Friday, June 19, 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙII

Αξιώματα πιθανοτήτων του Andrei Kolmogoroff. Αποτελούν την αξιωματική θεμελίωση της Θεωρίας των Πιθανοτήτων. Αν Ω είναι ένα μη κενό σύνολο και Α στοιχείο του δυναμοσυνόλου του Ω, έστω Ã(Ω), τότε ορίζουμε μία μονοσήμαντη απεικόνιση Ρ από το δυναμοσύνολο Ã(Ω) στο διάστημα [0, 1], για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:
α) " Α Î Ã (Ω) Þ Α’ = Ω – Α Î Ã (Ω)
β) " Α, Β Î Ã (Ω) Þ Α È Β Î Ã (Ω)
γ) " Α, Β Î Ã (Ω) Þ Α Ç Β Î Ã (Ω)
δ) " Α Î Ã (Ω) Þ 0 £ Ρ(Α) £ 1
ε) P(Ω) = 1, Ρ(Æ) = 0
στ) Α Ç Β = Æ Þ Ρ(Α È Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)
Η τελευταία σχέση ισχύει και για αριθμήσιμο πλήθος συνόλων.
Ο αριθμός Ρ(Α) ονομάζεται πιθανότητα του ενδεχομένου Α.
Αξιώματα φυσικών αριθμών του Peano. Το 1889 ο Τζουζέπε Πεάνο (1858-1932) εξέφρασε με συμβολική γλώσσα τις πέντε προφανείς αλήθειες για τους φυσικούς αριθμούς, που μία χρονιά πριν είχε διατυπώσει ο Ριχάρδος Ντέντεκιντ. Τα αξιώματα του Πεάνο συνδέουν το σύνολο ΙΝ , τον αριθμό 0 (μηδέν) και τον επόμενο φυσικό ν + 1 ενός φυσικού αριθμού ν και είναι:
1ο: 0 Î ΙΝ
2ο: " ν Î ΙΝ, ν + 1 Î ΙΝ
3ο: " ν Î ΙΝ, ν + 1 ¹ 0
4ο: " ν Î ΙΝ, " μ Î ΙΝ, με ν + 1 = μ + 1, τότε ν = μ.
5ο: Αν Α υποσύνολο του ΙΝ τέτοιο, ώστε:
α) 0 Î Α
β) " ν Î Α Þ ν + 1 Î Α,
τότε Α = ΙΝ.
Το πέμπτο αξίωμα του Πεάνο αποτελεί τη γνωστή αρχή της απλής και τέλειας μαθηματικής επαγωγής. Πάνω σ’ αυτά τα αξιώματα στηρίζεται ολόκληρη η Αριθμητική.
Αξιωματική μέθοδος. Έτσι ονομάζεται ο σύγχρονος τρόπος θεμελίωσης, οργάνωσης και παρουσίασης κάθε κλάδου των Μαθηματικών, ώστε να είναι σωστά ορισμένος, παραγωγικός και εφαρμόσιμος. Πριν διατυπώσει μία νέα θεωρία, ένας μαθηματικός πρέπει να δώσει στην αρχή του έργου του ορισμούς για τα στοιχεία και τις πρωταρχικές έννοιες που πρόκειται να χρησιμοποιήσει, ένα σύστημα αξιωμάτων (δηλαδή αυταπόδεικτων προτάσεων με προφανή αλήθεια), πάνω στα οποία θα βασιστεί όλη η θεωρία του, καθώς και θεωρήματα, δηλαδή προτάσεις που παράγονται με λογικές αποδεικτικές μεθόδους από τα αξιώματα που έχει θέσει. Σήμερα πλέον έχει καθιερωθεί η αξιωματική μέθοδος θεμελίωσης, ώστε να γίνει αποδεκτή κάθε νέα θεωρία από όλους χωρίς αμφισβήτηση. Παρ’ όλα αυτά, τα ίχνη της μεθόδου χάνονται στην αρχαιότητα, καθώς ήδη ο Ευκλείδης την είχε χρησιμοποιήσει, για να θεμελιώσει τη γεωμετρία του.
Άξονας συμμετρίας σχήματος. Κάθε ευθεία, ως προς την οποία το συμμετρικό του σχήματος ταυτίζεται με αυτό. Έτσι, κάθε διάμετρος περιφέρειας είναι άξονας συμμετρίας, οι διαγώνιοι τετραγώνου είναι άξονες συμμετρίας του, κάθε ευθεία η οποία ενώνει τα κέντρα δύο απέναντι εδρών κύβου είναι άξονας συμμετρίας του κτλ.
Άξονας συντεταγμένων. Μία ευθεία πάνω στην οποία έχει οριστεί η θετική φορά, η αρχή Ο των μετρήσεων και η μονάδα μέτρησης, ονομάζεται άξονας. Με άλλα λόγια, είναι μία ευθεία πάνω στην οποία έχει καθοριστεί η αρχή Ο, η θετική φορά και το μοναδιαίο διάνυσμα, το οποίο έχει φορά υποχρεωτικά τη θετική φορά του άξονα. Τότε σε κάθε σημείο A του άξονα αντιστοιχεί ένας και μόνο ένας πραγματικός αριθμός xA, που λέγεται τετμημένη του σημείου Α, και η ευθεία ονομάζεται άξονας των πραγματικών αριθμών ή πραγματική ευθεία. Όσο δεξιότερα πάνω στον οριζόντιο άξονα βρίσκεται ένα σημείο, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός που αυτό παριστάνει. Η αλγεβρική τιμή ενός διανύσματος ορίζεται με τη βοήθεια του άξονα: είναι ίση με τη διαφορά της τετμημένης της αρχής του διανύσματος από την τετμημένη του πέρατος, δηλαδή: = xB – xA. Επίσης, το ίδιο το διάνυσμα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός του μοναδιαίου διανύσματος του άξονα ως εξής:.
Στο επίπεδο ορίζουμε σύστημα αναφοράς με δύο τεμνόμενους άξονες: τον άξονα των τετμημένων x’x και τον άξονα των τεταγμένων yy’, όχι αναγκαστικά κάθετους μεταξύ τους, οι οποίοι τέμνονται στην κοινή αρχή τους και έχουν μοναδιαία διανύσματα, όχι αναγκαστικά του ίδιου μήκους. Σε κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί μοναδικό διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών (x, y), που λέγονται συντεταγμένες, με x την τετμημένη και y την τεταγμένη. Στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών (επίπεδο Argand), οι άξονες είναι: των τετμημένων ο άξονας των πραγματικών αριθμών και των τεταγμένων ο άξονας των καθαρά φανταστικών αριθμών. Σε κάθε σημείο του επιπέδου (α, β) αντιστοιχεί μοναδικός μιγαδικός αριθμός z = α + βi, του οποίου το πραγματικό μέρος είναι το α και το φανταστικό μέρος το β.
