όπου Gσ είναι το γράφημα της απεικόνισης σ.
Αντίστροφη εξίσωση. Η γενική μορφή μιας πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού ν είναι:
αν xν + αν – 1 xν – 1 + … + α1 x + α0 = 0, όπου αi Î IR με αν ¹ 0.
Αν ονομάσουμε το πρώτο μέλος f(x), ορίζουμε ως αντίστροφη εξίσωση εκείνη για την οποία ισχύει η σχέση: xν × f= κ × f(x), όπου κ σταθερός αριθμός. Αποδεικνύεται ότι ο αριθμός κ μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές 1 και –1. Στην περίπτωση κ = 1, έχουμε την αντίστροφη εξίσωση πρώτου είδους, ενώ στην περίπτωση κ = –1, έχουμε την αντίστροφη δευτέρου είδους. Ισχύουν τα ακόλουθα θεωρήματα:
α) Στις αντίστροφες εξισώσεις πρώτου είδους, οι συντελεστές των όρων που ισαπέχουν από τους άκρους όρους είναι ίσοι. Π. χ. η εξίσωση: 3x4 + 2x3 + 5x2 + 2x + 3 = 0.
β) Στις αντίστροφες εξισώσεις δευτέρου είδους, οι συντελεστές των όρων που ισαπέχουν από τους άκρους όρους είναι αντίθετοι. Π. χ. η εξίσωση: 3x3 – 2x2 + 2x – 3 = 0.
γ) Κάθε αντίστροφη εξίσωση περιττού βαθμού έχει ρίζα τον αριθμό 1, αν είναι δευτέρου είδους και το –1, αν είναι πρώτου είδους.
δ) Οι ρίζες, εκτός του 1 και του –1, μιας αντίστροφης εξίσωσης περιττού βαθμού είναι ρίζες αντίστροφης εξίσωσης άρτιου βαθμού και πρώτου είδους.
ε) Αν ο αριθμός ρ ¹ ±1 είναι ρίζα αντίστροφης εξίσωσης, τότε και ο αριθμός είναι ρίζα της ίδιας εξίσωσης και μάλιστα με τον ίδιο βαθμό πολλαπλότητας.
Αντίστροφος ενός πίνακα. Όταν δίνεται ένας τετραγωνικός πίνακας Α νιοστής τάξης, ονομάζουμε αντίστροφο του Α έναν άλλο τετραγωνικό πίνακα της ίδιας τάξης, ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με τον Α, είτε από δεξιά είτε από αριστερά, το αποτέλεσμα να είναι το ουδέτερο στοιχείο στον πολλαπλασιασμό των πινάκων, δηλαδή ο μοναδιαίος πίνακας Ι (βέβαια και αυτός θα είναι της ίδιας τάξης με τους άλλους δύο). Ο αντίστροφος ενός πίνακα, σε περίπτωση που υπάρχει, είναι μοναδικός, συμβολίζεται με Α–1 και δίνεται από τον τύπο: Α–1 = × adj A, όπου με συμβολίζεται η ορίζουσα του πίνακα Α και με adj A o προσαρτημένος πίνακας του Α. Η μοναδικότητα του αντιστρόφου ενός πίνακα (σε περίπτωση που υπάρχει) αποδεικνύεται εύκολα με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο και με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού πινάκων. Όταν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα, τότε αυτός λέγεται αντιστρέψιμος. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας πίνακας αντιστρέψιμος είναι: να είναι τετραγωνικός και η ορίζουσά του να είναι διάφορη του μηδενός.
Ανάλυση. Πρόκειται για το πρώτο βήμα μίας πολύ χρήσιμης μεθόδου επίλυσης, γεωμετρικών κυρίως, προβλημάτων και κατασκευών, που περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα: ανάλυση - σύνθεση - απόδειξη - διερεύνηση. Στην ανάλυση, θεωρούμε γνωστά τα ζητούμενα στοιχεία του προβλήματος, υποθέτουμε ότι η κατασκευή του σχήματος που πρέπει να κατασκευαστεί έχει ήδη γίνει, μελετούμε το σχήμα και συμπεραίνουμε ποια στοιχεία χρειάζονται για την πραγματοποίηση της κατασκευής και την απόδειξη των συλλογισμών μας κατά την αντίστροφη πορεία. Με άλλα λόγια, στην ανάλυση αναχωρούμε από το ζητούμενο που το παίρνουμε ως γνωστό και καταλήγουμε σε γνωστά από την υπόθεση στοιχεία με τη χρήση αντιστρεπτών θεωρημάτων. Στη σύνθεση, περιγράφουμε την κατασκευή του σχήματος με γεωμετρικές μεθόδους (δηλαδή με κανόνα και διαβήτη) συνήθως με αντίστροφη πορεία από αυτήν που χρησιμοποιήσαμε στην ανάλυση και χωρίς να εξηγούμε με λεπτομέρειες, γιατί ακολουθούμε τα συγκεκριμένα βήματα. Στην απόδειξη, παραθέτουμε τους συλλογισμούς που απαιτούνται, για να αποδειχθεί πέρα από κάθε αμφισβήτηση ότι η κατασκευή όπως έγινε, είναι η σωστή και σύμφωνη με τα δεδομένα στοιχεία. Τέλος, στη διερεύνηση, εξετάζουμε αν τα δεδομένα του προβλήματος δίνουν μία ή περισσότερες λύσεις, αλλά εξετάζουμε και τις περιπτώσεις εκείνες στις οποίες το πρόβλημα δεν έχει λύση.
Ανάλυση φυσικού αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι ακέραιοι που είναι μεγαλύτεροι από το 1 και διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα, δηλαδή είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 κλπ. Ισχύει το θεώρημα: «κάθε φυσικός αριθμός αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και μάλιστα κατά μοναδικό τρόπο, αν δε ληφθεί υπόψη η διάταξη γραφής τους». Η ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων γίνεται ως εξής: Γράφουμε τον αριθμό και δεξιά του μία κατακόρυφη γραμμή. Δεξιά της γραμμής αυτής και στην ίδια σειρά με τον αριθμό, γράφουμε το μικρότερο πρώτο αριθμό με τον οποίο αυτός διαιρείται (για τα κριτήρια διαιρετότητας, βλ. αντίστοιχο λ.). Κάτω από τον αριθμό μας, στα αριστερά της γραμμής, γράφουμε το πηλίκο της διαίρεσής του με τον πρώτο που γράψαμε. Στη συνέχεια, γράφουμε στα δεξιά του πηλίκου το μικρότερο πρώτο αριθμό με τον οποίο αυτό διαιρείται (μπορεί να είναι ίδιος με τον προηγούμενο πρώτο αν πάλι γίνεται η διαίρεση) και από κάτω του το νέο πηλίκο. Συνεχίζουμε τη διαδικασία αυτή, έως ότου στην αριστερή μεριά της κατακόρυφης γραμμής, να έχουμε πηλίκο το 1. Ο αριθμός από τον οποίο ξεκινήσαμε, θα είναι ίσος με το γινόμενο όλων των πρώτων που υπάρχουν δεξιά της γραμμής.
Π.χ. Να αναλυθούν σε γινόμενο πρώτων παραγόντων οι αριθμοί: 250, 180, 64, 363, 231
Άρα οι αριθμοί γράφονται:
250 = 2 ∙ 53 180 = 22 ∙ 32 ∙ 5 64 = 26 363 = 3 ∙ 112 231 = 3 ∙ 7 ∙ 11.
Η ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι πολύ χρήσιμη στον υπολογισμό του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη και του Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλάσιου δύο ή περισσότερων αριθμών, καθώς και στην απλοποίηση ενός κλάσματος.
Αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων. Πρόκειται για έναν τύπο, που δίνει το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε σχέση με τις συντεταγμένες τους σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς του επιπέδου ή του χώρου. Αν υποθέσουμε ότι τα διανύσματα και έχουν συντεταγμένες αντίστοιχα (x 1, y 1) και (x 2, y 2), τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους, δηλαδή: = x1 × x2 + y1 × y2.
Αν τα διανύσματα έχουν συντεταγμένες (x1, y1, z1) και (x2, y2, z2) σε τρισδιάστατο ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς, τότε ο τύπος γίνεται:
= x1 × x2 + y1 × y2 + z1 × z2.
Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων, μπορούμε να βρούμε το τετράγωνο ενός διανύσματος.
Αίτημα. Κάθε πρόταση την οποία δεχόμαστε για αληθινή, χωρίς να είναι από μόνη της φανερή ή να μπορεί να αποδειχτεί, και με τη βοήθεια της οποίας αποδεικνύουμε άλλες προτάσεις (εννοείται χωρίς να φτάνουμε σε άτοπο).
Ακεραία περιοχή. Είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με μονάδα, που δεν περιέχει διαιρέτες του μηδενός, δηλαδή το γινόμενο ορισμένου πλήθους στοιχείων του μπορεί να είναι ίσο με το μηδέν (το ουδέτερο στοιχείο ως προς την πρώτη πράξη του δακτυλίου) τότε και μόνο τότε όταν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντές του είναι ίσος με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στην ακεραία περιοχή ισχύει η σχέση: α×β = 0 Û α = 0 ή β = 0, για οποιαδήποτε στοιχεία α και β του συνόλου. Παράδειγμα ακεραίας περιοχής αποτελεί το σύνολο των ακεραίων αριθμών με πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ακεραίων. Αντίθετα δεν αποτελεί ακεραία περιοχή το σύνολο Π2 των τετραγωνικών πινάκων 2 • 2, διότι υπάρχουν μη μηδενικοί πίνακες που έχουν γινόμενο ίσο με το μηδενικό πίνακα, π.χ.
Ακέραιη αλγεβρική παράσταση. Είναι μία αλγεβρική παράσταση, στην οποία δεν περιέχεται μεταβλητή στον παρονομαστή κάποιου κλάσματος ή στην υπόρριζη ποσότητα κάποιου ριζικού, π.χ. xy2, 2x + 3y5 – 7z, x- 4y. Ειδικές περιπτώσεις είναι το ακέραιο μονώνυμο, π.χ. –7xy4z2, και το ακέραιο πολυώνυμο, π.χ. 3x2 + 6x – 4. Ακέραιη συνάρτηση μιας μεταβλητής xÎC ονομάζεται κάθε ακέραιο πολυώνυμο της x ή γενικότερα κάθε συνάρτηση που ορίζεται από μία ακέραιη συγκλίνουσα σειρά με ακτίνα σύγκλισης άπειρο.
Ακέραιο μέρος. Ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού ονομάζεται ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υπερβαίνει τον αριθμό, συμβολίζεται με [x] και διαβάζεται «ακέραιο μέρος του x». Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, θα ισχύει: [x] £ x.
Παραδείγματα:
1. Το ακέραιο μέρος ενός ακεραίου είναι ο ίδιος ο αριθμός, π.χ. [3] = 3, [-2] = -2.
2. Χρειάζεται προσοχή στον υπολογισμό του ακέραιου μέρους ενός θετικού και ενός αρνητικού αριθμού, π.χ. [3,8] = 3 και [0,12] = 0, αλλά [-3,8] = -4 και [-0,12] = -1.
Ακέραιος αριθμός. Στοιχείο του συνόλου Ζ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. Το Ζ περιέχει τους θετικούς ακεραίους (φυσικούς), τους αρνητικούς ακεραίους και το μηδέν. Διακρίνουμε επίσης τα σύνολα:
Ζ* = Ζ – {0},
Ζ+ = ΙΝ = {0, 1, 2, 3, ...},
Ζ - = {..., –3, –2, –1, 0},
Ζ = {1, 2, 3, ...},
Ζ = {..., –3, –2, –1}.
Η εισαγωγή της έννοιας των ακεραίων αριθμών κρίθηκε απαραίτητη, ώστε να οριστεί πλήρως η πράξη της αφαίρεσης μεταξύ φυσικών αριθμών. Ενώ δηλαδή η πρόσθεση δύο φυσικών αριθμών δίνει πάντοτε αποτέλεσμα φυσικό αριθμό, η αφαίρεση δεν είναι πάντα δυνατή στο ΙΝ , π.χ. η αφαίρεση 3 – 5 δε δίνει φυσικό αριθμό. Αντίθετα, στο σύνολο των ακεραίων η αφαίρεση πραγματοποιείται πάντοτε, γι’ αυτό λέμε ότι το Ζ είναι σύνολο κλειστό ως προς την πράξη της αφαίρεσης.
Σύγκριση ακεραίων. Δύο ακέραιοι αριθμοί είναι ίσοι, όταν έχουν την ίδια απόλυτη τιμή και το ίδιο πρόσημο και παριστάνονται από το ίδιο σημείο πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Ο ακέραιος αριθμός α είναι μεγαλύτερος από τον ακέραιο αριθμό β, αν και μόνο αν η διαφορά α – β είναι θετικός αριθμός, δηλαδή α > β Û α – β > 0. Ο ακέραιος αριθμός α είναι μικρότερος από τον ακέραιο αριθμό β, αν και μόνο αν η διαφορά α – β είναι αρνητικός αριθμός, δηλαδή α < β Û α – β < 0.
Στους ακεραίους ισχύει το αξίωμα της τριχοτομίας, δηλαδή μεταξύ δύο ακεραίων α και β θα ισχύει μία και μόνο μία από τις σχέσεις: α = β ή α > β ή α < β. Έτσι, κάθε ακέραιος είναι ή ίσος με το μηδέν ή μεγαλύτερος από το μηδέν, οπότε έχει πρόσημο (+) και ονομάζεται θετικός, π.χ. 4, 95, 120, ή μικρότερος από το μηδέν, οπότε έχει πρόσημο (–) και ονομάζεται αρνητικός, π.χ. –3, –35, –438. Δύο ακέραιοι λέγονται ομόσημοι όταν έχουν το ίδιο πρόσημο, δηλαδή όταν είναι και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί, π.χ. οι αριθμοί 54 και 89 ή οι αριθμοί –34 και –39, ενώ λέγονται ετερόσημοι όταν έχουν διαφορετικό πρόσημο, δηλαδή ο ένας είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός, π.χ. οι αριθμοί –432 και 321.
Πράξεις μεταξύ των ακεραίων. Στο σύνολο Ζ των ακεραίων ορίζονται: η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.
α) Πρόσθεση ακεραίων:
Αν οι δύο ακέραιοι είναι ομόσημοι, τότε προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμε το ίδιο πρόσημο που έχουν αυτοί, π.χ. (+6) + (+81) = +87 και (–84) + (–52) = –136.
Αν οι δύο ακέραιοι είναι ετερόσημοι, τότε αφαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο του μεγαλύτερου κατ’ απόλυτη τιμή, π.χ. (+10) + (–14) = –4 και (+34) + (–32) = +2.
Στην πρόσθεση των ακεραίων ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή α+β = β+α, η προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή (α+β)+γ = α+(β+γ), υπάρχει ουδέτερο στοιχείο που είναι το μηδέν, δηλαδή ισχύει η σχέση α+0 = 0+α = α, για κάθε ακέραιο αριθμό α, και υπάρχει συμμετρικό στοιχείο για κάθε ακέραιο α, ονομάζεται αντίθετος του α, συμβολίζεται με –α και έχει την ίδια απόλυτη τιμή με τον α, αλλά αντίθετο πρόσημο, π.χ. οι αριθμοί +15 και –15. Το (Ζ, +) είναι δηλαδή μία αβελιανή ομάδα.
Με βάση αυτές τις ιδιότητες και κυρίως την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική, στην περίπτωση που θέλουμε να προσθέσουμε περισσότερους από δύο προσθετέους, τότε είναι απλούστερο να προσθέτουμε χωριστά τους θετικούς και τους αρνητικούς και στη συνέχεια τα δύο αθροίσματα μεταξύ τους, π.χ. (–14) + (+23) + (+56) + (–25) + (–60) + (+81) = (+160) + (–99) = +61.