Στο χώρο των τριών διαστάσεων, ορίζουμε σύστημα αναφοράς με τρεις άξονες, τεμνόμενους μεταξύ τους ανά δύο στην κοινή αρχή τους και με μοναδιαία διανύσματα που δεν έχουν αναγκαστικά το ίδιο μήκος: είναι οι άξονες x’x των τετμημένων, yy’ των τεταγμένων και zz’ των κατηγμένων. Σε κάθε σημείο του χώρου αντιστοιχεί μοναδική διατεταγμένη τριάδα πραγματικών αριθμών (x, y, z), όπου x είναι η τετμημένη, y η τεταγμένη και z η κατηγμένη του σημείου.
Αξονική συμμετρία. Ένα γεωμετρικό σχήμα λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία, όταν το συμμετρικό του ως προς μια ευθεία (ε) ταυτίζεται με τον εαυτό του (βλ. και λ. άξονας συμμετρίας σχήματος). Το συμμετρικό ενός σημείου Κ, ως προς άξονα συμμετρίας (ε), το βρίσκουμε με την ακόλουθη διαδικασία:
α) αν το σημείο Κ βρίσκεται πάνω στον άξονα, τότε ταυτίζεται με το συμμετρικό του Κ’
β) αν δε βρίσκεται πάνω στον άξονα, τότε φέρνουμε από αυτό κάθετη ΚΛ προς τον άξονα και προεκτείνουμε αυτήν κατά ίσο τμήμα ΛΚ’ = ΚΛ. Το άκρο Κ’ είναι το συμμετρικό του Κ ως προς τον άξονα (ε)
Αόριστη εξίσωση. Μία εξίσωση λέγεται αόριστη αν, και μόνο αν, έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή αν και μόνο αν επαληθεύεται για άπειρες τιμές των αγνώστων που περιέχει.
Παραδείγματα:
1. Η εξίσωση 0x = 0 επαληθεύεται για κάθε πραγματικό αριθμό x.
2. Η εξίσωση 0x + 0y = 0 επαληθεύεται για κάθε τιμή των πραγματικών αριθμών x και y.
3. Η εξίσωση 0x + 5y = 10 επαληθεύεται για άπειρα ζεύγη της μορφής (x, 2), όπου x Î IR.
Αόριστο σύστημα εξισώσεων. Ένα σύστημα μ εξισώσεων με ν αγνώστους λέγεται αόριστο αν και μόνο αν έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή αν, και μόνο αν, επαληθεύεται για άπειρες διατεταγμένες νιάδες τιμών των αγνώστων που περιέχει.
Παραδείγματα:
1. Το σύστημα είναι αόριστο και έχει άπειρες μονοπαραμετρικές λύσεις της μορφής: (x, y) = (4 – 2y, y), για κάθε y Î IR.
2. Το σύστημα είναι αόριστο και έχει άπειρες μονοπαραμετρικές λύσεις της μορφής:
(x, y) = (x, 4 – 5x), για κάθε x Î IR.
3. Το σύστημα είναι αόριστο και επαληθεύεται για κάθε x, y, z Î IR.
4. Το σύστημα είναι αόριστο με άπειρες διπαραμετρικές λύσεις της μορφής:
(x, y, z) = (x, y, 2x + y – 5), για κάθε x, y Î IR.
Για τις μεθόδους επίλυσης συστημάτων εξισώσεων, βλ. λ. συστημάτων εξισώσεων, επίλυση.
Απαγωγή σε άτοπο. Έμμεση (ή πλάγια) μέθοδος απόδειξης μαθηματικών προτάσεων. Σύμφωνα με αρκετούς ιστορικούς μελετητές, επινοήθηκε από τον Ιπποκράτη το Χίο (5ος αι. π.Χ.), έναν Πυθαγόρειο, από τους σημαντικότερους γεωμέτρες όλων των εποχών.
Η μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο βασίζεται στον ακόλουθο συλλογισμό: όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μία πρόταση είναι αληθής, θεωρούμε την αντίθετή της, υποθέτουμε ότι αυτή είναι αληθής και καταλήγουμε σε κάτι το άτοπο, δηλαδή σε κάτι που αντιβαίνει στη λογική μας ή σε μία γνωστή πρόταση (ένα αξίωμα ή ένα ήδη αποδεδειγμένο θεώρημα). Όταν λοιπόν καταλήγουμε σε άτοπο, αυτό γίνεται γιατί υποθέσαμε λανθασμένα ότι η αντίθετη της πρότασης (για την οποία ζητούμε απόδειξη) είναι αληθής, άρα η αντίθετη της πρότασης είναι ψευδής, επομένως η ίδια η πρόταση είναι αληθής.Παράδειγμα:
Να αποδειχθεί η πρόταση: «Αν μία ευθεία τέμνει τη μία από δύο παράλληλες ευθείες, συνεπίπεδες με αυτήν, τότε θα τέμνει και την άλλη».

Απόδειξη:
Σ’ αυτήν την πρόταση, η υπόθεση είναι ότι έχουμε δύο παράλληλες ευθείες (έστω ε1 και ε2) και μία τρίτη ευθεία συνεπίπεδη με αυτές (έστω ε) και ξέρουμε ότι η ε τέμνει την ε1. Το συμπέρασμα είναι ότι η ε θα τέμνει υποχρεωτικά και την ε2. Θα αποδείξουμε την πρόταση με απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα από το συμπέρασμα, ότι η ευθεία ε δεν τέμνει την ε2 και θα καταλήξουμε σε άτοπο.Αφού λοιπόν η ε δεν τέμνει την ε2 και επειδή είναι συνεπίπεδες, αυτό σημαίνει ότι θα είναι παράλληλες. Αν ονομάσουμε Α το σημείο τομής της ε με την ε1, θα έχουμε δύο ευθείες (την ε και την ε1) παράλληλες προς την ε2 και οι οποίες διέρχονται από το Α. Αυτό είναι άτοπο, γιατί αντιβαίνει στο 5ο αίτημα του Ευκλείδη που λέει ότι: «από σημείο εκτός ευθείας υπάρχει μοναδική παράλληλη προς τη δοσμένη ευθεία». Έτσι, καταλήξαμε σε άτοπο κι αυτό συνέβη, γιατί υποθέσαμε λανθασμένα ότι η ε δεν τέμνει την ε2. Συνεπώς, η ε τέμνει υποχρεωτικά και την ε2.
Απαλείφουσα.Η ικανή και αναγκαία συνθήκη την οποία πρέπει να πληρούν οι συντελεστές των αγνώστων των εξισώσεων συστήματος, για να έχει αυτό λύση. Απαλείφουσα δύο τριωνύμων δευτέρου βαθμού φ(x) = αx2 + βx + γ και φ΄(x) = α΄x2 + β΄x + γ΄, όπου α, β, γ, α΄, β΄, γ΄ πραγματικοί αριθμοί με α • α΄ ¹ 0, ονομάζεται η παράσταση: R = (αγ΄ – α΄γ)2 – (αβ΄ – α΄β) (βγ΄ – β΄γ).
Ισχύουν οι προτάσεις:
1. Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουν τα δύο τριώνυμα κοινές ρίζες είναι:
2. Τα δύο τριώνυμα έχουν τουλάχιστον μία κοινή ρίζα τότε και μόνο τότε όταν R = 0.
3. Η απαλείφουσα μπορεί να πάρει τις ακόλουθες μορφές:
α) R = α΄2 • φ(ρ1΄) • φ(ρ2΄) = α2 • φ΄(ρ1) • φ΄(ρ2)
β) R = α2 • α΄2 • (ρ1 – ρ1΄) • (ρ1 – ρ2΄) • (ρ2 – ρ1΄) • (ρ2 – ρ2΄)
γ) R =, όπου ρ1, ρ2 οι ρίζες του τριωνύμου φ(x), ρ1΄, ρ2΄ οι ρίζες του τριωνύμου φ΄(x) και Δ, Δ΄ οι αντίστοιχες διακρίνουσες.
4. Τα δύο τριώνυμα έχουν μόνο μία κοινή ρίζα τότε και μόνο τότε όταν R = 0 και αβ΄ – α΄β ≠ 0
Απαλοιφή. Απαλοιφή ενός ή περισσότερων αγνώστων από εξισώσεις, οι οποίες είναι περισσότερες (ή του ίδιου πλήθους) με τους αγνώστους, είναι η εύρεση της αναγκαίας και ικανής συνθήκης, η οποία πρέπει να συνδέει τους συντελεστές αυτών των εξισώσεων, ώστε αυτές να επαληθεύονται με τις ίδιες τιμές των αγνώστων. Η παραπάνω συνθήκη λέγεται «απαλείφουσα των εξισώσεων».
Απαρίθμηση. Απαρίθμηση ενός συνόλου Σν = {α1, α2, ..., αν}, όπου ν φυσικός αριθμός και α1, α2, …, αν διακεκριμένα αντικείμενα, ονομάζουμε κάθε αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του συνόλου {1, 2, ..., ν} επί του Σν. Η απαρίθμηση παριστάνεται από έναν πίνακα με δύο γραμμές και ν στήλες, που περιέχει τα πρότυπα στην πρώτη γραμμή και τις εικόνες τους στη δεύτερη γραμμή, δηλαδή:, όπου οι αριθμοί κ1, κ2, …, κν είναι οι αριθμοί 1, 2, …, ν γραμμένοι ενδεχομένως με διαφορετική διάταξη.
Οι απαριθμήσεις και οι αντικαταστάσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα στη Συνδυαστική Ανάλυση, όπου με τη βοήθειά τους ορίζονται οι μεταθέσεις και οι διατάξεις ν διακεκριμένων αντικειμένων.
Απαρίθμησης, θεμελιώδης αρχή. Ένα από τα σπουδαιότερα θεωρήματα της Συνδυαστικής Ανάλυσης. Λέγεται αλλιώς και πολλαπλασιαστική αρχή και διατυπώνεται ως εξής:
Όταν ένα πείραμα τύχης πραγματοποιείται σε δύο φάσεις, από τις οποίες η μία γίνεται με μ τρόπους και η άλλη με ν τρόπους, τότε το πείραμα πραγματοποιείται με μ • ν τρόπους.
Παράδειγμα:
Σχηματίζουμε ζευγάρια για χορό από 10 ανδρόγυνα, με τον όρο ότι οι σύζυγοι δε θα χορέψουν μαζί. Πόσα ζευγάρια μπορούμε να σχηματίσουμε;
Λύση: Υπάρχουν 10 άνδρες και 10 γυναίκες. Όμως από την υπόθεση γνωρίζουμε ότι κάθε άνδρας δεν μπορεί να χορέψει με τη σύζυγό του, αλλά μπορεί με τις υπόλοιπες 9. Έτσι, το πείραμα:«σχηματίζουμε ζευγάρια για χορό» πραγματοποιείται σε δύο φάσεις:
Πρώτη φάση: «εκλέγουμε τον καβαλιέρο». Αυτή γίνεται με 10 τρόπους.
Δεύτερη φάση: «εκλέγουμε τη ντάμα». Αυτή γίνεται με 9 τρόπους.
Σύμφωνα λοιπόν με τη θεμελιώδη αρχή απαρίθμησης, τα ζευγάρια θα είναι: 10 • 9 = 90.
Απάντηση: Μπορούμε να σχηματίσουμε 90 ζευγάρια για το χορό.
Σημείωση: Η αρχή αυτή γενικεύεται και σε πειράματα, που εκτελούνται σε ν διαδοχικές φάσεις. Αν η πρώτη φάση πραγματοποιείται με κ1 τρόπους, η δεύτερη με κ2 τρόπους,…, η νιοστή φάση με κν τρόπους, τότε το πείραμα πραγματοποιείται με κ1 • κ2 • …• κ ν τρόπους.
Απαριθμητή (ή διακριτή) τυχαία μεταβλητή. Έτσι ονομάζεται μία ποσοτική τυχαία μεταβλητή ενός πειράματος τύχης, που παίρνει τιμές από ένα αριθμήσιμο σύνολο. Αν δεν είναι απαριθμητή, τότε θα είναι συνεχής και θα παίρνει τιμές από ένα διάστημα, υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Π.χ. η τυχαία μεταβλητή «ένδειξη του ζαριού» του πειράματος «ρίχνουμε ένα κανονικό ζάρι μία φορά» είναι απαριθμητή, γιατί παίρνει τιμές 1, 2, 3, 4, 5 ή 6.