β) Αφαίρεση ακεραίων:
Για να αφαιρέσουμε δύο ακεραίους, προσθέτουμε στον πρώτο τον αντίθετο του δεύτερου, δηλαδή χρησιμοποιούμε τον τύπο: α – β = α + (–β), π.χ. 3 – 4 = 3 + (–4) = –1, (–2) – (+6) = (–2) + (–6) = –8, (+5) – (–2) = (+5) + (+2) = 7.
γ) Πολλαπλασιασμός ακεραίων:
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ακεραίους, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε το πρόσημο που προκύπτει από το λεγόμενο κανόνα των προσήμων :

(+) × (+) = +
(+) × (–) = –
(–) × (–) = +
(–) × (+) = –
π.χ. (+8) • (+7) = +56,
(–40) • (–31) = +1.240,
(–12) • (+2) = –24,
(+32) • (–10) = –320.
Ο ίδιος κανόνας ισχύει και στην περίπτωση που έχουμε περισσότερους από δύο παράγοντες. Επειδή άρτιο πλήθος αρνητικών προσήμων δίνουν θετικό πρόσημο και περιττό πλήθος αρνητικών προσήμων δίνουν αρνητικό πρόσημο, ενώ το πλήθος των θετικών προσήμων δεν επηρεάζει το τελικό πρόσημο, είναι ευκολότερο να μετράμε το πλήθος των πλην (–) στο γινόμενο και ανάλογα να βρίσκουμε το τελικό πρόσημο κατευθείαν, π.χ. (+1) (+1) (–1) (–1)(–1) = –1, διότι έχουμε τρία (–) στο γινόμενο, ενώ (–1) (+1) (+1) (–1)(–1) (–1) (+1) (–1) (–1) = +1, διότι έχουμε έξι (–) στο γινόμενο.
Στον πολλαπλασιασμό των ακεραίων ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή α • β = β • α, η προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή (α • β) • γ = α • (β • γ), υπάρχει ουδέτερο στοιχείο και είναι η θετική μονάδα, δηλαδή ισχύει α • 1 = 1 • α = α, για κάθε ακέραιο αριθμό α, ενώ δεν υπάρχει συμμετρικό στοιχείο, παρά μόνο για το 1 και το –1, που έχουν συμμετρικό τον εαυτό τους, δηλαδή 1 • 1 = 1 και (–1) – (–1) = 1.
Επίσης, ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση ακεραίων, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: α • (β + γ) = α • β + α • γ και α • (β – γ) = α • β – α • γ. Εδώ εντάσσεται και η περίπτωση να υπάρχει πρόσημο μπροστά από παρένθεση, μέσα στην οποία υπάρχουν προσθετέοι. Τότε θεωρούμε ότι μπροστά από την παρένθεση έχουμε συντελεστή το 1 με το υπάρχον πρόσημο και τότε ισχύει ο κανόνας: όταν μπροστά από την παρένθεση υπάρχει πρόσημο (+), οι όροι που βρίσκονται μέσα σ’ αυτή βγαίνουν διατηρώντας το πρόσημό τους, π.χ. 4 + (–2 + 6 – 7) = 4 – 2 + 6 – 7 = 10 – 9 = 1, ενώ όταν υπάρχει πρόσημο (–), οι όροι που βρίσκονται μέσα στην παρένθεση βγαίνουν με αλλαγμένο πρόσημο, π.χ. 3 – (5 + 8 – 7 + 3 – 4) = 3 – 5 – 8 + 7 – 3 + 4 = 14 – 16 = –2.
Επειδή ένα γινόμενο ορισμένου πλήθους ακεραίων μπορεί να μηδενιστεί μόνο όταν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντές του είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή α • β = 0 Þ α = 0 ή β = 0, το Ζ δεν περιέχει διαιρέτες του μηδενός, έτσι το Ζ εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι μία ακεραία περιοχή.
δ) Διαίρεση ακεραίων:
Για να διαιρέσουμε δύο ακεραίους, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και βρίσκουμε το πρόσημο με τον ίδιο κανόνα των προσήμων που ισχύει και στον πολλαπλασιασμό, π.χ.
(+6) : (+3) = +2,
(+6) : (–3) = –2,
(–6) : (+3) = –2,
(–6) : (–3) = +2.
Ενώ όμως το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο ακεραίων είναι πάντοτε ακέραιος αριθμός, το πηλίκο δύο ακεραίων μπορεί να μην είναι ακέραιος, π.χ. 5 : 3, δηλαδή το σύνολο Ζ δεν είναι κλειστό ως προς τη διαίρεση. Αυτό ακριβώς το πρόβλημα οδήγησε τους μαθηματικούς να ορίσουν τους ρητούς αριθμούς και να επεκτείνουν το σύνολο Ζ.
Προβλήματα ακεραίων αριθμών. Ονομάζονται τα προβλήματα που λύνονται με τη βοήθεια των τεσσάρων πράξεων των ακεραίων αριθμών και περιλαμβάνουν τις εξής κατηγορίες:
α) προβλήματα των τεσσάρων πράξεων με φυσικούς αριθμούς
β) προβλήματα με προσημασμένους αριθμούς
γ) προβλήματα απλής και σύνθετης μεθόδου των τριών
δ) προβλήματα ποσοστών
ε) προβλήματα τόκων
στ) προβλήματα υφαίρεσης (εξωτερικής και εσωτερικής)
ζ) προβλήματα μερισμού
η) προβλήματα εταιρείας
θ) προβλήματα εργασίας και δεξαμενών
ι) προβλήματα κίνησης
ια) προβλήματα ανάμειξης διαλυμάτων
ιβ) προβλήματα κραμάτων
Σε αυτό το λήμμα θα ασχοληθούμε μόνο με τις δύο πρώτες περιπτώσεις. Τα υπόλοιπα εξετάζονται στα αντίστοιχα λήμματα.
α) Προβλήματα των τεσσάρων πράξεων με φυσικούς αριθμούς
1. Σε ένα εργοστάσιο απασχολούνται 38 εργάτες. Από αυτούς οι 15 αμείβονται με μισθό 820 ευρώ το μήνα, ενώ οι υπόλοιποι με 530 ευρώ το μήνα. Σε ποιο ποσό ανέρχεται η συνολική μηνιαία αποζημίωση των εργατών;
Λύση:
Αρχικά βρίσκουμε πόσοι εργάτες αμείβονται με 530 ευρώ το μήνα. Αυτοί είναι 38 – 15 = 23. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το συνολικό ποσό που παίρνουν οι 15 εργάτες: 15 × 820 = 12.300 ευρώ και το συνολικό ποσό που παίρνουν οι 23 εργάτες: 23 × 530 = 12.190 ευρώ. Άρα η συνολική μηνιαία αποζημίωση για όλους τους εργάτες είναι: 12.300 + 12.190 = 24.490 ευρώ.
2. Ένα πλοίο διατρέχει την απόσταση μεταξύ δύο λιμανιών σε 9 ώρες, όταν αναπτύσσει ταχύτητα 24 κόμβων την ώρα. Πόσο θα πρέπει να αυξήσει την ταχύτητά του την επόμενη φορά, ώστε να συντομεύσει την ίδια διαδρομή κατά μία ώρα;
Λύση:
Βρίσκουμε την απόσταση μεταξύ των δύο λιμανιών, πολλαπλασιάζοντας την ταχύτητα του πλοίου με τον αριθμό των ωρών διάρκειας του ταξιδιού: 24 × 9 = 216 κόμβοι. Την ίδια απόσταση πρέπει να την καλύψει σε μία ώρα λιγότερη, δηλ. σε 9 – 1 = 8 ώρες, οπότε για να βρούμε την ταχύτητα με την οποία θα πρέπει να κινηθεί την επόμενη φορά, διαιρούμε την απόσταση με το χρόνο, άρα: 216 : 8 = 27 κόμβοι την ώρα.
3. Ένας πατέρας κληροδότησε στους τρεις γιους του ένα χρέος 1.800 ευρώ, με τον όρο οι δύο μεγαλύτεροι να εξοφλήσουν ο καθένας 150 ευρώ περισσότερα από το μικρότερο γιο. Πόσο θα πληρώσει τελικά κάθε γιος;
Λύση:
Αν από το σύνολο των χρημάτων που πρέπει να πληρώσουν, αφαιρέσουμε 150 + 150 = 300 ευρώ, τότε οι τρεις αδελφοί θα μοιραστούν το υπόλοιπο, δηλαδή το ποσό των 1.800 – 300 = 1.500 ευρώ θα μοιραστεί εξίσου στους τρεις. Έτσι 1.500 : 3 = 500 ευρώ, οπότε οι δύο μεγαλύτεροι θα πληρώσουν 500 + 150 = 650 ευρώ ο καθένας και ο μικρότερος 500 ευρώ.
4. Ένας έμπορος αγόρασε ύφασμα με 3.400 ευρώ και όταν το πούλησε, εισέπραξε 4.420 ευρώ, κερδίζοντας μ’ αυτόν τον τρόπο 3 ευρώ το μέτρο. Πόσα μέτρα ύφασμα αγόρασε;
Λύση:
Το συνολικό κέρδος του εμπόρου ήταν 4.420 – 3.400 = 1.020 ευρώ. Εφόσον κέρδισε 3 ευρώ το μέτρο υφάσματος, το πλήθος των μέτρων που αγόρασε ήταν 1.020 : 3 = 340 μέτρα.
5. Ένα σπίτι με το οικόπεδό του πουλήθηκε 160.000 ευρώ. Αν η αξία του σπιτιού είναι πενταπλάσια από την αξία του οικοπέδου και 10.000 ευρώ επιπλέον, βρείτε την αξία κάθε ακινήτου.
Λύση:
Αφαιρούμε από τη συνολική αξία των δύο ακινήτων το ποσό των 10.000 και βρίσκουμε ότι 160.000 – 10.000 = 150.000 ευρώ θα είχαν πουληθεί τα δύο μαζί, αν το σπίτι είχε ακριβώς πενταπλάσια αξία από το οικόπεδο. Δηλαδή το ποσό αυτό ισοδυναμεί με την αξία έξι τέτοιων οικοπέδων οπότε 150.000 : 6 = 25.000 ευρώ κόστισε το οικόπεδο και 5 × 25.000 + 10.000 = 125.000 + 10.000 = 135.000 ευρώ το σπίτι.
β) Προβλήματα με προσημασμένους αριθμούς
1. Η χαμηλότερη εξωτερική θερμοκρασία που παρατηρήθηκε το πρωί μίας μέρας ήταν 4 βαθμοί Κελσίου κάτω από το μηδέν, ενώ το μεσημέρι της ίδιας μέρας η υψηλότερη έφτασε τους 18 βαθμούς πάνω από το μηδέν. Πόσο ήταν το ημερήσιο θερμοκρασιακό εύρος;
Λύση:
Εφόσον η χαμηλότερη θερμοκρασία ήταν 4 βαθμοί κάτω από το μηδέν, μπορούμε να την παραστήσουμε με τον αριθμό –4, ενώ η μέγιστη θερμοκρασία ήταν +18 βαθμοί. Έτσι, το ημερήσιο θερμοκρασιακό εύρος είναι η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστη τιμής, δηλαδή είναι 18 – (–4) = 18 + 4 = 22 βαθμοί.
2. Ένα υποβρύχιο βρίσκεται 56 μέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. Κάποια στιγμή ανεβαίνει 18 μέτρα και στη συνέχεια κατεβαίνει άλλα 24 μέτρα. Σε ποιο βάθος βρίσκεται τώρα;
Λύση:
Αν παραστήσουμε με τον αριθμό 0 τη στάθμη της επιφάνειας της θάλασσας, αρχικά το υποβρύχιο βρισκόταν στο σημείο –56, στη συνέχεια ανέβηκε 18 μέτρα, δηλαδή +18 και μετά κατέβηκε άλλα 24 μέτρα, δηλαδή –24. Τελικά το υποβρύχιο βρίσκεται στο σημείο: –56 + 18 – 24 = –62, το οποίο σημαίνει ότι τώρα είναι 62 μέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας.
3. Στο τέλος του πρώτου ημιχρόνου ενός αγώνα καλαθοσφαίρισης, η ομάδα Α κερδίζει την ομάδα Β με 18 πόντους διαφορά. Στο δεύτερο ημίχρονο, η ομάδα Β πετυχαίνει 6 δίποντα και 4 τρίποντα καλάθια, ενώ η ομάδα Α 5 δίποντα και 2 τρίποντα καλάθια. Σε πόσους πόντους έφτασε η διαφορά;
Λύση:
Βρίσκουμε αρχικά τους πόντους που έβαλε κάθε ομάδα στο δεύτερο ημίχρονο: Η ομάδα Β έβαλε: 6 • 2 + 4 • 3 = 12 + 12 = 24 πόντους και η ομάδα Α έβαλε: 5 • 2 + 2 • 3 = 10 + 6 = 16 πόντους. Η διαφορά μειώνεται όταν βάζει πόντους η ομάδα Β και αυξάνεται όταν βάζει πόντους η ομάδα Α, οπότε διαμορφώνεται ως εξής: +18 – 24 + 16 = +10, δηλαδή η ομάδα Α εξακολουθεί να προηγείται με 10 πόντους. Αν η διαφορά είχε βγει αρνητική, τότε θα κέρδιζε η ομάδα Β.
4. Ένα υλικό σημείο κινείται πάνω σε έναν οριζόντιο άξονα. Τη χρονική στιγμή t = 0, ξεκινά από το σημείο με τετμημένη 3 και κινείται προς τα δεξιά για δύο δευτερόλεπτα, με ταχύτητα 3 μονάδες το δευτερόλεπτο, στη συνέχεια κινείται προς τα αριστερά για 4 δευτερόλεπτα, με ταχύτητα 2 μονάδες το δευτερόλεπτο, και τέλος προς τα δεξιά για άλλο ένα δευτερόλεπτο, με ταχύτητα 4 μονάδες το δευτερόλεπτο, και ξαφνικά σταματά. Σε ποιο σημείο του άξονα βρίσκεται τώρα;
Λύση:
Πάνω στον άξονα θεωρούμε θετική τη φορά προς τα δεξιά και αρνητική τη φορά προς τα αριστερά. Βρίσκουμε τις μονάδες που διάνυσε το κινητό προς κάθε κατεύθυνση, πολλαπλασιάζοντας την ταχύτητα με το χρόνο: προς τα δεξιά 3 • 2 = 6 μονάδες, προς τα αριστερά 2 • 4 = 8 μονάδες και τέλος προς τα δεξιά 4 • 1 = 4 μονάδες. Η τετμημένη του σημείου που αρχικά βρισκόταν στο +3, διαμορφώνεται ως εξής: +3 + 6 – 8 + 4 = +5, δηλαδή το κινητό σταματά στο σημείο που βρίσκεται 5 μονάδες δεξιά της αρχής 0 του άξονα.
5. Μία ορειβατική ομάδα ξεκινά από το καταφύγιο, που βρίσκεται σε υψόμετρο 750 μέτρων. Την πρώτη ημέρα ανεβαίνει 340 μέτρα, τη δεύτερη ημέρα κατεβαίνει 120 μέτρα για να πάρει ένα άλλο μονοπάτι λόγω κακοκαιρίας και την τρίτη ημέρα ανεβαίνει άλλα 270 μέτρα. Σε ποιο υψόμετρο βρίσκεται στο τέλος της τρίτης ημέρας;
Λύση:
Θεωρώντας ότι το υψόμετρο του εδάφους αντιστοιχεί στον αριθμό μηδέν ενός κατακόρυφου άξονα, η ομάδα βρίσκεται αρχικά στο +750. Στη συνέχεια ανεβαίνει 340 μέτρα, κατεβαίνει 120 και ανεβαίνει 270, έτσι η τελική της θέση καθορίζεται από τις πράξεις: +750 + 340 – 120 + 270 = +1.240 μέτρα υψόμετρο.