Απεικόνιση (ή αντιστοιχία), η (Μαθ.). Θεωρούμε δύο σύνολα Α και Β διάφορα του κενού. Σε κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχούμε ένα ή περισσότερα στοιχεία του Β σύμφωνα με έναν ορισμένο νόμο (κανόνα - τρόπο - διαδικασία). Ο νόμος αυτός λέγεται απεικόνιση ή αντιστοιχία. Το σύνολο Α ονομάζεται σύνολο αφετηρίας ή σύνολο ορισμού της απεικόνισης και τα στοιχεία του λέγονται πρότυπα ή αρχέτυπα. Το σύνολο Β ονομάζεται σύνολο άφιξης της απεικόνισης και τα στοιχεία του λέγονται τιμές ή εικόνες. Μία απεικόνιση παριστάνεται με βελοειδές διάγραμμα (βελοδιάγραμμα), με πίνακα διπλής εισόδου ή με γράφημα.
Παράδειγμα:
Η απεικόνιση σ από το σύνολο Α = {α, β, γ} στο σύνολο Β = {1, 2, 3, 4, 5}, σύμφωνα με την οποία το στοιχείο α έχει εικόνα το 1, το στοιχείο β έχει εικόνες τα 2 και 3 και το στοιχείο γ έχει εικόνα το 4, παριστάνεται ως εξής:
α) με βελοδιάγραμμα, στο οποίο τα σύνολα παριστάνονται με κλειστές καμπύλες, τα στοιχεία τους με σημεία και συνδέονται με βέλη τα αντίστοιχα στοιχεία (σχήμα 1).
β) με πίνακα διπλής εισόδου, στον οποίο γραμμοσκιάζουμε τα τετράγωνα που βρίσκονται στη γραμμή και τη στήλη των αντίστοιχων στοιχείων (σχήμα 2).
γ) με γράφημα, δηλαδή το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών, των οποίων τα πρώτα στοιχεία είναι τα πρότυπα από το Α και τα δεύτερα στοιχεία είναι οι εικόνες τους μέσα στο Β, δηλαδή:
G = {(α, 1), (β, 2) (β, 3), γ, 4)}.
Διακρίνουμε τα ακόλουθα είδη απεικονίσεων:
Μονοσήμαντη: είναι η απεικόνιση στην οποία σε κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα στοιχείο από το σύνολο Β. Σ’ αυτό το είδος ανήκουν οι συναρτήσεις.
Παράδειγμα:
Έστω Α = {Αλεξάνδρα, Γιάννης, Έλενα, Αριάδνη, Χρήστος} και Β = {15, 16, 17, 18, 19, 20} αντίστοιχα τα σύνολα 5 μαθητών της Α΄ Λυκείου και των πιθανών βαθμολογιών τους στα Μαθηματικά στο πρώτο τετράμηνο του σχολικού έτους. Η απεικόνιση τ: Α → Β είναι μονοσήμαντη, καθώς κάθε μαθητής θα πάρει ένα και μοναδικό βαθμό στα Μαθηματικά στο πρώτο τετράμηνο. Αν το βελοδιάγραμμα της τ είναι όπως του σχήματος 3, τότε ο αντίστοιχος πίνακας διπλής εισόδου είναι όπως του σχήματος 4 και το αντίστοιχο γράφημα:
G = {(Αλεξάνδρα, 20), (Γιάννης, 19), (Έλενα, 18), (Αριάδνη, 18), (Χρήστος, 16)}
Για να καταλάβουμε αν μία απεικόνιση είναι μονοσήμαντη ή όχι:
α) στο βελοδιάγραμμα εξετάζουμε αν από κάθε στοιχείο του Α ξεκινά βέλος και μάλιστα μόνο ένα προς στοιχείο του Β (δεν πειράζει αν από δύο στοιχεία του Α τα βέλη καταλήγουν στο ίδιο στοιχείο του Β ή αν υπάρχουν στοιχεία του Β στα οποία δεν καταλήγει βέλος).
β) στον πίνακα διπλής εισόδου εξετάζουμε αν σε κάθε γραμμή υπάρχει ένα και μόνο ένα γραμμοσκιασμένο τετράγωνο (ενώ μπορεί να υπάρχει στήλη χωρίς γραμμοσκιασμένο τετράγωνο ή στήλη με περισσότερα από ένα γραμμοσκιασμένα τετράγωνα).
γ) στο γράφημα εξετάζουμε τα ζεύγη αν ως πρώτα στοιχεία έχουν όλα τα στοιχεία του συνόλου Α και μάλιστα σε ένα μοναδικό ζεύγος το καθένα και αν ως δεύτερα στοιχεία υπάρχουν στοιχεία του συνόλου Β και μόνο από αυτό.
2. Αμφιμονοσήμαντη: λέγεται αλλιώς και αμφιμονότιμη ή αμφεικόνιση ή ένα προς ένα και συμβολίζεται με «1 – 1» (αυτό το σύμβολο διαβάζεται «ένα προς ένα»). Είναι η απεικόνιση, κατά την οποία σε διαφορετικά στοιχεία του Α αντιστοιχούν διαφορετικές εικόνες από το σύνολο Β, δηλαδή: αν σ είναι μία αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση από το Α στο Β, τότε θα ισχύει:
"α1, α2 Î Α, αν α1 ≠ α2, τότε και σ (α1) ≠ σ (α2), όπου σ (α1) είναι η εικόνα του στοιχείου α1 μέσω της σ και σ (α2) η εικόνα του στοιχείου α2 μέσω της σ. Ισοδύναμη με αυτήν είναι η αντιθετοαντίστροφη πρόταση:
"α1, α2 Î Α, αν σ (α1) = σ (α2), τότε και α1 = α2,
δηλαδή αν δύο στοιχεία του Α έχουν την ίδια εικόνα μέσω μιας αμφιμονοσήμαντης απεικόνισης, τότε αυτά υποχρεωτικά ταυτίζονται.
Για να καταλάβουμε αν μία απεικόνιση είναι αμφιμονοσήμαντη ή όχι:
α) στο βελοδιάγραμμα εξετάζουμε αν από κάθε στοιχείο του Α ξεκινά βέλος και μάλιστα μόνο ένα προς στοιχείο του Β και αν στα στοιχεία του Β (όπου καταλήγει βέλος), καταλήγει μόνο ένα.
β) στον πίνακα διπλής εισόδου εξετάζουμε αν σε κάθε γραμμή υπάρχει ένα και μόνο ένα γραμμοσκιασμένο τετράγωνο και στις στήλες όπου υπάρχει γραμμοσκιασμένο τετράγωνο, αν είναι μοναδικό.
γ) στο γράφημα εξετάζουμε τα ζεύγη αν ως πρώτα στοιχεία έχουν όλα τα στοιχεία του συνόλου Α και μάλιστα σε ένα μοναδικό ζεύγος το καθένα και αν ως δεύτερα στοιχεία υπάρχουν μόνο στοιχεία του συνόλου Β, τα οποία δεν πρέπει να υπάρχουν σε περισσότερα από ένα ζεύγη.
3. Απεικόνιση εντός: όταν οι εικόνες των στοιχείων του Α δεν καλύπτουν το Β, δηλαδή υπάρχουν στοιχεία μέσα στο Β τα οποία δεν είναι εικόνες στοιχείων του Α, π.χ. στο διάγραμμα του σχήματος 5.
4. Απεικόνιση επί: όταν οι εικόνες των στοιχείων του Α καλύπτουν το Β, δηλαδή κάθε στοιχείο του Β είναι εικόνα τουλάχιστον ενός στοιχείου από το Α, π.χ. στο διάγραμμα του σχήματος 6.
5. Απεικόνιση αμφιμονοσήμαντη και επί: όταν σε κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα στοιχείο του Β και κάθε στοιχείο του Β είναι εικόνα ενός και μόνο στοιχείου του Α, π.χ. στο διάγραμμα του σχήματος 7.
Στον πίνακα διπλής εισόδου μιας αμφιμονοσήμαντης και επί απεικόνισης, σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη υπάρχει ένα και μόνο ένα γραμμοσκιασμένο τετράγωνο (σχήμα 8).
Όταν υπάρχει απεικόνιση «1 – 1» και επί μεταξύ των στοιχείων δύο μη κενών συνόλων Α και Β, τότε λέμε ότι τα δύο σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό (ή πληθάριθμο), δηλαδή το ίδιο πλήθος στοιχείων.
Όταν μία απεικόνιση σ είναι αμφιμονοσήμαντη και επί, τότε ορίζεται η αντίστροφή της απεικόνιση, που συμβολίζεται με σ–1, η οποία έχει σύνολο αφετηρίας το Β και σύνολο άφιξης το Α. Επίσης, οι εικόνες των στοιχείων του Β μέσω της σ–1 είναι τα στοιχεία του Α, των οποίων ήταν μέσω της σ τα αρχέτυπά τους, δηλαδή το βελοδιάγραμμα της αντίστροφης απεικόνισης που παριστάνεται στο σχήμα 7, θα είναι όπως στο σχήμα 9.
Τα γραφήματα των δύο απεικονίσεων είναι:
Gσ = {(α, 2), (β, 4), (γ, 3), (δ, 1)} και Gσ–1 = {(2, α), (4, β), (3, γ), (1, δ)}, δηλαδή τα στοιχεία κάθε ζεύγους αλλάζουν θέση.
Αν τα στοιχεία των συνόλων Α και Β είναι σημεία του επιπέδου ή του χώρου, τότε μιλάμε για γεωμετρικές απεικονίσεις, όπως η αξονική συμμετρία, η κεντρική συμμετρία, η παράλληλη μεταφορά, η πλάγια ή ορθή προβολή, η ομοιοθεσία, η στροφή κ.ά. (βλ. αντίστοιχα λλ., καθώς και λ. γεωμετρικοί μετασχηματισμοί).
Άπειρο.Το μη «πεπερασμένο». Διακρίνουμε το «δυναμικό» άπειρο και το «εν ενεργεία» άπειρο. Κατά το πρώτο έχουμε πεπερασμένη μεταβλητή ποσότητα η οποία, όταν μεταβάλλεται, είναι δυνατό να ξεπεράσει κάθε όριο, ενώ κατά το δεύτερο θεωρούμε ότι υπάρχει αυτή τη στιγμή κάτι που έχει ήδη ξεπεράσει κάθε όριο. Στην ακολουθία των φυσικών αριθμών 1, 2, 3, ..., ν, ... ο γενικός όρος ν είναι μια μεταβλητή ποσότητα πάντοτε πεπερασμένη, αλλά τέτοια ώστε να μπορεί να ξεπεράσει οποιονδήποτε δοσμένο και ορισμένο θετικό αριθμό. Το πλήθος των όρων του συνόλου των φυσικών αριθμών, το οποίο είναι ένα ενιαίο όλο, μπορεί να χρησιμεύει ως παράδειγμα του «εν ενεργεία» απείρου. Κατά τον Αριστοτέλη το άπειρο υπάρχει μόνο «δυνάμει» και όχι «ενεργεία». Η έρευνα για τις διάφορες μορφές του απείρου οδήγησε σε πολλά παράδοξα και αντινομίες (είναι γνωστό από την αρχαιότητα το παράδοξο του Ζήνωνα με τον Αχιλλέα και τη χελώνα). Από την εποχή όμως του Γερμανού Γκ. Κάντορ (1845-1918) με την είσοδο των συνόλων ξεκαθάρισε η έννοια του απείρου. Κρίνουμε σκόπιμο να επισημάνουμε ότι τα σύμβολα +∞ (συν άπειρο) και –∞ (πλην άπειρο), με τα οποία δίνουμε συμβολική παράσταση της έννοιας του απείρου, δεν είναι αριθμοί και η χρήση τους πρέπει να γίνεται με μεγάλη προσοχή. Δεν πρέπει να παρασυρόμαστε από το ότι πολλές ιδιότητες των πράξεων ισχύουν και για τα σύμβολα αυτά.Επίσης, πρέπει να γνωρίζουμε ότι η έννοια του απείρου συνδέεται άμεσα με την έννοια του ορίου. Έστω μια πραγματική συνάρτηση f(x) πραγματικής μεταβλητής. Λέμε ότι η οριακή τιμή της f(x) για x → ξ είναι το + ∞ (και το συμβολίζουμε με), αν για κάθε ε > 0 οσοδήποτε μικρό υπάρχει κατάλληλος πραγματικός αριθμός δ > 0, ο οποίος εξαρτάται εν γένει από τον ε και τέτοιος ώστε για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και ικανοποιεί την <δ, να ισχύει f(x) >
Αυτός ο τρόπος ορισμού του απείρου μας επιτρέπει και τη σύγκριση μεταξύ των απείρων. Λέμε ότι οι πραγματικές συναρτήσεις f(x) και φ(x) παρουσιάζουν στο ξ την ίδια τάξη απειρισμού, όταν ισχύει:
και λ, όπου λ μη μηδενικός πραγματικός αριθμός. Αν το λ είναι μηδέν, λέμε ότι η τάξη απειρισμού της φ(x) είναι μεγαλύτερη από την τάξη απειρισμού της f(x). Αν όμως, θα λέμε ότι η τάξη απειρισμού της f(x) είναι μεγαλύτερη από την τάξη απειρισμού της φ(x).