Ακμή. Η ευθεία, κατά την οποία τέμνονται δύο διαδοχικές έδρες της στερεάς γωνίας. Ακμή ενός πολυέδρου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα, κατά το οποίο τέμνονται δύο διαδοχικές έδρες του.
Ακολουθία. Κάθε μονότιμη απεικόνιση του συνόλου IΝ* στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών (πραγματική ακολουθία) ή γενικότερα στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών, δηλαδή η ακολουθία είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ΙΝ* και σύνολο αφίξεως το IR ή το C. Η ακολουθία συμβολίζεται με πεζά γράμματα του ελληνικού αλφάβητου, π.χ. (αν), νΙΝ*. Οι τιμές της ακολουθίας ονομάζονται όροι της ακολουθίας. Αφού το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο ΙΝ*, οι τιμές της μπορούν να διαταχθούν σε συγκεκριμένη σειρά: α1 είναι ο πρώτος όρος, α2 ο δεύτερος, …, αν ο νιοστός ή γενικός όρος της ακολουθίας. Μία ακολουθία είναι καλά ορισμένη, όταν δοθεί ο τύπος του γενικού της όρου αν σε σχέση με τον αριθμό ν (π.χ. αν = 5ν + 3, νΙΝ*) ή όταν δοθεί ο κανόνας σχηματισμού των όρων της (π.χ. η ακολουθία των τετραγώνων των φυσικών αριθμών) ή όταν δοθεί μία αναδρομική σχέση (αναδρομικός τύπος) μεταξύ κάποιων όρων της μαζί με τα απαραίτητα βοηθητικά στοιχεία (αρχικές συνθήκες), ώστε να είναι δυνατή η εύρεση όλων των όρων της (π.χ. νΙΝ* αν+2 = αν+1 + 2αν, με α1 = 3 και α2 = –1). Μία πολύ γνωστή ακολουθία που δίνεται με αναδρομικό τύπο είναι η ακολουθία του Φιμπονάτσι: νΙΝ*, αν+2 = αν+1 + αν, με α1 = 1 και α2 = 1, με θαυμαστές εφαρμογές σε πολλές επιστήμες εκτός των Μαθηματικών. Η αναδρομική σχέση είναι γενικά πιο δύσχρηστη από τις άλλες μορφές ορισμού της ακολουθίας, γιατί η εύρεση ενός όρου προϋποθέτει την εύρεση όλων των προηγουμένων του. Υπάρχουν βέβαια μέθοδοι που επιτρέπουν, χρησιμοποιώντας την αναδρομική σχέση, την εύρεση του τύπου του γενικού όρου αν χωρίς τη βοήθεια των προηγούμενων όρων, αλλά ως συνάρτηση του δείκτη ν. Η ακολουθία δεν είναι πλήρως καθορισμένη, αν δοθεί μόνο η αναδρομική σχέση χωρίς τις αρχικές συνθήκες ή αν είναι γνωστό μόνο πεπερασμένο πλήθος αρχικών όρων της. Ειδικές περιπτώσεις πραγματικής ακολουθίας είναι η αριθμητική, η γεωμετρική, η αρμονική και η μεικτή πρόοδος, καθώς και οι σειρές.
Φραγμένη - περατωμένη ακολουθία: Μία ακολουθία (αν) λέγεται άνω φραγμένη, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Μ τέτοιος, ώστε να ισχύει νΙΝ *, αν  Μ. Ο αριθμός Μ ονομάζεται άνω φράγμα της ακολουθίας και δεν είναι μονότιμα ορισμένος (γιατί κάθε αριθμός μεγαλύτερος από το Μ έχει την ίδια ιδιότητα με το Μ). Το μικρότερο από τα άνω φράγματα λέγεται άνω πέρας της ακολουθίας (αν). Το άνω πέρας, αν υπάρχει, είναι μονότιμα ορισμένο και η ακολουθία ονομάζεται άνω περατωμένη.
Μία ακολουθία (αν) λέγεται κάτω φραγμένη, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός μ τέτοιος, ώστε να ισχύει νΙΝ *, αν  μ. Ο αριθμός μ ονομάζεται κάτω φράγμα της ακολουθίας και δεν είναι μονότιμα ορισμένος (γιατί κάθε αριθμός μικρότερος από το μ έχει την ίδια ιδιότητα με το μ). Το μεγαλύτερο από τα κάτω φράγματα λέγεται κάτω πέρας της ακολουθίας (αν). Το κάτω πέρας, αν υπάρχει, είναι μονότιμα ορισμένο και η ακολουθία ονομάζεται κάτω περατωμένη.
Μία ακολουθία (αν) λέγεται φραγμένη, όταν είναι ταυτόχρονα και άνω και κάτω φραγμένη, δηλαδή όταν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί Μ και μ τέτοιοι, ώστε να ισχύει νΙΝ * , μ  αν  Μ. Αν υπάρχουν και τα δύο πέρατα, τότε η ακολουθία λέγεται περατωμένη. Είναι φανερό ότι μία ακολουθία είναι φραγμένη αν και μόνο αν είναι περατωμένη.
Μονοτονία ακολουθίας: Μία ακολουθία λέγεται αύξουσα, όταν νΙΝ *, αν  αν+1 και τη συμβολίζουμε (αν) . Μία ακολουθία λέγεται γνησίως αύξουσα, όταν νΙΝ * , αν < αν+1 και τη συμβολίζουμε (αν).
Μία ακολουθία λέγεται φθίνουσα, όταν νΙΝ*, αν  αν+1, και τη συμβολίζουμε (αν) . Μία ακολουθία λέγεται γνησίως φθίνουσα, όταν νΙΝ*, αν > αν+1, και τη συμβολίζουμε (αν).
Αν η ακολουθία είναι αύξουσα ή φθίνουσα, λέγεται μονότονη και αν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, λέγεται γνησίως μονότονη.
Σύγκλιση ακολουθίας: Η ακολουθία (αν) είναι μηδενική (ή τείνει στο μηδέν ή συγκλίνει στο μηδέν ή έχει όριο το μηδέν), όταν για δοσμένο θετικό αριθμό ε οσοδήποτε μικρό, υπάρχει φυσικός αριθμός ν0 που εξαρτάται από το ε τέτοιος, ώστε, για κάθε φυσικό αριθμό ν > ν0, να είναι η απόλυτη τιμή του αν μικρότερη του ε. Συμβολικά:.
Η ακολουθία (αν) έχει όριο τον πραγματικό αριθμό λ ή τείνει στο λ ή συγκλίνει στο λ, όταν η ακολουθία (αν – λ) είναι μηδενική ακολουθία. Συμβολικά:.
Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών:
1. Το όριο κάθε συγκλίνουσας ακολουθίας είναι μοναδικό.
2. Αν μία ακολουθία συγκλίνει στον αριθμό λ, τότε και κάθε υπακολουθία της συγκλίνει στο λ.
3. Αν lim αν = λ και lim βν = μ, τότε:
lim(αν+βν) = λ + μ,
lim(αν – βν) = λ – μ,
lim(αν • βν) = λ • μ,
lim(αν : βν) = λ : μ (με την προϋπόθεση στο τελευταίο να ισχύει μ  0).
4. Αν η ακολουθία (αν) συγκλίνει στο λ, τότε η ακολουθία συγκλίνει στο και η ακολουθία συγκλίνει στο.
5. Αν η (αν) είναι μηδενική και η (βν) είναι φραγμένη, τότε η (αν • βν) είναι μηδενική.
6. Αν ισχύει νΙΝ*, αν  βν  γν και lim αν = lim γν = λ, τότε και lim βν = λ.
7. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντοτε.
8. (Κριτήριο της μονοτονίας) Κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα.
9. Η ακολουθία αν = είναι μηδενική.
10. Ισχύει:.
11. Αν είναι, τότε η ακολουθία αν = αν είναι μηδενική.
12. Ισχύει:.
Ειδική περίπτωση:
Μία από τις βασικές ακολουθίες είναι αυτή που έχει γενικό όρο: αν =. Αποδεικνύεται ότι είναι συγκλίνουσα και το όριό της συμβολίζεται με e. Ο αριθμός e 2, 7182818… είναι υπερβατικός και χρησιμοποιείται ως βάση στους νεπέριους (ή φυσικούς) λογάριθμους. Η ακολουθία αυτή γενικεύεται από την αν =, στην οποία η ακολουθία xν  +  ή xν  –  . Και τότε.
(Για την αντιστοιχία μεταξύ των συμβόλων που χρησιμοποιούνται στις ακολουθίες και στις συναρτήσεις βλ. Πίνακα.)
Ακρότατο συνάρτησης. Μαθηματικός όρος. Ονομάζεται αλλιώς και άκρα τιμή συνάρτησης. Υπάρχουν δύο είδη ακροτάτων: το μέγιστο (ή μέγιστη τιμή, βλ. λ.) και το ελάχιστο (ή ελάχιστη τιμή, βλ. λ.), τα οποία διακρίνονται σε ολικό ή απόλυτο και τοπικό ή σχετικό. Η εύρεση των ακροτάτων γίνεται συνήθως με τη μελέτη της συνάρτησης ως προς τη μονοτονία στα διάφορα διαστήματα του πεδίου ορισμού της ή με τη βοήθεια της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου της. Μία συνάρτηση μπορεί να έχει ή να μην έχει ακρότατο στο πεδίο ορισμού της ή σε κάποιο υποσύνολό του. Αν όμως υπάρχει ολικό ακρότατο, αυτό θα είναι μοναδικό για όλο το πεδίο ορισμού, ενώ τα τοπικά ακρότατα μπορεί να είναι και περισσότερα, γιατί αναφέρονται σε υποσύνολα του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.
Ακτίνα κύκλου ή περιφέρειας. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο του κύκλου με τυχαίο σημείο της περιφέρειάς του.
Ακτίνιο. Η επίκεντρη γωνία ενός κύκλου, η οποία βαίνει σε τόξο με μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Χρησιμοποιείται ως μονάδα μέτρησης γωνιών και τόξων και συμβολίζεται με rad (από την αγγλική λέξη radian). Η περιφέρεια του κύκλου έχει 2π ακτίνια. Ο τύπος μετατροπής μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα είναι:, όπου μ είναι το μέτρο της γωνίας σε μοίρες και α το μέτρο της ίδιας γωνίας σε ακτίνια. Το ένα ακτίνιο αντιστοιχεί σε γωνία 57 μοιρών και 17 λεπτών, περίπου.
Αλγόριθμος. Η τυποποιημένη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος. Η ονομασία αυτή προέρχεται πιθανότατα από το όνομα του Άραβα μαθηματικού al-Khwarismi (Αλ Κβαρίσμι). Υπάρχουν πεπερασμένοι αλγόριθμοι, όπως π.χ. ο ευκλείδειος αλγόριθμος για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο ακεραίων αριθμών και την έκφρασή του ως γραμμικού συνδυασμού τους, ή ο αλγόριθμος του Gauss (γνωστός ως μέθοδος του επαυξημένου πίνακα) για την επίλυση ενός μ ´ ν γραμμικού συστήματος εξισώσεων ή για την εύρεση του αντίστροφου ενός τετραγωνικού πίνακα, καθώς και άπειροι αλγόριθμοι, όπως π.χ. ο αλγόριθμος για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός φυσικού αριθμού που δεν είναι τετράγωνο ακεραίου.
Η σημερινή εξαιρετική επιτυχία στη χρήση των αλγορίθμων οφείλεται κυρίως στη δυνατότητα εφαρμογής τους στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές, με τη βοήθεια των οποίων λύνουμε προβλήματα που διαφορετικά απαιτούν χρονοβόρες και επίπονες αλγεβρικές πράξεις. Η λύση ενός προβλήματος με τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή γίνεται ως εξής: αφού διατυπώσουμε τον κατάλληλο αλγόριθμο, τον μετατρέπουμε σε διάγραμμα ροής ή λογικό διάγραμμα και στη συνέχεια διαμορφώνουμε ένα κατάλληλο πρόγραμμα σε μία από τις γνωστές γλώσσες προγραμματισμού (Pascal, Basic κτλ.) και τροφοδοτούμε τον υπολογιστή με αυτό.
Άλεφ μηδέν. Η ονομασία με την οποία διαβάζεται το σύμβολο Ν0, το οποίο παριστάνει στη Θεωρία Συνόλων τον πληθικό αριθμό (πληθάριθμο) του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών. Κάθε σύνολο που έχει πληθάριθμο Άλεφ μηδέν (Ν0) λέγεται αριθμήσιμο.
Αλυσοειδής καμπύλη. Η επίπεδη καμπύλη που σχηματίζει μία ομοιογενής αλυσίδα κρεμασμένη από δύο σημεία της, που δε βρίσκονται πάνω στην ίδια κατακόρυφη ευθεία και στην οποία επιδρά μόνο η δύναμη της βαρύτητας. Η εξίσωσή της είναι γ = α cosh =, όπου coshx είναι το υπερβολικό συνημίτονο του x και η σταθερά α ≠ 0 είναι ίση με την απόσταση του χαμηλότερου σημείου της αλυσοειδούς καμπύλης από τον οριζόντιο άξονα αναφοράς.
Η αλυσοειδής καμπύλη έχει τις εξής ιδιότητες: α) Ο συντελεστής διεύθυνσης των εφαπτομένων στα διάφορα σημεία της είναι ανάλογος εκείνου του τόξου, που μετριέται από το χαμηλότερο σημείο. β) Η προβολή της τυχαίας τεταγμένης πάνω στην πρώτη κάθετο είναι σταθερή. γ) Η καμπύλη βρίσκεται κάτω από την εστία παραβολής, η οποία κινείται σε ευθεία γραμμή. δ) Παίρνει το σχήμα ιδανικής αλυσίδας (ομοιογενής, απόλυτα ελαστική, μη όλκιμος), η οποία ισορροπεί κάτω από την επίδραση μόνο του βάρους της και στερεώνεται από τα δύο άκρα της. Τότε το κέντρο βάρους της βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο της. Αν περιστραφεί γύρω από άξονα οριζόντιο που βρίσκεται πάνω στο επίπεδό της και κάτω από αυτή χωρίς να την τέμνει, θα δώσει ένα στερεό με τον ελάχιστο όγκο, σύμφωνα με το θεώρημα Guldin (ή το θεώρημα του Πάππου).
Στη Φυσική η αλυσοειδής καμπύλη καθορίζεται από τις διαφορικές εξισώσεις και, όπου ds το στοιχειώδες τόξο, Τ η τάση και p το κατά μονάδα μήκους βάρος της αλυσίδας. Μία εικόνα αλυσοειδούς καμπύλης δίνουν τα συρματόσχοινα ανάρτησης στις κρεμαστές γέφυρες. Η γέφυρα Χάμπερ στο Ηνωμένο Βασίλειο, μήκους 1.410 μέτρων, είναι μία από τις μεγαλύτερες κρεμαστές γέφυρες του κόσμου. Μία άλλη πιο συνηθισμένη εικόνα αλυσοειδούς καμπύλης είναι αυτή που σχηματίζουν τα εναέρια καλώδια μεταφοράς ηλεκτρικού ρεύματος ή τηλεφωνικών σημάτων, καθώς και η εικόνα που χαρίζει ο ιστός της αράχνης.
Αναλλοίωτα στοιχεία. Τα στοιχεία που χαρακτηρίζουν τα σημεία ενός συνόλου και τα οποία δε μεταβάλλονται κατά ένα (γεωμετρικό) μετασχηματισμό που έχουμε ορίσει σ’ αυτό το σύνολο, δηλαδή τα στοιχεία τα οποία είναι ίδια και για τα πρότυπα και για τις εικόνες σε μία (γεωμετρική) απεικόνιση του συνόλου στον εαυτό του.