Συνήθως ως φ(x) παίρνουμε τη διαφορά x – ξ, οπότε με κατάλληλη ύψωση της φ(x) σε δύναμη βρίσκουμε την τάξη απειρισμού της f(χ).
Τα παραπάνω αφορούν την έννοια του «δυνάμει» απείρου. Για την έννοια του «εν ενεργεία» απείρου, σήμερα χρησιμοποιούμε την αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων. Λέμε ότι δύο σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό, όταν για τα στοιχεία τους υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστοιχία, π.χ. το σύνολο των άρτιων φυσικών απεικονίζεται αμφιμονοσήμαντα επί του συνόλου των φυσικών. Έτσι, βλέπουμε ότι ένα γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με αυτό. Είναι φανερό λοιπόν ότι για τα απειροσύνολα δεν ισχύει η αρχή του Αριστοτέλη, κατά την οποία «το όλο είναι μεγαλύτερο από το μέρος», αρκεί βέβαια να ληφθεί ως μεγαλύτερο το περιεκτικότερο σε στοιχεία σύνολο.
Απειρογινόμενο. Γινόμενο με άπειρους όρους. Παίρνουμε την ακολουθία με γενικό όρο αν και σχηματίζουμε τα μερικά γινόμενα:
Π1 = α1, Π2 = α1 × α2, Π3 = α1 × α2 × α3, …., Πν = α1 × α2 × …. × αν, …..
Ονομάζουμε απειρογινόμενο το όριο της ακολουθίας, που έχει γενικό όρο Πν και το παριστάνουμε με το σύμβολο:. Αν το όριο αυτό είναι ορισμένος πραγματικός αριθμός, λέμε ότι το απειρογινόμενο συγκλίνει. Υπάρχουν απειρογινόμενα που αποκλίνουν ή απροσδιόριστα. Ένα απειρογινόμενο μπορεί να είναι μηδέν, χωρίς κανένας όρος του να είναι μηδέν, π.χ. = 0. Πραγματικά, γιατί ο όρος αν =
Τα πρώτα απειρογινόμενα είναι αυτό του Γάλλου Φρανσουά Βιέτ (1646):
και εκείνο του Γουόλλις (1656):
Σχετικά με τη σύγκλιση των απειρογινομένων ισχύουν οι προτάσεις:
α) Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να συγκλίνει το παραπάνω γινόμενο είναι, όπου ε θετικός οσοδήποτε μικρός αριθμός και ν > ν0(ε) και κ φυσικός αριθμός.
β) Αν ο αν = 1 + βν, το απειρογινόμενο συγκλίνει ή αποκλίνει συγχρόνως με τη σειρά.
γ) Αναγκαία, αλλά όχι ικανή, συνθήκη για να συγκλίνει ένα απειρογινόμενο, είναι
αν = 1.
Απειροστό.Όρος των Μαθηματικών που χρησιμοποιήθηκε από το Γερμανό Γκότφριντ Λάιμπνιτς και σήμαινε μια μεταβλητή ποσότητα οσοδήποτε μικρή, όχι όμως μηδενική. Η έννοια αυτή του απειροστού είναι «δυνάμει» και όχι «ενεργεία». Η τελευταία δε χρησιμοποιήθηκε, γιατί διαπιστώθηκε ότι δεν πρόσφερε τίποτε στα Μαθηματικά. Με τη βοήθεια της έννοιας του απειροστού δόθηκε η έννοια της παραγώγου και του ολοκληρώματος. Η έννοια, σήμερα, των δύο τελευταίων δίνεται με τη βοήθεια της έννοιας της σύγκλισης. Σήμερα το απειροστό χρησιμοποιείται για το συμβολισμό του διαφορικού dx, dy, f(x) dx,…της παραγώγου,… του ολοκληρώματος.
Δύο απειροστά α, β, λέμε ότι είναι της αυτής τάξης, όταν ο λόγος τους τείνει σε σταθερό και διάφορο του μηδενός αριθμό. Εάν το β θεωρηθεί ως «πρωτεύον απειροστό» και ο λόγος τείνει σε αριθμό σταθερό και διάφορο του μηδενός, τότε ο φυσικός ν ονομάζεται τάξη του α.
Απειροσύνολο. Έτσι ονομάζεται ένα σύνολο, του οποίου το πλήθος των στοιχείων υπερβαίνει οποιονδήποτε αριθμό, δηλαδή έχει άπειρο πληθάριθμο. Π.χ. το σύνολο των σημείων μιας ευθείας είναι ένα απειροσύνολο.
Απλή διάταξη.Απλή διάταξη ν διακεκριμένων αντικειμένων ανά κ, όπου κ £ ν, ονομάζεται κάθε τοποθέτηση κ αντικειμένων από τα ν πάνω σε μία ευθεία γραμμή. Η απλή διάταξη περιλαμβάνει δύο βήματα: αρχικά εκλέγουμε κ από τα ν αντικείμενα και κατόπιν τοποθετούμε αυτά τα κ που εκλέξαμε πάνω σε μία ευθεία γραμμή. Το πλήθος των απλών διατάξεων ν διακεκριμένων αντικειμένων ανά κ δίνεται από τον τύπο: Δ =.
Παράδειγμα: Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να σχηματιστεί η νικήτρια τριάδα από 8 αθλητές στίβου, που τρέχουν στον ίδιο αγώνα;
Λύση: Πρόκειται για απλές διατάξεις των 8 ανά 3, επειδή και εκλέγουμε 3 από τους 8 και η σειρά εκλογής έχει σημασία (πρώτος, δεύτερος, τρίτος). Άρα η νικήτρια τριάδα σχηματίζεται με: Δ τρόπους.Τις απλές διατάξεις των ν αντικειμένων ανά κ μπορούμε να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας και τη βασική αρχή απαρίθμησης, όπου ως φάσεις θα θεωρήσουμε τις θέσεις των τριών νικητών. Έτσι, για την πρώτη θέση έχουμε 8 δυνατότητες (εφόσον τρέχουν 8 αθλητές), για τη δεύτερη θέση έχουμε 7 δυνατότητες (εφόσον ο πρώτος έχει ήδη τοποθετηθεί) και για την τρίτη θέση έχουμε 6 δυνατότητες (εφόσον οι δύο πρώτοι έχουν ήδη τοποθετηθεί). Επειδή οι φάσεις είναι ανεξάρτητες (δεν επηρεάζει ποιος θα τοποθετηθεί σε ποια θέση), κάνουμε πολλαπλασιασμό και τελικά οι απλές διατάξεις είναι: 6 × 7 × 8 = 336.