Παραδείγματα:
α) Κατά τη συμμετρία είτε ως προς σημείο είτε ως προς ευθεία, το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι αναλλοίωτο στοιχείο, γιατί παραμένει σταθερό παρόλο που η εικόνα του τμήματος δεν είναι πάντοτε το ίδιο ευθύγραμμο τμήμα. Το ίδιο συμβαίνει και κατά την παράλληλη μεταφορά (βλ. σχήμα 1).
β) Κατά την παράλληλη μεταφορά ή τη στροφή, το μέτρο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι αναλλοίωτο στοιχείο, γιατί παραμένει ίδιο και για τη γωνία μεταξύ των δύο εικόνων τους (βλ. σχήμα 2). Επίσης, κατά την παράλληλη μεταφορά, η διεύθυνση, η φορά και το μέτρο ενός διανύσματος είναι αναλλοίωτα στοιχεία. Όχι όμως και κατά τη στροφή, στην οποία διατηρείται μόνο το μέτρο.
γ) Κατά την παράλληλη μεταφορά η προσανατολισμένη γωνία μιας ευθείας και του άξονα x ‘x είναι αναλλοίωτο στοιχείο, καθόσον οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζει ο άξονας με τις δύο παράλληλες ευθείες είναι ίσες (βλ. σχήμα 3). Η γωνία αυτή όμως δεν είναι αναλλοίωτη, αν ορίσουμε στροφή με κέντρο την αρχή των αξόνων και γωνία διαφορετική από 360 μοίρες.
δ) Η αρχή Ο (0, 0) των αξόνων είναι αναλλοίωτο σημείο, όταν οριστεί στο επίπεδο ή στο χώρο ένας γραμμικός μετασχηματισμός, γιατί αν (x’, y’) είναι η εικόνα του σημείου (x, y) και Μ = ο πίνακας του μετασχηματισμού, τότε θα ισχύει:, άρα (x’, y’) = (0, 0). Παρόμοια είναι η απόδειξη και για χώρο τριών διαστάσεων.
ε) Η ιδιότητα μιας καμπύλης να είναι κλειστή παραμένει και στις εικόνες της καμπύλης κατά τις απεικονίσεις που ορίζουμε στην Τοπολογία, γι’ αυτό και λέγεται αναλλοίωτη ιδιότητα.
στ) Κατά την παράλληλη μεταφορά, τη συμμετρία και τη στροφή, τα εμβαδά των ευθύγραμμων σχημάτων παραμένουν σταθερά, είναι δηλαδή αναλλοίωτα στοιχεία. Όταν όμως ορίζουμε ομοιότητα με λόγο διάφορο της μονάδας, το εμβαδό αλλάζει. Στοιχεία που είναι αναλλοίωτα για μία απεικόνιση δε σημαίνει ότι είναι αναλλοίωτα και για οποιαδήποτε άλλη.


Αναλλοίωτη ιδιότητα. Κάθε ιδιότητα σχήματος του επιπέδου ή του χώρου, η οποία παραμένει αμετάβλητη σε σχέση με μία ομάδα μετασχηματισμών, π.χ. το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου είναι αναλλοίωτο, όταν ορίσουμε μεταφορά ή στροφή. Γενικότερα, αναλλοίωτη ενός συνόλου Σ ως προς μία ομάδα μετασχηματισμών G λέγεται κάθε έννοια που αναφέρεται στο Σ, η οποία παραμένει σταθερή για κάθε μετασχηματισμό της ομάδας G. Π.χ. η επαφή δύο σχημάτων είναι αναλλοίωτη ιδιότητα κατά την αντιστροφή, η ιδιότητα μιας καμπύλης να είναι κλειστή είναι αναλλοίωτη κατά τις απεικονίσεις που ορίζουμε στην Τοπολογία κτλ.
Αναλλοίωτη υποομάδα. Στην Άλγεβρα Galois το υποσύμπλεγμα Η1 του συμπλέγματος Η λέγεται αναλλοίωτο, αν και μόνο αν το Η1 είναι αντιμεταθετό με κάθε στοιχείο h του Η, δηλαδή όταν ισχύει η ισότητα: "hÎΗ, h × H1 = H1 × h. Έστω Χ μία άλγεβρα του Bool και Ι μία υπάλγεβρά της. Αν ισχύει "iÎI Ù "xÎX Þ i × x Î I, η Ι λέγεται δεξιά αναλλοίωτη της Χ. Όμοια ορίζεται και η αριστερή αναλλοίωτη της Χ. Στην ειδική περίπτωση που η Χ αντικαθίσταται από ένα δακτύλιο, έχουμε την έννοια του ιδεώδους. Ως παράδειγμα, ας πάρουμε το σύνολο Ζ των ακέραιων, το οποίο αποτελεί δακτύλιο, και το σύνολο Α των άρτιων αριθμών. Το Α είναι δεξιό και συγχρόνως αριστερό ιδεώδες, γιατί:
"xÎΖ Ù "iÎA Þ i × x = x × i Î A,
καθόσον το γινόμενο ακεραίου επί άρτιο είναι άρτιος αριθμός.
Αναλλοίωτο σχήμα. Αναλλοίωτο κατά ένα μετασχηματισμό από ένα σύνολο γεωμετρικών στοιχείων Α σε ένα σύνολο επίσης γεωμετρικών στοιχείων Β, λέγεται ένα σχήμα αν και μόνο αν ταυτίζεται με το ομόλογό του σχήμα μέσω του μετασχηματισμού αυτού. Η έννοια του αναλλοίωτου σχήματος είναι πολύ χρήσιμη στον ορισμό του κέντρου συμμετρίας ενός σχήματος: Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος λέγεται ένα σημείο αν και μόνο αν κατά τη συμμετρία ως προς αυτό, το σχήμα μένει αναλλοίωτο, π.χ. το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας αυτού, γιατί κατά τη συμμετρία ως προς αυτό, το παραλληλόγραμμο ταυτίζεται με το συμμετρικό του.
Παραδείγματα αναλλοίωτων σχημάτων:
α) Η ευθεία είναι αναλλοίωτο σχήμα κατά τις ομοιοθεσίες που έχουν κέντρο ένα οποιοδήποτε σημείο της ευθείας.
β) Η ευθεία είναι αναλλοίωτο σχήμα κατά την αντιστροφή με πόλο αντιστροφής ένα οποιοδήποτε σημείο της ευθείας.
γ) Ένας κύκλος είναι αναλλοίωτο σχήμα κατά την αντιστροφή με πόλο ένα οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου του και δύναμη αντιστροφής ίση με τη δύναμη του σημείου αυτού ως προς το δοσμένο κύκλο.
δ) Οι γωνίες είναι αναλλοίωτα σχήματα κατά μία οποιαδήποτε αντιστροφή.
Ανάλογα ποσά. Δύο ποσά λέγονται ανάλογα ή ευθέως ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας (ή διαιρώντας) τις τιμές του ενός με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται (ή αντίστοιχα διαιρούνται) και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό. Π.χ. αν το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου διπλασιαστεί, θα διπλασιαστεί και η περίμετρός του, αν το βάρος ενός εμπορεύματος τριπλασιαστεί, θα τριπλασιαστεί και η συνολική αξία του. Ισοδύναμος ορισμός είναι ο εξής: ανάλογα λέγονται δύο ποσά, όταν οι αντίστοιχες τιμές τους έχουν τον ίδιο λόγο. Βλέπουμε στον πίνακα 1 τις αντίστοιχες τιμές δύο ποσών x και y:
Τα ποσά x και y είναι ανάλογα, καθόσον ισχύουν οι σχέσεις:
, , , , δηλαδή ο λόγος των αντίστοιχων τιμών παραμένει σταθερός.
Παραδείγματα ανάλογων ποσών είναι:
1. Το βάρος ενός εμπορεύματος και η αξία του. 2. Η αξία ενός αντικειμένου και το πλήθος των ομοειδών αντικειμένων που αγοράζουμε. 3. Το μήκος ενός υφάσματος και η αξία του. 4. Το διάστημα που διανύει ένα κινητό κινούμενο με σταθερή ταχύτητα και ο χρόνος που απαιτείται για το διάστημα αυτό. 5. Το διάστημα που διατρέχει ένα κινητό σε ορισμένο χρόνο και η ταχύτητα του κινητού. 6. Το έργο που παράγεται και ο αριθμός των εργατών που απασχολούνται γι’ αυτό. 7. Το έργο που παράγεται και το πλήθος των ημερών εργασίας που απαιτούνται για την ολοκλήρωσή του. 8. Το έργο που παράγεται και το πλήθος των ωρών ημερήσιας απασχόλησης. 9. Το πλήθος των εργατών και η συνολική αμοιβή τους. 10. Ο χρόνος εργασίας κάθε εργάτη και η αμοιβή του. 11. Η ποσότητα των τροφίμων που απαιτούνται για κατανάλωση και το πλήθος των ατόμων που θα τα καταναλώσουν σε ορισμένο χρονικό διάστημα. 12. Η ποσότητα της καύσιμης ύλης που θα καταναλωθεί και η απόσταση που θα διανύσει ένα κινητό τρέχοντας με σταθερή ταχύτητα. 13. Το μήκος ενός ορθογώνιου χωραφιού και το εμβαδό του, όταν το πλάτος παραμένει σταθερό. 14. Το πλάτος ενός ορθογώνιου χωραφιού και το εμβαδό του, όταν το μήκος παραμένει σταθερό. 15. Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του. 16. Το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου και το μήκος της ακτίνας του. 17. Το μήκος της σκιάς ενός αντικειμένου και το ύψος του. 18. Ο χρόνος τοκισμού ενός ορισμένου κεφαλαίου με ένα ορισμένο επιτόκιο και ο τόκος που θα πάρουμε. 19. Το επιτόκιο με το οποίο τοκίζουμε ένα ορισμένο κεφάλαιο για ορισμένο χρονικό διάστημα και ο τόκος που θα πάρουμε. 20. Το κεφάλαιο που θα τοκίσουμε με ένα ορισμένο επιτόκιο για ορισμένο χρονικό διάστημα και ο τόκος που θα πάρουμε. 21. Η διάμετρος ενός τροχού και το διάστημα που αυτός διανύει με σταθερή ταχύτητα σε ορισμένο χρονικό διάστημα. 22. Το πλήθος των περιστροφών ενός τροχού και το διάστημα που θα διανύσει. 23. Η γωνία ή το τόξο ή το εμβαδό του κυκλικού τομέα που γράφει ο λεπτοδείκτης με τη γωνία ή το τόξο ή το εμβαδό του κυκλικού τομέα αντίστοιχα που γράφει ο ωροδείκτης στο ίδιο χρονικό διάστημα. 24. Η παροχή νερού μιας βρύσης και η συνολική ποσότητα του νερού που χύνεται σε ορισμένο χρονικό διάστημα. 25. Η παροχή νερού μιας βρύσης και το μέγεθος μιας δεξαμενής που αυτή γεμίζει σε ορισμένο χρονικό διάστημα.
α) Έξι εργάτες παίρνουν την εβδομάδα 1.200 ευρώ. Πόσα ευρώ παίρνουν οι 18 εργάτες;
Λύση: Η συνολική αμοιβή των εργατών είναι ανάλογη του αριθμού τους, αφού λοιπόν το πλήθος των εργατών πολλαπλασιάστηκε με το 3 ( 6 × 3 = 18), με τον ίδιο αριθμό θα πολλαπλασιαστεί και το ύψος της αμοιβής τους, δηλ. 1.200 × 3 = 3.600 ευρώ θα πληρωθούν οι 18 εργάτες την εβδομάδα.
β) Ένα αυτοκίνητο κινούμενο με 90 χιλιόμετρα την ώρα, διανύει απόσταση 720 χιλιομέτρων σ’ ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Αν όμως έτρεχε με 60 χιλιόμετρα την ώρα, πόσα χιλιόμετρα θα είχε διανύσει στον ίδιο χρόνο;
Λύση: Η ταχύτητα ενός κινητού είναι ανάλογη προς το διάστημα που αυτό διανύει σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, αφού λοιπόν η ταχύτητα του κινητού πολλαπλασιάστηκε με τον αριθμό (γιατί), με τον ίδιο αριθμό θα πολλαπλασιαστεί και το διάστημα, δηλαδή χιλιόμετρα θα είχε διανύσει το αυτοκίνητο στη δεύτερη περίπτωση.
γ) Εικοσιένα τετράδια ίδιου μεγέθους κοστίζουν 37, 80 ευρώ. Πόσο κοστίζουν 7 ίδια τετράδια;
Λύση: Η αξία των ομοειδών αντικειμένων είναι ανάλογη του πλήθους τους, αφού λοιπόν το πλήθος των τετραδίων διαιρέθηκε με το 3 (διότι 21 : 3 = 7), με τον ίδιο αριθμό θα διαιρεθεί και η αξία τους, δηλαδή 37, 80 : 3 = 12, 60 ευρώ θα κοστίζουν τα 7 τετράδια.
Αναλογία. Η ισότητα δύο ή περισσότερων λόγων (κλασμάτων) π.χ. ή (η δεύτερη ονομάζεται συνεχής αναλογία). Ο αριθμός λ, με τον οποίο είναι ίσα όλα τα κλάσματα, λέγεται λόγος της αναλογίας. Οι όροι των κλασμάτων λέγονται όροι της αναλογίας, οι αριθμητές τους λέγονται ηγούμενοι (γιατί ηγούνται των κλασμάτων) και οι παρονομαστές τους λέγονται επόμενοι (γιατί έπονται –ακολουθούν– τους ηγούμενους). Σε μία αναλογία δύο λόγων, π.χ. τα α, δ λέγονται άκροι όροι και τα β, γ λέγονται μέσοι όροι, ενώ σε μία συνεχή αναλογία δύο λόγων, π.χ. οι μέσοι όροι είναι ίσοι και μάλιστα το β λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ ή μέσος ανάλογος των α και γ και λέμε ότι τα α, β, γ καθιστούν συνεχή αναλογία ή ότι αποτελούν με αυτή τη διάταξη γεωμετρική πρόοδο. Τότε θα ισχύει: β2 = α × γ. Όταν ισχύει η αναλογία, λέμε ότι οι αριθμοί α και γ είναι ανάλογοι των β και δ.
Επίσης, αναλογίες χρησιμοποιούμε όχι μόνο στην Άλγεβρα, αλλά και στη Γεωμετρία. Είναι γνωστές οι προτάσεις:
α) το ύψος προς την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι μέσο ανάλογο των δύο τμημάτων, στα οποία τη χωρίζει, δηλαδή ΑΔ2 = ΔΒ × ΔΓ (βλ. σχήμα 1) και
β) κάθε κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου είναι μέση ανάλογος της υποτείνουσας και της προβολής της πάνω σ’ αυτή (γνωστή και ως Θεώρημα του Ευκλείδη), δηλαδή: ΑΒ2 = ΒΓ × ΒΔ και ΑΓ2 = ΒΓ × ΓΔ (βλ. σχήμα 1).
Αν σε μία αναλογία της μορφής, τα α, β, γ, δ παριστάνουν ευθύγραμμα τμήματα, τότε το δ ονομάζεται τέταρτη ανάλογος.
Κατασκευή της τέταρτης αναλόγου:
Είναι μία κατασκευή στην οποία τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ είναι γνωστά και ζητείται η γεωμετρική κατασκευή (με κανόνα και διαβήτη) της τέταρτης αναλόγου τους, δηλαδή του ευθύγραμμου τμήματος δ, για το οποίο ισχύει η αναλογία:. Η κατασκευή γίνεται ως εξής: πάνω στην πλευρά Ox τυχαίας γωνίας (βλ. σχήμα 2) θεωρούμε τα σημεία Α και Β, ώστε ΟΑ = α και ΑΒ = β, και πάνω στην πλευρά Oy το σημείο Γ, ώστε ΟΓ = γ. Από το Β φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΓ, η οποία τέμνει την πλευρά Oy στο σημείο Δ. Τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ είναι το ζητούμενο, διότι σύμφωνα με το Θεώρημα του Θαλή, ισχύει:, άρα ΓΔ = δ.
Ιδιότητες των αναλογιών:
1. Σε κάθε αναλογία το γινόμενο των άκρων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων.
2. Αν σε μία αναλογία εναλλάξουμε τους άκρους ή τους μέσους όρους, προκύπτει πάλι αναλογία.
και.
3. Αν σε μία αναλογία αντιστρέψουμε τους λόγους, προκύπτει και πάλι αναλογία, η οποία μάλιστα έχει λόγο τον αντίστροφο του λόγου της αρχικής, δηλαδή:.
4. Σε μία αναλογία μπορούμε να σχηματίσουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα, με αριθμητή το άθροισμα όλων των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα όλων των παρονομαστών, δηλαδή:
5. Αν σε μία αναλογία προσθέσουμε τους ηγούμενους στους επόμενους ή τους επόμενους στους ηγούμενους, προκύπτει νέα αναλογία, δηλαδή και.
6. Αν σε μία αναλογία αφαιρέσουμε τους ηγούμενους από τους επόμενους ή τους επόμενους από τους ηγούμενους, προκύπτει νέα αναλογία: και. 7. Σε μία αναλογία ισχύει η ιδιότητα:.
8. Αν λ και μ οποιοιδήποτε αριθμοί, ισχύει η ιδιότητα:.
9. Σε μία συνεχή αναλογία όλοι οι όροι μπορούν να εκφραστούν με τη βοήθεια ενός από αυτούς και του λόγου λ της αναλογίας, δηλαδή:
Þ δ = λ × ε, γ = λ2 × ε, β = λ3 × ε, α = λ4 × ε.
Παράδειγμα:
Αν ισχύει, τότε δείξτε ότι:.
Λύση:
Α’ Τρόπος: Ονομάζουμε λ το λόγο της αναλογίας και έχουμε: α = λβ και γ = λδ, οπότε το πρώτο μέλος γράφεται:
και το δεύτερο γίνεται:
επομένως είναι ίσα.
Β’ Τρόπος: Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αναλογιών:
Ανάλυση. Κλάδος των Μαθηματικών, που περιλαμβάνει το Διαφορικό και τον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Λέγεται αλλιώς και Απειροστικός Λογισμός, γιατί πρωταρχικό ρόλο παίζουν οι έννοιες του ορίου και του απειροστού. Η Ανάλυση μελετά τις ακολουθίες και γενικότερα τις συναρτήσεις, τα είδη τους, τις ιδιότητές τους, τις γραφικές τους παραστάσεις, τις παραγώγους και τα ολοκληρώματα. Με τις προτάσεις και τις μεθόδους της Ανάλυσης υπολογίζεται το μήκος τόξου μιας καμπύλης, το εμβαδό ενός επιπέδου σχήματος, ο όγκος ενός στερεού σώματος, προσδιορίζεται η θέση του κέντρου βάρους ενός σχήματος ή σώματος, εντοπίζονται οι άκρες τιμές μιας συνάρτησης, λύνονται δύσκολα προβλήματα βελτιστοποίησης (π.χ. ελαχιστοποίησης κόστους, μεγιστοποίησης κέρδους), επιλύονται δύσκολες ανισοτικές σχέσεις, προσδιορίζεται η εφαπτομένη μιας καμπύλης σε κάθε σημείο της, ερμηνεύονται η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός κινητού κτλ. Τα συμπεράσματα της Ανάλυσης είναι ιδιαίτερα χρήσιμα σήμερα στους περισσότερους κλάδους των Φυσικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών. Πρόδρομος του Απειροστικού Λογισμού θεωρείται ο Αρχιμήδης, ο οποίος είχε χρησιμοποιήσει τις μεθόδους της Ανάλυσης στην απόδειξη των τύπων των εμβαδών και όγκων που είχε υπολογίσει, χωρίς όμως να το κάνει με πλήρη ικανοποίηση, καθώς η έννοια του απειροστού ήταν κάτι που δεν είχε αποδεχθεί (βλ. λ. Αρχιμήδης). Ο αιώνας στον οποίο αναπτύχθηκε πραγματικά η Ανάλυση ως ξεχωριστός κλάδος των Μαθηματικών, ήταν ο 17ος χάρη στο έργο πολλών μαθηματικών σε όλη την Ευρώπη, όπως οι Ιταλοί Bonaventura Cavalieri και Evangelista Toricelli, οι Γάλλοι Pierre de Fermat, Roberval, Blaise Pascal, René Descartes, ο μαρκήσιος G.F.A. de l’ Hospital, ο Ολλανδός Christian Huygens, οι Ελβετοί αδελφοί Jacques και Jean Bernoulli (στον πρώτο μάλιστα οφείλεται και η ύπαρξη του όρου «ολοκλήρωμα»), οι Βρετανοί Isaac Barrow, Christopher Wren, John Wallis, James Gregory, Brook Taylor, Colin Mac Laurin και φυσικά οι «πατέρες» της Ανάλυσης sir Isaac Newton και Gotfried Wilhelm Leibniz, οι οποίοι δούλεψαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο περίπου την ίδια εποχή και δημοσίευσαν σχεδόν ταυτόχρονα τις εργασίες τους, διεκδικώντας ο καθένας για λογαριασμό του την πατρότητα του νέου οικοδομήματος της ανθρώπινης σκέψης. Μόλις το 19ο αιώνα όμως η Ανάλυση πήρε τη μορφή με την οποία τη γνωρίζουμε σήμερα χάρη στο έργο των: Auguste Louis Cauchy, Joseph Louis Lagrange, Joseph Fourier, Karl Weierstrass, Henri Lebesgue, Leonhard Euler, Bernhard Riemann, David Hilbert και άλλων.
Ανάλυση διασποράς. Μία μέθοδος της Στατιστικής Εκτιμητικής και Συμπερασματολογίας, που επιτρέπει τη σύγκριση περισσότερων από δύο ανεξάρτητων δειγμάτων ως προς το αν έχουν ή όχι την ίδια θεωρητική μέση τιμή σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης καθορισμένο από την αρχή. Τα βήματα της μεθόδου, επίπονα και ιδιαίτερα χρονοβόρα, λόγω των αριθμητικών πράξεων που απαιτούνται, παριστάνονται ευκολότερα με τη χρήση του πίνακα ανάλυσης της διασποράς, γνωστού ως ANOVA (από τα αρχικά των λέξεων ANalysis Of VAriance). Οι δύο σημαντικές υποθέσεις της μεθόδου ανάλυσης της διασποράς είναι:
α) όλα τα δείγματα που εξετάζουμε είναι ανεξάρτητα και προέρχονται από πληθυσμούς που ακολουθούν κανονική κατανομή και
β) όλοι οι πληθυσμοί έχουν την ίδια θεωρητική διασπορά σ2.
Η ανάλυση της διασποράς οφείλει το όνομά της στο γεγονός ότι συγκρίνουμε τις μέσες τιμές των δειγμάτων λαμβάνοντας υπόψη όχι μόνο τις διασπορές μεταξύ των δειγμάτων, αλλά και τις διασπορές μέσα στα ίδια τα δείγματα.
1. Θέλουμε να εξετάσουμε κατά πόσο τέσσερις τύποι ζώνης ασφαλείας αυτοκινήτου προσφέρουν διαφορετικό επίπεδο ασφάλειας σε μετωπικές συγκρούσεις με ταχύτητες μέχρι 80 χιλιόμετρα την ώρα. Οργανώνουμε προσομοιώσεις τέτοιων ατυχημάτων και μετράμε τον αριθμό των τραυματιών σε ορισμένο πλήθος ατυχημάτων.
Αναλυτική γραφή μιγαδικού αριθμού. Η καρτεσιανή ή αλγεβρική μορφή του μιγαδικού αριθμού z = α + βi, όπου α το πραγματικό και β το φανταστικό μέρος του μιγαδικού z.
Αναλυτική μέθοδος αντιμετώπισης προβλημάτων. Μαθηματική μέθοδος. Με την αναλυτική μέθοδο θεωρούμε γνωστά τα ζητούμενα στοιχεία του προβλήματος και εφαρμόζοντας αντιστρεπτά θεωρήματα ή σχέσεις ισοδυναμίας αποδεικνύουμε τα στοιχεία ή ορισμένα από αυτά.
Συγκρίνοντας την αναλυτική σκέψη με την αναλογική ή τη συνθετική συμπεραίνουμε τα ακόλουθα: η αναλυτική αντιμετώπιση είναι πολύ δυσκολότερη από την αναλογική και λιγότερο εφαρμόσιμη στα προβλήματα της καθημερινότητας, γιατί χρησιμοποιεί τύπους και κανόνες που ισχύουν σε ιδανικές καταστάσεις. Η αναλογική αντιμετώπιση είναι πιο πρακτική, πιο κοντά στην πραγματικότητα, ίσως και ταχύτερη. Από την άλλη μεριά, σε σύγκριση με την αναλυτική, η συνθετική αντιμετώπιση απαιτεί πολύ περισσότερες γνώσεις, εμπειρία, ικανότητα, διαίσθηση και καμιά φορά έμφυτη κλίση, γιατί δεν επιτρέπει στον επίδοξο λύτη να γνωρίζει εκ των προτέρων κάποια αρχικά βήματα, όπως π.χ. τη χάραξη βοηθητικής ευθείας ή γενικότερα τη θεώρηση βοηθητικών στοιχείων που χρειάζονται για να λυθεί η άσκηση. Αντίθετα, η αναλυτική μέθοδος επιτρέπει τη διάσπαση του προβλήματος σε πολλά μικρότερα και ενδεχομένως απλούστερα, των οποίων η λύση επιταχύνει τη λύση του σύνθετου προβλήματος. Η αναλυτική μέθοδος μας δίνει τα εφόδια που χρειαζόμαστε για να ξεκινήσουμε: τα αρχικά βήματα είναι πάντοτε γνωστά. Για να γίνουν περισσότερο κατανοητά όσα προηγήθηκαν, παραθέτουμε τα ακόλουθα:
Παραδείγματα:
Πρόβλημα: Να βρεθεί ο όγκος του υγρού που περιέχει ένα δοχείο σχήματος κόλουρου κώνου.
Αναλογική Μέθοδος: Χύνουμε το υγρό σε έναν ογκομετρικό σωλήνα και διαβάζουμε την ένδειξη.
Αναλυτική Μέθοδος: Γράφουμε τον τύπο του όγκου ενός κόλουρου κώνου, μετράμε όσο το δυνατόν ακριβέστερα τις ακτίνες των βάσεων και το ύψος του δοχείου και κάνουμε τις πράξεις.
Πρόβλημα: Αποδείξτε την ανισοϊσότητα: α2 + β2 + γ2 ³ αβ + βγ + γα, " α, β, γ Î IR.
Αναλυτική Μέθοδος: Ξεκινάμε από την προς απόδειξη ταυτοανισοϊσότητα και με λογικές ισοδυναμίες καταλήγουμε σε προφανή ή σε μία από τις στοιχειώδεις γνωστές ταυτοανισοϊσότητες:
α2 + β2 + γ2 ³ αβ + βγ + γα Û α2 + β2 + γ2 - αβ - βγ - γα ³ 0 Û
Û 2α2 + 2β2 + 2γ2 - 2αβ - 2βγ - 2γα ³ 0 Û (α – β)2 + (β – γ)2 + (γ – α)2 ³ 0
που ισχύει, γιατί το άθροισμα των τετραγώνων πραγματικών αριθμών είναι μη αρνητικό. Επειδή εργαστήκαμε με λογικές ισοδυναμίες, εφόσον είναι αληθής η τελευταία ανισοϊσότητα, θα είναι αληθής και η πρώτη από την οποία ξεκινήσαμε. Η ισότητα ισχύει όταν α = β = γ.
Συνθετική Μέθοδος: Γνωρίζουμε ότι " α, β, γ Î IR ισχύουν:
(α – β)2 ³ 0 Û α2 + β2 – 2αβ ³ 0
(β – γ)2 ³ 0 Û β2 + γ2 – 2βγ ³ 0
(γ – α)2 ³ 0 Û γ2 + α2 – 2γα ³ 0
Προσθέτουμε τις τρεις ανισοϊσότητες κατά μέλη και έχουμε:
2α2 + 2β2 + 2γ2 - 2αβ - 2βγ - 2γα ³ 0 Þ α2 + β2 + γ2 - αβ - βγ - γα ³ 0 Þ
Þ α2 + β2 + γ2 ³ αβ + βγ + γα
Η ισότητα ισχύει όταν α = β = γ.
Αναλυτικοσυνθετική μέθοδος. Παιδαγωγική μέθοδος που εφαρμόζεται στα παιδιά της νηπιακής ηλικίας για την εκμάθηση της ανάγνωσης.
Η αναλυτικοσυνθετική μέθοδος δε βασίζεται στους μεμονωμένους φθόγγους (φωνήματα), όπως οι άλλες μέθοδοι, αλλά σε μικρές φράσεις ή λέξεις, από τις οποίες το παιδί ξεχωρίζει τους φθόγγους έπειτα από βραχύχρονη εκπαίδευση (αναλυτική μέθοδος). Σε ένα δεύτερο στάδιο, έπειτα από επίσης βραχύχρονη εκπαίδευση, το παιδί μαθαίνει να συνθέτει τους φθόγγους σε σύνολα, δηλαδή σε λέξεις (συνθετική μέθοδος).
Ανάμειξης, προβλήματα. Μία κατηγορία προβλημάτων της Πρακτικής Αριθμητικής, τα οποία διαπραγματεύονται τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να γίνει η ανάμειξη διαφόρων ομοειδών υλικών, διαφορετικής όμως ποιότητας και τιμής, ώστε να επιτευχθεί μείγμα καλύτερης ποιότητας και μικρότερης τιμής. Τα προβλήματα ανάμειξης χωρίζονται σε δύο κύριες κατηγορίες: στην πρώτη συμπεριλαμβάνονται εκείνα που δίνουν τις επιμέρους ποσότητες και την τιμή της μονάδας βάρους των υλικών που θα αναμειχθούν ή την αναλογία, σύμφωνα με την οποία θα γίνει η ανάμειξη, και ζητούν την τιμή της μονάδας βάρους του μείγματος. Στη δεύτερη κατηγορία συμπεριλαμβάνονται όσα προβλήματα δίνουν την τιμή της μονάδας βάρους κάθε υλικού που συμμετέχει στο μείγμα, καθώς και την τιμή μονάδας βάρους του μείγματος, και ζητούν την αναλογία ως προς την οποία θα γίνει η ανάμειξη ή τις ποσότητες που χρειάζονται από κάθε υλικό.
Για να γίνουν κατανοητά όσα προηγήθηκαν, παραθέτουμε τα ακόλουθα παραδείγματα:
Ένας παντοπώλης αναμειγνύει 40 κιλά βούτυρο αξίας 5 ευρώ το κιλό με 60 κιλά λίπος αξίας 4 ευρώ το κιλό. Πόσο πρέπει να πουλάει το κιλό του μείγματος; (α΄ είδους)
Λύση: Βρίσκουμε τη συνολική αξία των δύο ειδών και διαιρούμε με το συνολικό βάρος τους: 40 × 5 = 200 ευρώ και 60 × 4 = 240 ευρώ. Συνολικά: 200 + 240 = 440 ευρώ για 40 + 60 = 100 κιλά μείγματος, άρα το κιλό θα πουληθεί 440 : 100 = 4, 4 ευρώ.