Απλή μετάθεσηΑπλή μετάθεση ν διακεκριμένων αντικειμένων ονομάζεται κάθε τοποθέτησή τους πάνω σε μία ευθεία γραμμή. Το πλήθος των απλών μεταθέσεων ν διακεκριμένων αντικειμένων είναι: Μν = ν!, όπου το σύμβολο ν! διαβάζεται «ν παραγοντικό» και ισούται με το γινόμενο των ν πρώτων φυσικών αριθμών.
Παράδειγμα: Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 3 άτομα σε μία γραμμή;
Λύση: Πρόκειται για τις απλές μεταθέσεις των τριών ατόμων. Το πλήθος των μεταθέσεων είναι:
Μ3 = 3! = 1 ×2 × 3 = 6.
Απάντηση: Μπορούν να καθίσουν με 6 διαφορετικούς τρόπους. Αν ονομάσουμε Α, Β, Γ τα άτομα, τότε οι μεταθέσεις τους είναι: ΑΒΓ, ΑΓΒ, ΒΑΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ, ΓΒΑ.
Απλοποίηση κλάσματοςΗ διαδικασία με την οποία μετασχηματίζουμε ένα δοσμένο κλάσμα σε άλλο απλούστερο. Π.χ. το κλάσμα με διαίρεση των όρων του διά 9 μετατρέπεται στο ισοδύναμό του. Το τελευταίο είναι ανάγωγο, δεν επιδέχεται δηλαδή απλοποίηση.
Απλός λόγος σημείων.Λέγεται αλλιώς και μερικός λόγος σημείων. Αν τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, ορίζουμε ως απλό ή μερικό λόγο (Α, Β, Γ) το λόγο στον οποίο διαιρεί το σημείο Γ το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, δηλαδή: (Α, Β, Γ) =.
Αν το σημείο Γ βρίσκεται εντός του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, λέμε ότι διαιρεί το ΑΒ εσωτερικά και τότε ο απλός λόγος είναι θετικός, ενώ αν είναι πάνω στην ευθεία ΑΒ, αλλά εκτός του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, λέμε ότι το διαιρεί εξωτερικά και τότε ο απλός λόγος είναι αρνητικός.
Αν (x1, y1), (x2, y2) είναι αντίστοιχα οι συντεταγμένες δύο διακεκριμένων σημείων Α και Β σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, τότε οι συντεταγμένες του σημείου Γ για το οποίο ισχύει (Α, Β, Γ) = λ, δίνονται από τους τύπους: xΓ =, yΓ =. Ισχύει λ ¹ –1, γιατί τα Α και Β υποτίθεται ότι είναι διακεκριμένα.
Ειδικές περιπτώσεις:
α) Αν το M είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, τότε ο λόγος (Α, Β, M) είναι ίσος με τη θετική μονάδα. Αν (x1, y1), (x2, y2) είναι οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β αντίστοιχα, τότε οι συντεταγμένες του μέσου M δίνονται από τους τύπους: xM =, yM =.
β) Αν G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ, τότε αυτό διαιρεί κάθε διάμεσο εσωτερικά σε λόγο 2 προς 1, δηλαδή αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, Αν (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) είναι οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου, τότε το βαρύκεντρο G θα έχει συντεταγμένες που δίνονται από τους τύπους
Απλός συνδυασμός.Απλός συνδυασμός ν διακεκριμένων αντικειμένων ανά κ, όπου κ £ ν, ονομάζεται η εκλογή κ αντικειμένων από τα ν, χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά εκλογής τους. Το πλήθος των απλών συνδυασμών ν αντικειμένων ανά κ δίνεται από τον τύπο:.
Η σχέση μεταξύ των απλών διατάξεων Δ ν αντικειμένων ανά κ, των απλών συνδυασμών ν αντικειμένων ανά κ και των απλών μεταθέσεων Μκ των κ αντικειμένων, είναι: × Μκ = Δ.
Παράδειγμα: Εκλέγουμε τριμελή επιτροπή από τέσσερα άτομα. Πόσες επιτροπές μπορούμε να σχηματίσουμε και ποιες;
Λύση: Πρόκειται για απλούς συνδυασμούς των τεσσάρων αντικειμένων ανά τρία, γιατί μας ενδιαφέρει ποια άτομα θα συμμετάσχουν στην επιτροπή και όχι η σειρά με την οποία θα εκλεγούν (εφόσον όλα τα μέλη της επιτροπής έχουν τις ίδιες αρμοδιότητες). Το πλήθος των επιτροπών είναι:. Αν ονομάσουμε Α, Β, Γ, Δ τα άτομα από τα οποία εκλέγουμε, οι 4 επιτροπές θα αποτελούνται από τους Α, Β, Γ, ή τους Α, Β, Δ, ή τους Α, Γ, Δ, ή τους Β, Γ, Δ.
Αποκλίνουσα σειρά.Μία σειρά ονομάζεται αποκλίνουσα, τότε και μόνο τότε, όταν δεν είναι συγκλίνουσα.
Απόλυτη αξία. Στην Οικονομία πολλές φορές δεν ενδιαφέρει το αν μειώνεται ή αυξάνει ένα μέγεθος αλλά το πόσο μειώνεται ή αυξάνει, δηλαδή ενδιαφέρει η απόλυτη αξία της μεταβολής της τιμής του. Στην περίπτωση π.χ. των προσεγγίσεων ή των υπολογισμών των σφαλμάτων δεν ενδιαφέρει το πρόσημο της διαφοράς των τιμών (θετικό όταν έχουμε αύξηση της τιμής ενός μεγέθους ή προσέγγιση καθ’ υπεροχή ενός αριθμού και αρνητικό όταν έχουμε μείωση της τιμής του μεγέθους ή προσέγγιση κατ’ έλλειψη του αριθμού). Γι’ αυτό και μιλάμε για την απόλυτη αξία των προσεγγιστικών σφαλμάτων και μάλιστα πολλές φορές χρησιμοποιούμε τα τετράγωνα των διαφορών των προσεγγιστικών τιμών από τις πραγματικές.