Απάντηση: Ο παντοπώλης θα πουλήσει το κιλό του μείγματος 4, 4 ευρώ.
Ένας ποτοποιός κάνει μείγμα 280 κιλών κρασιού από δύο ποιότητες. Το κιλό της πρώτης ποιότητας αξίζει 3 ευρώ το κιλό και της δεύτερης 2 ευρώ το κιλό. Πουλάει το κιλό του μείγματος 2, 8 ευρώ. Πόσα κιλά πήρε από κάθε ποιότητα; (β΄ είδους)
Λύση: Βρίσκουμε τη διαφορά των τιμών κάθε ποιότητας από την τιμή του κιλού του μείγματος και μερίζουμε (βλ. λ. μερισμού προβλήματα) το βάρος του μείγματος ανάλογα με τις διαφορές αυτές, δηλαδή: για κάθε κιλό πρώτης ποιότητας που προσθέτει στο μείγμα, ο έμπορος χάνει 0,2 ευρώ, ενώ για κάθε κιλό δεύτερης ποιότητας κερδίζει 0,8 ευρώ. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να μερίσει την ποσότητα του μείγματος ανάλογα με τους αριθμούς 0,8 και 0,2 για την α΄ και τη β΄ ποιότητα αντίστοιχα, ισοδύναμα ανάλογα με τους αριθμούς 8 και 2.
Άρα από την α΄ ποιότητα θα βάλει κιλά και από τη β΄ ποιότητα θα βάλει κιλά.
Απάντηση: Στο μείγμα θα βάλει 224 κιλά της α΄ και 56 κιλά της β΄ ποιότητας. Ένας λαδέμπορος ανέμειξε 84 κιλά λαδιού αξίας 5,4 ευρώ το κιλό με σπορέλαιο αξίας 1,8 ευρώ το κιλό και πουλάει το κιλό του μείγματος προς 3,2 ευρώ. Πόσα κιλά σπορέλαιο έβαλε στο μείγμα; (β΄ είδους)
Λύση: Βρίσκουμε τις διαφορές των τιμών λαδιού - σπορέλαιου από την τιμή του κιλού του μείγματος και λύνουμε με βάση τις αναλογίες που υποδεικνύουν οι διαφορές αυτές, δηλαδή: με κάθε κιλό λαδιού που προσθέτει στο μείγμα χάνει 2,2 ευρώ, ενώ για κάθε κιλό σπορέλαιου που προσθέτει στο μείγμα κερδίζει 1,4 ευρώ (βλ. σχήμα 2).
Σύμφωνα με την αναλογία αυτή θα έχουμε: Τα 14 κιλά λάδι αντιστοιχούν σε 22 κιλά σπορέλαιο 84 x = κιλά. Απάντηση: Έβαλε 132 κιλά σπορέλαιο.
Ένας έμπορος αλεύρου ανέμειξε 350 κιλά αλεύρι των 24 λεπτών το κιλό με 270 κιλά αλεύρι των 18 λεπτών το κιλό. Πόσο πρέπει να πουλάει το κιλό του μείγματος, για να κερδίσει 380 λεπτά επιπλέον; (α΄ είδους)
Λύση: Υπολογίζουμε αρχικά πόσο πρέπει να πουλήσει το κιλό του μείγματος, ώστε να ισορροπήσει τις αξίες των επιμέρους αλεύρων με την αξία του μείγματος:
350 × 24 = 8400 λεπτά και 270 × 18 = 4860 λεπτά, συνολικά 8.400 + 4.860 = 13.260 λεπτά.Κατόπιν προσθέτουμε στη συνολική αξία το κέρδος του, δηλαδή 13.260 + 380 = 13.640 λεπτά συνολική αξία για 350 + 270 = 620 κιλά μείγματος, άρα για ένα κιλό 13.640 : 620 = 22 λεπτά. Απάντηση: Θα πουλήσει το κιλό του μείγματος 22 λεπτά.
Πώς πρέπει να αναμείξουμε λάδι αξίας 420 λεπτών το κιλό με άλλο λάδι αξίας 360 λεπτών το κιλό, ώστε να πουλάμε 520 λεπτά το κιλό του μείγματος και να κερδίζουμε με αυτόν τον τρόπο 30 %; (β΄ είδους)
Λύση: Η τιμή του κιλού του μείγματος χωρίς το κέρδος 30 % είναι: 520 : 1, 30 = 400 λεπτά. Με κάθε κιλό που προσθέτουμε στο μείγμα από το πρώτο είδος χάνουμε 20 λεπτά και για κάθε κιλό του δεύτερου είδους κερδίζουμε 40 λεπτά, επομένως,
Απάντηση: Η αναλογία με την οποία θα αναμείξουμε το πρώτο και το δεύτερο είδος είναι: 40 προς 20, δηλαδή ισοδύναμα 2 προς 1.
Αναμενόμενη τιμή. Η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής που περιμένουμε («αναμένουμε») κατά μέσο όρο να πάρει η μεταβλητή ενός πειράματος τύχης, όταν το πείραμα επαναληφθεί άπειρες φορές. Η αναμενόμενη τιμή (expected value) μιας τυχαίας μεταβλητής X συμβολίζεται με Ε(Χ). Στην περίπτωση της διακριτής τ. μ. ορίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των τιμών xi που μπορεί να πάρει η X επί την αντίστοιχη πιθανότητα P(X = xi) που έχει η Χ να πάρει πραγματικά την τιμή αυτή.
Ανάπτυγμα στερεού. Τα επίπεδα γεωμετρικά σχήματα από τα οποία αποτελείται ένα στερεό (π.χ. κύβου, ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, κυλίνδρου, κανονικής πυραμίδας κτλ.), όταν αυτό το «ξεδιπλώσουμε» πάνω στο επίπεδο. Το ανάπτυγμα αυτό του στερεού στο επίπεδο είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στον υπολογισμό κυρίως του εμβαδού της παράπλευρης και της ολικής επιφάνειας των στερεών αυτών. Το ανάπτυγμα δεν είναι μοναδικό συνήθως για κάθε στερεό, γιατί η διάταξη των εδρών, π.χ. ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, πάνω στο επίπεδο μπορεί να είναι διαφορετική. Όταν όμως κοπεί το χαρτόνι, όπου το σχεδιάσαμε, διπλωθεί προσεκτικά κατά μήκος των ακμών και κολληθεί, θα δώσει κάθε φορά το ίδιο στερεό., παρόλο που πάνω στο επίπεδο μπορεί να δείχνει διαφορετικό. Με τα αναπτύγματα (και μάλιστα πολύπλοκων στερεών) ασχολήθηκε εκτεταμένα ο περίφημος Γερμανός γεωμέτρης, ζωγράφος και αρχιτέκτονας Άλμπρεχτ Ντίρερ (1471-1528) και τα παρουσίασε στο έργο του «Μελέτη των Γεωμετρικών Κατασκευών με Κανόνα και Διαβήτη».
Παραδείγματα:
Το ανάπτυγμα ενός κύβου αποτελείται από έξι τετράγωνα ίσα μεταξύ τους.
Το ανάπτυγμα ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου αποτελείται από ορθογώνια, τα οποία
είναι ανά δύο ίσα μεταξύ τους.
Το ανάπτυγμα ενός κυλίνδρου αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο ίσους κύκλους, που έχουν περιφέρεια ίση με τη μία πλευρά του ορθογωνίου.
Το ανάπτυγμα ενός κώνου αποτελείται από ένα κυκλικό τομέα και ένα κύκλο, του οποίου η περιφέρεια είναι ίση με το μήκος του τόξου του κυκλικού τομέα.
Το ανάπτυγμα ενός ορθού πολυγωνικού πρίσματος αποτελείται από δύο πολύγωνα ίσα μεταξύ τους (που είναι οι βάσεις του πρίσματος) και από ορθογώνια (που είναι οι παράπλευρες έδρες του).
Το ανάπτυγμα μιας κανονικής πολυγωνικής πυραμίδας αποτελείται από ένα κανονικό πολύγωνο (που είναι η βάση της) και από ίσα μεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα (που είναι οι παράπλευρες έδρες) (σχήμα 6).
Το ανάπτυγμα ενός τετραέδρου αποτελείται από τέσσερα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.
Ομοίως, ορίζονται και τα αναπτύγματα των κόλουρων σωμάτων.
Ανάστροφος ενός πίνακα. Όταν μας δοθεί ένας πίνακας Α του τύπου μ ´ ν, ονομάζουμε ανάστροφο του Α τον πίνακα του τύπου ν ´ μ, ο οποίος προκύπτει από τον Α αν γράψουμε τις γραμμές στήλες και τις στήλες γραμμές με την ίδια όμως διάταξη· π.χ. για τον πίνακα Α = ο ανάστροφος είναι ο πίνακας:. Ο ανάστροφος ενός πίνακα είναι προφανώς μοναδικός και συμβολίζεται με ΑΤ ή Αt.
Ανεξαρτησία, γραμμική. Τα διανύσματα x1, x2, …, xν ενός διανυσματικού χώρου V ονομάζονται γραμμικώς ανεξάρτητα, όταν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς λ1, λ2, …, λν για τους οποίους ισχύει: λ1x1 + λ2x2 + … + λνxν = Ο, να είναι λ1 = λ2 = …= λν = 0, όπου Ο είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρώτης πράξης του διανυσματικού χώρου. Με άλλα λόγια, μια σχέση της μορφής λ1x1 + λ2x2 + … + λνxν = Ο δεν μπορεί να ισχύει για τα γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα x1, x2, …, xν, παρά μόνο όταν όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με το μηδέν. Ισοδύναμος ορισμός είναι και ο εξής: τα διανύσματα x1, x2, …, xν ενός διανυσματικού χώρου V ονομάζονται γραμμικώς ανεξάρτητα, αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.
Παράδειγμα: Ειδικότερα, για τα διανύσματα που χρησιμοποιούμε στο Διανυσματικό Λογισμό, ισχύουν και οι ακόλουθες πολύ σημαντικές προτάσεις, που προκύπτουν από τη γραμμική ανεξαρτησία (ή εξάρτηση):
Δύο διανύσματα του χώρου είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αν και μόνο αν τέμνονται.
Δύο διανύσματα του χώρου είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αν και μόνο αν δεν είναι συγγραμμικά.
Δύο διανύσματα του χώρου είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αν και μόνο αν κανένα από τα δύο δεν μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός του άλλου.
Δύο διανύσματα και του χώρου είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αν και μόνο αν δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός λ τέτοιος, ώστε να ισχύει μία τουλάχιστον από τις σχέσεις: ή
Τρία διανύσματα του χώρου είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν είναι συνεπίπεδο με τα υπόλοιπα.
Τρία διανύσματα του χώρου είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν ανήκει στο επίπεδο που ορίζουν τα άλλα δύο.
Τρία διανύσματα του χώρου είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αν και μόνο αν κανένα από αυτά δεν μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.
Τρία διανύσματα, του χώρου είναι γραμμικώς ανεξάρτητα αν και μόνο αν δεν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ, λ τέτοιοι, ώστε να ισχύει μία τουλάχιστον από τις σχέσεις.
Αν τα διανύσματα και τέμνονται (είναι δηλαδή γραμμικώς ανεξάρτητα), τότε κάθε διάνυσμα του επιπέδου τους γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός τους, δηλαδή υπάρχουν μοναδικοί πραγματικοί αριθμοί κ και λ τέτοιοι, ώστε να ισχύει:
Αν τα διανύσματα, του χώρου είναι μη συνεπίπεδα (είναι δηλαδή γραμμικώς ανεξάρτητα), τότε κάθε διάνυσμα του χώρου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός τους, δηλαδή υπάρχουν μοναδικοί πραγματικοί αριθμοί κ, λ, μ τέτοιοι, ώστε να ισχύει:
Ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Δύο ενδεχόμενα του δειγματοχώρου ενός πειράματος τύχης ονομάζονται ανεξάρτητα, όταν η πραγματοποίηση του ενός δεν επηρεάζει την πραγματοποίηση του άλλου, π.χ. στο πείραμα «ρίχνουμε δύο ζάρια μία φορά», η ένδειξη του ενός ζαριού είναι ανεξάρτητη από την ένδειξη του άλλου ζαριού. Για τα ανεξάρτητα ενδεχόμενα ισχύει η σχέση:
P(A ∩ B) = P(A) • P(B)
Παράδειγμα:
Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου να τραβήξουμε άσο από μία πλήρη τράπουλα και να φέρουμε έξι ρίχνοντας ένα ζάρι.
Λύση: Τα απλά ενδεχόμενα Α: «τραβάμε άσο» και Β: «φέρνουμε έξι» είναι ανεξάρτητα, επειδή το ποιο χαρτί θα τραβήξουμε από την τράπουλα, δεν επηρεάζει το τι θα φέρουμε, ρίχνοντας το ζάρι. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P(A) = και P(B) =, οπότε η πιθανότητα της τομής τους, δηλαδή να συμβούν και τα δύο ταυτόχρονα, είναι: P(A ∩ B) = P(A) • P(B) =.
Ανεξάρτητη μεταβλητή. Όταν δίνεται μία συνάρτηση y = f(x), η μεταβλητή x λέγεται ανεξάρτητη, γιατί μπορεί να πάρει ανεξάρτητα κάθε τιμή από το πεδίο ορισμού της f, ενώ η μεταβλητή y, η τιμή της οποίας υπολογίζεται με βάση τον τύπο της f, λέγεται εξαρτημένη, γιατί εξαρτάται από την τιμή του x που διαλέξαμε.
Ανισοϊσότητα. Είναι μία σχέση μεταξύ αριθμών (ή παραστάσεων) άνισων κατά μία κατεύθυνση ή ίσων. Έχει σύμβολο το «μεγαλύτερο ή ίσο» () και το «μικρότερο ή ίσο» ().Λύση μιας ανισοϊσότητας Π (x1, x2, …, xν)  0 ονομάζεται κάθε λύση της ανισότητας Π (x1, x2, …, xν) > 0 και της εξίσωσης Π (x1, x2, …, xν) = 0, δηλαδή το σύνολο των λύσεων μιας ανισοϊσότητας είναι η ένωση των συνόλων των λύσεων της αντίστοιχης ανισότητας και της αντίστοιχης εξίσωσης.
Ανισότητα. Μια σχέση μεταξύ αριθμών (ή παραστάσεων) άνισων. Έχει σύμβολο το «μεγαλύτερο» (>) και το «μικρότερο» (<). Όταν λέμε ότι ο αριθμός α είναι μικρότερος του β γράφεται α<β. Το ίδιο συμβαίνει και στις αλγεβρικές παραστάσεις.
Στην περίπτωση που οι παραστάσεις είναι δύο συναρτήσεις Π(x1, x2, …, xν), Ρ(x1, x2, …, xν) των ν μεταβλητών, ορισμένες σε σύνολο Γν, ονομάζουμε ανισότητα το πρόβλημα «ρ1, ρ2, …, ρν) Γν : Π(ρ1, ρ2, …, ρν) > Ρ(ρ1, ρ2, …, ρν) ή Π((ρ1, ρ2, …, ρν) < Ρ(ρ1, ρ2, …, ρν)».
Ανισότητα τριγωνική. Σε κάθε τρίγωνο κάθε πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο και μεγαλύτερη από την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους, δηλαδή: Παραδείγματα:
Υπάρχει τρίγωνο με πλευρές: α) 5, 6, 7; β) 3, 5, 8; γ) 15, 15, 2; δ) 4, 6, 11; ε) 2, 2, 15; Λύση: α) Υπάρχει, γιατί ισχύουν οι σχέσεις: 7 – 6 < 5 < 7 + 6, 7 – 5 < 6 < 7 + 5, 6 – 5 < 7 < 6 + 5. β) Δεν υπάρχει, γιατί: 3 + 5 = 8, ενώ θα έπρεπε να είναι 3 + 5 > 8. γ) Υπάρχει, γιατί: 15 – 15 < 2 < 15 + 15, 15 – 2 < 15 < 15 + 2. δ) Δεν υπάρχει, γιατί: 4 + 6 = 10 < 11, ενώ θα έπρεπε να είναι 4 + 6 > 11. ε) Δεν υπάρχει, γιατί: 2 + 2 = 4 < 15, ενώ θα έπρεπε να είναι 2 + 2 > 15.
Ορίζεται κατά μοναδικό τρόπο συναρτήσει του x η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου που έχει δύο πλευρές ίσες με x και 2x + 1 αντίστοιχα; Λύση: Έχουμε τρεις περιπτώσεις για το ισοσκελές τρίγωνο:
α) Αυτές που δίνονται είναι οι ίσες πλευρές: τότε όμως θα είχαμε x = 2x + 1  x = –1, δηλαδή αρνητική πλευρά που δεν έχει νόημα. Επομένως, δε γίνεται να είναι αυτές οι ίσες πλευρές.
β) Η βάση να είναι 2x + 1 και οι ίσες πλευρές να είναι ίσες με x. Ούτε κι αυτό όμως γίνεται, γιατί τότε δε θα ισχύει η τριγωνική ανισότητα, καθώς θα είναι: x + x = 2x < 2x + 1.
γ) Επομένως απομένει μόνο η τρίτη περίπτωση, η βάση να είναι ίση με x και οι ίσες πλευρές να είναι ίσες με 2x + 1, οπότε θα ισχύει και η τριγωνική ανισότητα.
Άρα, σύμφωνα με τα δεδομένα, η περίμετρος θα ορίζεται κατά μοναδικό τρόπο συναρτήσει του x και θα είναι: Π(x) = x + 2x + 1 + 2x + 1 = 5x + 2.
Ανοικτή ημιευθεία. Ανοικτές ημιευθείες ονομάζονται τα διαστήματα (α, +) = {x  IR : x > α} και (–, α) = {x  IR : x < α},τα οποία παριστάνονται πάνω στην πραγματική ευθεία με ημιευθείες, στις οποίες δε συμπεριλαμβάνεται η αρχή τους
Ανοικτή πρόταση. Ανοικτή πρόταση (ή προτασιακός τύπος) μιας μεταβλητής x λέγεται κάθε έκφραση P(x), η οποία μετατρέπεται σε πρόταση, όταν αντικατασταθεί η μεταβλητή x από τυχαίο στοιχείο ενός καθορισμένου συνόλου. Ανάλογα ορίζεται η ανοικτή πρόταση και για περισσότερες μεταβλητές.
Παράδειγμα:
Η έκφραση P(x) : x + 3 < 2 είναι μία ανοικτή πρόταση. Για να γίνει πρόταση, πρέπει το x να ανήκει σε κάποιο σύνολο. Αν στο παράδειγμα αυτό, το x είναι φυσικός αριθμός, ο προτασιακός τύπος P(x) παριστάνει ψευδή πρόταση. Αν όμως το x ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν τιμές του x, για τις οποίες η πρόταση είναι αληθής και άλλες, για τις οποίες είναι ψευδής.
Αν υποθέσουμε ότι το x διατρέχει τα στοιχεία ενός συνόλου Α, ονομάζουμε σύνολο αληθείας της ανοικτής πρότασης, το σύνολο των στοιχείων του Α, για τα οποία αυτή δίνει πρόταση αληθή, δηλαδή το σύνολο {x / x  A, P(x) αληθής}.
Ανοικτό διάστημα. Ονομάζεται το σύνολο {x  IR : α < x < β}, το οποίο συμβολίζεται με (α, β) και παριστάνεται πάνω στην πραγματική ευθεία με ένα ευθύγραμμο τμήμα, από το οποίο λείπουν τα άκρα.Πάντοτε υποθέτουμε ότι α < β.
Ανοικτό ορθογώνιο. Ονομάζεται το σύνολο των σημείων (x, y) του επιπέδου, για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις: α < x < β και γ < y < δ και παριστάνεται από τα εσωτερικά σημεία του ορθογωνίου ΑΒΓΔ.
Ανοικτό σύνολο. Ένα σύνολο Α αριθμών ή σημείων ονομάζεται ανοικτό τότε και μόνον τότε όταν αποτελείται μόνο από εσωτερικά του σημεία, δηλαδή όταν για κάθε σημείο του Μ υπάρχει περιοχή του Μ που ανήκει εξολοκλήρου στο σύνολο Α.
Παραδείγματα:
1. Το διάστημα (3, 5) είναι ανοικτό σύνολο (γι’ αυτό άλλωστε και ονομάζεται ανοικτό διάστημα), γιατί κάθε σημείο του είναι εσωτερικό, δηλαδή για κάθε σημείο του μπορούμε να βρούμε περιοχή του που να ανήκει εξολοκλήρου σ’ αυτό.
2. Το διάστημα [3, 5) όμως δεν είναι ανοικτό, γιατί για το 3 όποια περιοχή και να διαλέξουμε, οσοδήποτε μικρή, δεν ανήκει εξολοκλήρου σ’ αυτό.
3. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών δεν είναι ανοικτό, γιατί σε κάθε περιοχή ενός ρητού ανήκει τουλάχιστον ένας άρρητος, δηλαδή ολόκληρη η περιοχή δεν ανήκει στο Q.
4. Το σύνολο IR των πραγματικών αριθμών όμως είναι ανοικτό σύνολο, επειδή για κάθε πραγματικό αριθμό οσοδήποτε μικρή περιοχή και αν διαλέξουμε, όλοι οι αριθμοί που θα περιέχονται σ’ αυτήν θα είναι πραγματικοί.
Αντίθετη συνάρτηση. Αν f είναι μία πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής με πεδίο ορισμού Α, ονομάζουμε αντίθετή της μία άλλη συνάρτηση, που έχει το ίδιο πεδίο ορισμού με την f και τιμή την αντίθετη από την τιμή της f. Η αντίθετη της f συμβολίζεται με –f και γι’ αυτήν ισχύει:
" x Î A, (–f)(x) = –f(x).
Αντίθετος αριθμού. Ο αντίθετος ενός πραγματικού αριθμού α είναι ο αριθμός, ο οποίος αν προστεθεί στον α, δίνει αποτέλεσμα το ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση των πραγματικών αριθμών, δηλαδή το μηδέν. Ο αντίθετος του α είναι μοναδικός, συμβολίζεται με –α και η ιδιότητά του είναι:
α + (–α) = 0. Π.χ. αντίθετοι είναι το 5 και το –5. Οι αντίθετοι πραγματικοί αριθμοί είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. Πάνω στην πραγματική ευθεία δύο αντίθετοι αριθμοί παριστάνονται με σημεία, που είναι συμμετρικά ως προς το μηδέν.
Αντίθετος πίνακα. Αντίθετος ενός πίνακα Α του τύπου μ x ν ονομάζεται ένας άλλος πίνακας του ίδιου τύπου, ο οποίος όταν προστεθεί στον Α, δίνει ως αποτέλεσμα το ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση πινάκων, δηλαδή το μηδενικό πίνακα. Ο αντίθετος ενός πίνακα Α είναι μοναδικός, συμβολίζεται με –Α και περιέχει τα αντίθετα των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα Α. Η ιδιότητα του αντίθετου ενός πίνακα είναι: Α + (–Α) = Ο.
Π.χ. αντίθετοι είναι οι πίνακες: Α = και –Α = όπου x πραγματικός.


Αντικατάστασης, μέθοδος. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι με αυτό το όνομα, στις οποίες αντικαθιστούμε την τιμή μιας ή περισσότερων μεταβλητών σε σχέση με τις υπόλοιπες μεταβλητές που υπάρχουν στο πρόβλημα, ώστε να διευκολυνθεί η επίλυσή του. Αυτή η μέθοδος:
α) χρησιμοποιείται στην επίλυση συστημάτων εξισώσεων,
β) χρησιμοποιείται στον υπολογισμό των αόριστων και των ορισμένων ολοκληρωμάτων (βλ. λ. ολοκλήρωση).
Αντιμεταθετικότητα ή αντιμετάθεση. Η ιδιότητα που χαρακτηρίζει την πράξη συνθέσεως (*) μιας αλγεβρικής δομής (G, *), κατά την οποία ισχύει η σχέση: α * β = β * α, " α, β Î G. Τα στοιχεία α και β λέγονται αντιμεταθετά ή λέμε ότι αντιμετατίθενται.
Παραδείγματα:
1. Στην πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών ισχύει ο αντιμεταθετικός νόμος, γιατί " α, β Î IR ισχύουν α + β = β + α και α × β = β × α, ενώ στην αφαίρεση και τη διαίρεση δεν ισχύει πάντοτε και για οποιουσδήποτε αριθμούς, π.χ. οι διαφορές
5 – 3 = 2 και 3 – 5 = –2 είναι διαφορετικά μεταξύ τους αποτελέσματα. Επίσης, τα πηλίκα 6 : 2 = 3 και 2 : 6 = είναι διαφορετικά.
2. Στην πρόσθεση πινάκων ισχύει πάντα η αντιμεταθετική ιδιότητα, ενώ στον πολλαπλασιασμό δεν ισχύει πάντοτε. Έτσι, ισχύει Α + Β = Β + Α, για οποιουσδήποτε πίνακες Α και Β, αρκεί να είναι του ίδιου τύπου μ x ν, γιατί " i = 1, 2, …, μ, " j = 1, 2, …, ν, αij + βij = βij + αij. Αντίθετα, στον πολλαπλασιασμό έχουμε:
Τα γινόμενα αυτά είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ωστόσο, ο μοναδιαίος πίνακας είναι αντιμεταθετός με οποιονδήποτε τετραγωνικό πίνακα του ίδιου τύπου.
3. Στη σύνθεση συναρτήσεων δεν ισχύει πάντοτε η αντιμεταθετική ιδιότητα, π.χ. για τις συναρτήσεις: f(x) = x2 + 5x + 6 και g(x) = x + 2 με πεδίο ορισμού το IR, οι συνθέσεις fog και gof έχουν πεδίο ορισμού το IR και αντίστοιχα τιμές: (fog)(x) = (x + 2)2 + 5 • (x + 2) + 6 = x2 + 4x + 4 + 5x + 10 + 6 = x2 + 9x + 20 και (gof)(x) = (x2 + 5x + 6) + 2 = x2 + 5x + 8, οι οποίες δεν είναι ίσες για κάθε πραγματικό αριθμό x.
Αν σε μία ομάδα ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, τότε η ομάδα λέγεται αβελιανή ή αντιμεταθετική. (Βλ. και λ. Άμπελ, Χένριχ Νιλς.)
Αντίστροφες πράξεις. Πράξεις για τις οποίες ισχύει ότι το αποτέλεσμα της μιας εξουδετερώνεται από το αποτέλεσμα της άλλης (ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με τον ίδιο, διαφορετικό από το μηδέν, αριθμό είναι δύο πράξεις αντίστροφες).
Αντιστροφή. Ο γεωμετρικός μετασχηματισμός κατά τον οποίο, όταν δοθεί ένα σημείο Ο και ένας πραγματικός αριθμός λ, διάφορος του μηδενός, σε κάθε σημείο Μ να αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα σημείο Μ΄ τέτοιο, ώστε τα ομόλογα σημεία Μ και Μ΄ να είναι συνευθειακά με το Ο και να ικανοποιούν τη σχέση: ΄ = λ. Τα σημεία Μ και Μ΄ λέγονται αντίστροφα (σχήμα 1).
Ο γεωμετρικός τόπος των αντιστρόφων των σημείων ενός σχήματος S αποτελεί ένα άλλο σχήμα S΄, το οποίο ονομάζεται αντίστροφο του S.
Παραδείγματα:
α) Αν (ε) ευθεία και Ο σημείο εκτός αυτής, η αντίστροφη της (ε) ως προς το Ο είναι περιφέρεια με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα, που έχει ένα άκρο το Ο και άλλο άκρο το αντίστροφο της ορθής προβολής του Ο πάνω στην (ε) (σχήμα 2).Αν όμως το κέντρο Ο ανήκει στην (ε), τότε ο μετασχηματισμός αφήνει την ευθεία αναλλοίωτη.
β) Το αντίστροφο ενός κύκλου (Κ, ρ) ως προς κέντρο Ο που δεν ανήκει στην περιφέρειά του, είναι κύκλος (Κ΄, ρ΄) ομοιόθετος του (Κ, ρ) ως προς κέντρο ομοιοθεσίας Ο και λόγο ίσο προς το λόγο της δύναμης λ της αντιστροφής προς τη δύναμη του σημείου Ο ως προς τον κύκλο (Κ, ρ).Αν ο κύκλος αντιστραφεί ως προς κέντρο με δύναμη αντιστροφής ίση με τη δύναμη του κέντρου ως προς αυτόν, τότε ο κύκλος παραμένει αναλλοίωτος.
γ) Το αντίστροφο ενός κύκλου ως προς κέντρο που βρίσκεται πάνω στην περιφέρειά του, είναι ευθεία κάθετη στην ακτίνα που αντιστοιχεί στο κέντρο και σε απόσταση από αυτό που καθορίζεται από τη δύναμη αντιστροφής και την ακτίνα του κύκλου.Η αντιστροφή αφήνει αναλλοίωτη τη γωνία τομής δύο σχημάτων, καθώς και την επαφή δύο σχημάτων. Γενικά, μία γραμμή ή επιφάνεια, η οποία με την αντιστροφή μετασχηματίζεται στον εαυτό της, λέγεται αναλλαγματική.
Αντίστροφη μιας ορίζουσας. Όταν μας δίνεται μία ορίζουσα D ¹ 0, ονομάζουμε αντίστροφή της μία άλλη ορίζουσα D’, της οποίας τα στοιχεία είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των αντίστοιχων στοιχείων της ορίζουσας D, διαιρεμένα με την τιμή της D. Ισχύει η σχέση: D × D’ = 1.
Αντίστροφη πρόταση. Κάθε συνεπαγωγή p Þ q έχει υπόθεση p και συμπέρασμα q. Αν θεωρήσουμε τη συνεπαγωγή q Þ p, που έχει υπόθεση το συμπέρασμα της προηγούμενης και συμπέρασμα την υπόθεση της προηγούμενης, τότε αυτή λέγεται αντίστροφη πρόταση. Αν μία συνεπαγωγή είναι αληθής, δε σημαίνει ότι θα είναι αληθής και η αντίστροφή της, όπως άλλωστε φαίνεται και από την τρίτη και τέταρτη στήλη του πίνακα αληθείας.
Δύο αντίστροφες προτάσεις δεν έχουν κατ’ ανάγκη τα ίδια λόγια διατυπωμένα με αντίστροφη σειρά, όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα:
Η αντίστροφη της πρότασης: «Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο φέρουμε τη διάμεσο προς την υποτείνουσα, τότε αυτή είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας» είναι η εξής: «Αν σε ένα τρίγωνο μία διάμεσος είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης πλευράς, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή».
Επίσης, μπορεί να είναι αληθής μία πρόταση, χωρίς να είναι κατ’ ανάγκη αληθής και η αντίστροφή της, π.χ. η πρόταση «αν το x είναι ίσο με 3, τότε το x2 είναι ίσο με 9» είναι αληθής, αλλά η αντίστροφή της «αν το x2 είναι ίσο με 9, τότε το x είναι ίσο με 3» δεν αληθεύει, καθώς το x μπορεί να είναι και –3.
Αντίστροφη συνάρτηση. Δίνεται μία συνάρτηση f : A ® B. Αν η f είναι «1 – 1» και επί, τότε ορίζεται μία άλλη συνάρτηση, που ονομάζεται αντίστροφη της f, συμβολίζεται με f–1, έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών B της f, σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και τιμή που καθορίζεται από τον τύπο:
" y Î B, f–1(y) = x Û f(x) = y· δηλαδή η αντίστροφη αντιστοιχεί στις εικόνες y Î Β μέσω της f τα πρότυπά τους x Î Α.
Για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης, αρχικά αποδεικνύουμε ότι υπάρχει, λύνουμε τον τύπο της συνάρτησης ως προς x και μετά αλλάζουμε μεταξύ τους τα γράμματα x και y έτσι ώστε να διατηρήσουμε το x ως ανεξάρτητη μεταβλητή και το y ως εξαρτημένη.
Ισχύει το θεώρημα: «Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε υπάρχει η αντίστροφή της και μάλιστα παρουσιάζει το ίδιο είδος μονοτονίας». Οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων. Τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων δύο αντίστροφων συναρτήσεων βρίσκονται πάνω στη διχοτόμο, οπότε αν θέλουμε να τα βρούμε, μπορούμε να βρούμε τα κοινά σημεία της μίας με τη διχοτόμο (συνήθως η λύση του συστήματος των εξισώσεων αυτών είναι ευκολότερη). Η σύνθεση δύο αντίστροφων συναρτήσεων δίνει την ταυτοτική συνάρτηση στο Α ή στο Β (ανάλογα με το ποια σύνθεση ορίζουμε).
Αντίστροφος αριθμού. Ο αντίστροφος του αριθμού α ¹ 0 είναι το συμμετρικό του στοιχείο ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού, δηλαδή ένας άλλος αριθμός, ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί με τον α, δίνει ως αποτέλεσμα το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, που είναι η μονάδα. Ο αντίστροφος ενός αριθμού, όταν υπάρχει, είναι μοναδικός και συμβολίζεται με. Δύο αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι τότε και μόνο τότε, όταν το γινόμενό τους είναι ίσο με τη μονάδα, π.χ. αντίστροφοι είναι το 5 και το, το –3 και το, το και το. Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι πάντοτε ομόσημοι.
Γενικότερα, δύο στοιχεία ενός συνόλου, στο οποίο έχει οριστεί μία πράξη σύνθεσης, ονομάζονται αντίστροφοι, όταν η σύνθεσή τους δίνει το ουδέτερο στοιχείο (μοναδιαίο) της πράξης αυτής. Μερικές φορές ορίζουμε αντίστροφο από δεξιά ή αντίστροφο από αριστερά, χωρίς κατ’ ανάγκη αυτά τα δύο να ταυτίζονται.
Αντιστρόφως ανάλογα ποσά. Δύο ποσά λέγονται αντίστροφα ή αντιστρόφως ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός με έναν αριθμό, διαιρούνται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό. Επίσης, αντιστρόφως ανάλογα είναι δύο ποσά, όταν διαιρώντας τις τιμές του ενός με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό. Π.χ. αν το μήκος ενός ορθογωνίου διπλασιαστεί, θα πρέπει να υποδιπλασιαστεί το πλάτος του, ώστε το εμβαδό του ορθογωνίου να παραμείνει σταθερό, ή αν τριπλασιάσουμε τις ημερήσιες ώρες απασχόλησης μιας ομάδας εργασίας, θα χρειαστεί το ένα τρίτο του συνολικού χρονικού διαστήματος που απαιτείται για την ολοκλήρωση ενός συγκεκριμένου έργου. Ισοδύναμος ορισμός είναι ο εξής: αντιστρόφως ανάλογα λέγονται δύο ποσά, όταν οι αντίστοιχες τιμές τους έχουν το ίδιο γινόμενο. Βλέπουμε στον πίνακα τις αντίστοιχες τιμές δύο ποσών x και y.
Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, καθόσον ισχύουν οι σχέσεις: 10 × 60 = 600, 5 × 120 = 600, 30 × 20 = 600, 40 × 15 = 600, δηλαδή το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών παραμένει σταθερό.
Παραδείγματα αντιστρόφως αναλόγων ποσών είναι:
1. Ο χρόνος που απαιτείται για να διανυθεί ένα ορισμένο διάστημα και η ταχύτητα του κινητού.
2. Ο αριθμός των εργατών που απασχολούνται για ένα ορισμένο έργο και το πλήθος των ημερών εργασίας που απαιτούνται για την ολοκλήρωσή του.
3. Ο αριθμός των εργατών που απασχολούνται για ένα ορισμένο έργο και το πλήθος των ωρών ημερήσιας απασχόλησης.
4. Οι ημέρες που απαιτούνται για ένα ορισμένο έργο και οι ώρες ημερήσιας απασχόλησης ορισμένου πλήθους εργατών.
5. Το πλήθος των ατόμων που θα καταναλώσουν μία ορισμένη ποσότητα τροφίμων και το χρονικό διάστημα στο οποίο τα τρόφιμα αυτά θα καταναλωθούν.
6. Η παροχή νερού μιας βρύσης ανά μονάδα χρόνου και ο χρόνος που απαιτείται για να γεμίσει μία ορισμένη δεξαμενή.
7. Η διάμετρος ενός τροχού και ο αριθμός περιστροφών που χρειάζονται, για να καλυφθεί μία ορισμένη απόσταση.
8. Η διάμετρος των γραναζιών που είναι συνδεδεμένα σε μία τροχαλία και ο αριθμός των περιστροφών που θα κάνουν.
9. Το μήκος και το πλάτος ενός χωραφιού σχήματος ορθογωνίου, όταν θέλουμε να έχει σταθερό εμβαδό.
10. Το μήκος και το πλάτος υφάσματος με σταθερό εμβαδό.
11. Το κεφάλαιο που τοκίζουμε για ορισμένο χρονικό διάστημα και το επιτόκιο προς το οποίο θα τοκισθεί ώστε να δώσει σταθερό τόκο.
12. Ο χρόνος τοκισμού ενός κεφαλαίου και το επιτόκιο προς το οποίο θα τοκισθεί ώστε να δώσει σταθερό τόκο.
13. Το κεφάλαιο που τοκίζουμε με ορισμένο επιτόκιο για να δώσει ορισμένο τόκο και το χρονικό διάστημα που θα χρειαστεί.
14. Η ημερήσια δαπάνη και ο χρόνος εξάντλησης ορισμένου χρηματικού ποσού.
15. Το πλήθος των σελίδων ενός ορισμένου βιβλίου και το πλήθος των στίχων κάθε σελίδας.
16. Το πλήθος των στίχων μιας ορισμένης σελίδας ενός βιβλίου και ο αριθμός των γραμμάτων κάθε σειράς.
17. Ο διαιρέτης και το πηλίκο, όταν ο διαιρετέος παραμείνει σταθερός.
18. Η πυκνότητα ενός διαλύματος και η ποσότητα του υγρού που περιέχει τη διαλυμένη ουσία.
α) Η παροχή μιας βρύσης, που γεμίζει μία ορισμένη δεξαμενή σε 2 ώρες και 20 λεπτά, είναι 15,8 κιλά νερό ανά λεπτό. Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η ίδια δεξαμενή, αν η παροχή της βρύσης μεταβληθεί σε 31,6 κιλά νερό ανά 4 λεπτά;
Λύση: Τη δεύτερη φορά σε ένα λεπτό η βρύση παρέχει 31,6 : 4 = 7,9 κιλά νερό. Η παροχή νερού μιας βρύσης ανά μονάδα χρόνου και ο χρόνος που απαιτείται για να γεμίσει μία ορισμένη δεξαμενή, είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα, οπότε:
Σε 2 × 60 + 20 = 120 + 20 = 140 λεπτά γεμίζει τη δεξαμενή η βρύση που παρέχει 15,8 κιλά νερό το λεπτό, επομένως όταν παρέχει 7,9 κιλά νερό το λεπτό, θα τη γεμίσει σε:
(15,8 × 140) : 7,9 = 280 λεπτά.
Απάντηση: Τη δεύτερη φορά η δεξαμενή θα γεμίσει σε 4 ώρες και 40 πρώτα λεπτά.
β) Δέκα εργάτες βάφουν μία οικοδομή σε 15 ημέρες. Είκοσι πέντε εργάτες πόσες ημέρες θα χρειαστούν για το ίδιο έργο;
Λύση: Ο αριθμός των εργατών και οι ημέρες ολοκλήρωσης ορισμένου έργου είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά, οπότε έχουμε:
(15 × 10) : 25 = 6 ημέρες.
Απάντηση: Οι 25 εργάτες θα χρειαστούν 6 ημέρες για το ίδιο έργο.
γ) Σε μία κατασκήνωση φιλοξενούνται 135 παιδιά. Τα τρόφιμα που διαθέτουν φτάνουν για 18 ημέρες. Αν όμως το βράδυ της τέταρτης ημέρας έρθουν κι άλλα 75 παιδιά, για πόσες ημέρες θα φτάσουν τα τρόφιμα που απέμειναν, αν δεν ελαττωθεί η μερίδα του καθενός;
Λύση: Τα τρόφιμα που έμειναν θα έφταναν για τα 135 παιδιά που ήταν αρχικά στην κατασκήνωση για 14 ημέρες, αφού 4 ημέρες ήδη πέρασαν. Τα παιδιά όμως γίνονται 135 + 75 = 210 από την πέμπτη ημέρα και μετά. Ο αριθμός των ατόμων που θα καταναλώσουν μία ορισμένη ποσότητα τροφίμων και οι ημέρες κατανάλωσής τους είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά, επομένως:
(135 × 14) : 210 = 9 ημέρες.
Απάντηση: Τα τρόφιμα θα φτάσουν για 9 ημέρες για όλα τα παιδιά.
Αντισυμμετρική ορίζουσα. Μία ορίζουσα ονομάζεται αντισυμμετρική, όταν τα στοιχεία της που είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο είναι αντίθετα μεταξύ τους. Ο υπολογισμός μιας τέτοιας ορίζουσας γίνεται πολύ εύκολα, όταν βρίσκεται το τετράγωνό της.
Αντισυμμετρική σχέση. Μία διμελής σχέση σ που ορίζεται μεταξύ των στοιχείων ενός μη κενού συνόλου Α, ονομάζεται αντισυμμετρική τότε και μόνο τότε, όταν
"α, β Î Α με α σ β και β σ α Þ α = β.
Παραδείγματα:
1. Η σχέση της ασθενούς διάταξης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι σχέση αντισυμμετρική, γιατί "x, y Î IR με x ≤ y και y ≤ x Þ x = y.
2. Η διαιρετότητα στο σύνολο των φυσικών αριθμών είναι σχέση αντισυμμετρική, γιατί ισχύει:
"κ, λ ÎIΝ* με κ/λ και λ/κ Þ κ = λ.
Αντισυμμετρικός πίνακας. Ένας τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται αντισυμμετρικός, όταν τα στοιχεία του, που είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο, είναι αντίθετα μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω στην κύρια διαγώνιο ενός τέτοιου πίνακα Α, θα είναι ίσα με το μηδέν (αii = 0), ενώ και για κάθε i ¹ j όλα τα στοιχεία αij = –αji,. Ο αντισυμμετρικός πίνακας ισούται με τον αντίθετο του αναστρόφου του, δηλαδή για τον αντισυμμετρικό πίνακα Α θα ισχύει η σχέση: ΑΤ + Α = Ο.
Αντίφαση. Αντίφαση ονομάζεται μία σύνθετη πρόταση τότε και μόνο τότε, όταν είναι ψευδής πάντοτε, ανεξάρτητα από τις τιμές των απλών προτάσεων, από τις οποίες αποτελείται. Αλλιώς ονομάζεται και αυτοαντίφαση.Παράδειγμα:
Να αποδείξετε ότι είναι αντίφαση η πρόταση: p Ù (~p) .
Λύση: Η πρόταση είναι αντίφαση όπως φαίνεται στον πίνακα αληθείας.
Αξιώματα μιγαδικών αριθμών του Hamilton. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C καθορίζεται σύμφωνα με τα ακόλουθα αξιώματα του Hamilton:
1. Αξίωμα υπάρξεως: Υπάρχει ένα μη κενό σύνολο (το C), του οποίου τα στοιχεία λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και σε κάθε στοιχείο z Î C αντιστοιχεί μονοσήμαντα ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών (α, β). Το α ονομάζεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται με Re (z) και το β φανταστικό μέρος του z και συμβολίζεται με Im (z).
2. Αξίωμα ισότητας: Δύο μιγαδικοί αριθμοί z1 και z2 είναι ίσοι αν και μόνο αν το πραγματικό μέρος του ενός ισούται με το πραγματικό μέρος του άλλου και το φανταστικό μέρος του ενός ισούται με το φανταστικό μέρος του άλλου, δηλαδή:
z1 = z2 Û Re (z1) = Re (z2) και Im (z1) = Im (z2).
3. Αξίωμα πρόσθεσης: Σε κάθε ζεύγος μιγαδικών αριθμών (z1, z2) αντιστοιχεί ένας μονότιμα ορισμένος μιγαδικός αριθμός που λέγεται άθροισμά τους και συμβολίζεται με z1 + z2, ο οποίος έχει πραγματικό μέρος το άθροισμα των πραγματικών μερών των δύο μιγαδικών και φανταστικό μέρος το άθροισμα των φανταστικών μερών των δύο μιγαδικών, δηλαδή:
Re (z1 + z2) = Re (z1) + Re (z2) και Im (z1 + z2) = Im (z1) + Im (z2).
4. Αξίωμα πολλαπλασιασμού: Σε κάθε ζεύγος μιγαδικών αριθμών (z1, z2) αντιστοιχεί ένας μονότιμα ορισμένος μιγαδικός αριθμός που λέγεται γινόμενό τους και συμβολίζεται με z1 × z2, ο οποίος έχει πραγματικό και φανταστικό μέρος που δίνονται από τους τύπους:
Re (z1 × z2) = Re (z1) × Re (z2) - Im (z1) × Im (z2) και
Im (z1 × z2) = Re (z1) × Im (z2) + Im (z1) × Re (z2).
5. Αξίωμα: Ο μιγαδικός αριθμός που έχει φανταστικό μέρος μηδέν είναι ίσος με το πραγματικό του μέρος.
Παρατηρήσεις:
α) Με τη βοήθεια του πέμπτου αξιώματος και του αξιώματος του πολλαπλασιασμού μπορούμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει μιγαδικός αριθμός που δεν είναι πραγματικός. Είναι ο μιγαδικός που αντιστοιχεί στο ζεύγος των πραγματικών αριθμών (0, 1), δηλαδή έχει πραγματικό μέρος μηδέν και φανταστικό ίσο με τη μονάδα. Αυτόν τον ονομάζουμε φανταστική μονάδα και τον συμβολίζουμε με i.
β) Με τη βοήθεια του πέμπτου αξιώματος και της προηγούμενης παρατήρησης συμπεραίνουμε εύκολα ότι το σύνολο IR των πραγματικών αριθμών είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των μιγαδικών αριθμών και ότι οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού που ορίσαμε στο C είναι επεκτάσεις των ίδιων πράξεων στο IR .
γ) Με τη βοήθεια της φανταστικής μονάδας αποδεικνύεται ότι όλοι οι μιγαδικοί μπορούν να πάρουν τη μορφή α + βi, όπου (α, β) το ζεύγος των πραγματικών αριθμών που αντιστοιχεί στο μιγαδικό. Αυτή η μορφή λέγεται αλγεβρική ή καρτεσιανή μορφή του μιγαδικού.
δ) Για τις πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης μεταξύ μιγαδικών αριθμών

No comments:

Post a Comment