Εκτιμώντας την τιμή ελαστικότητας, όσον αφορά τη ζήτηση ενός προϊόντος, το ενδιαφέρον μας έγκειται στο βαθμό ανταπόκρισης της ζητούμενης ποσότητας προς αλλαγές στην τιμή. Το γεγονός πως μια αύξηση της τιμής προκαλεί μείωση της ζητούμενης ποσότητας (και αντίστροφα), δίνοντας έναν αρνητικό αριθμό ελαστικότητας, είναι μικρής σημασίας. Εδώ η μέτρηση της απόλυτης αξίας του αριθμού ελαστικότητας είναι που ενδιαφέρει.
Απόλυτη συχνότητα.Εκλέγουμε ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα από έναν πληθυσμό, τον οποίο θέλουμε να εξετάσουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά του (μία ποιοτική ή μία ποσοτική μεταβλητή). Ονομάζουμε απόλυτη συχνότητα (ή απλά συχνότητα) τον αριθμό νi που εκφράζει πόσες φορές εμφανίζεται στο δείγμα η παρατήρηση xi. Το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των παρατηρήσεων του δείγματος, δίνει το μέγεθος ν του δείγματος.
Παράδειγμα:
Να βρεθεί η απόλυτη συχνότητα κάθε παρατήρησης του δείγματος:
5 5 6 3 2 1 5 3 3 4
6 1 2 1 1 6 6 7 4 4
και στη συνέχεια να κατασκευαστούν το διάγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων.
Λύση: Αρχικά κάνουμε τη διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων και στη συνέχεια το διάγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων που δίνονται στο σχήμα.
Απόλυτη τιμή.Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός αν είναι θετικός, ο αντίθετός του αν είναι αρνητικός και το μηδέν αν ο αριθμός είναι μηδέν. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού α συμβολίζεται με και διαβάζεται «απόλυτη τιμή του α». Ο συμβολισμός οφείλεται στον Γερμανό μαθηματικό Καρλ Βάιερστρας (1815-1897). Ο ορισμός της απόλυτης τιμής δίνει:
Η γεωμετρική ερμηνεία της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α είναι η εξής: η απόλυτη τιμή του α είναι η απόσταση από το μηδέν του σημείου που παριστάνει τον α πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Παράδειγμα:, επειδή το σημείο που παριστάνει το 5 πάνω στην πραγματική ευθεία απέχει από το μηδέν 5 μονάδες μέτρησης και, γιατί το σημείο που παριστάνει το –3 πάνω στην πραγματική ευθεία απέχει από το μηδέν 3 μονάδες μέτρησης.
Η απόλυτη τιμή υπακούει στις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητική, δηλαδή μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν: α IR ,  0.
2. Οι αντίθετοι πραγματικοί αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές, δηλαδή ισχύει:
α IR, =.
3. Το τετράγωνο της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού είναι ίσο με το τετράγωνο του αριθμού αυτού, δηλαδή: α IR, 2 = α2.
4. Οι απόλυτες τιμές δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσες αν και μόνο αν οι αριθμοί είναι ίσοι ή αντίθετοι, δηλαδή ισχύει:
α, β IR, =  α = β ή α = –β.
5. Αν η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α είναι μικρότερη από ένα θετικό αριθμό θ, τότε ο α ανήκει στο διάστημα (–θ, θ) και αντίστροφα, δηλαδή ισχύει:
α IR, < θ  –θ < α < θ.
6. Αν η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α είναι μεγαλύτερη από ένα θετικό αριθμό θ, τότε το α είναι ή μεγαλύτερο από το θ ή μικρότερο από το –θ και αντίστροφα, δηλαδή ισχύει:
α IR, > θ  α > θ ή α < –θ
Οι σχέσεις στις ιδιότητες 5 και 6 ισχύουν και ως ανισοϊσότητες.
7. Η απόλυτη τιμή του γινομένου δύο πραγματικών αριθμών ισούται με το γινόμενο των απόλυτων τιμών των παραγόντων, δηλαδή:
α, β IR,.
Αυτό γενικεύεται για περισσότερους παράγοντες.
8. Η απόλυτη τιμή του πηλίκου δύο πραγματικών αριθμών ισούται με το αντίστοιχο πηλίκο των απόλυτων τιμών τους, δηλαδή:
α IR, β IR*,.
9. Η απόλυτη τιμή του αθροίσματος δύο πραγματικών αριθμών είναι μικρότερη ή ίση από το άθροισμα των απόλυτων τιμών τους και μεγαλύτερη ή ίση από την απόλυτη τιμή της διαφοράς των απόλυτων τιμών τους, δηλαδή:
α, β IR, .
Η ανισοϊσότητα που βρίσκεται δεξιά ισχύει ως ισότητα και η ανισοϊσότητα που βρίσκεται αριστερά ισχύει ως ανισότητα, όταν οι δύο αριθμοί είναι ομόσημοι. Η ανισοϊσότητα που βρίσκεται αριστερά ισχύει ως ισότητα και η ανισοϊσότητα που βρίσκεται δεξιά ισχύει ως ανισότητα, όταν οι δύο αριθμοί είναι ετερόσημοι. Και οι δύο ισχύουν ως ισότητες, όταν ο ένας τουλάχιστον από τους δύο αριθμούς είναι ίσος με το μηδέν.
Η ανισοϊσότητα που βρίσκεται δεξιά γενικεύεται και για περισσότερους προσθετέους.
10. Η απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο πραγματικών αριθμών είναι μικρότερη ή ίση από το άθροισμα των απόλυτων τιμών τους και μεγαλύτερη ή ίση από την απόλυτη τιμή της διαφοράς των απόλυτων τιμών τους, δηλαδή:
α, β IR, .
Η ανισοϊσότητα που βρίσκεται δεξιά ισχύει ως ισότητα και η ανισοϊσότητα που βρίσκεται αριστερά ισχύει ως ανισότητα, όταν οι δύο αριθμοί είναι ετερόσημοι. Η ανισοϊσότητα που βρίσκεται αριστερά ισχύει ως ισότητα και η ανισοϊσότητα που βρίσκεται δεξιά ισχύει ως ανισότητα, όταν οι δύο αριθμοί είναι ομόσημοι. Και οι δύο ισχύουν ως ισότητες, όταν ο ένας τουλάχιστον από τους δύο αριθμούς είναι ίσος με το μηδέν.
Απόλυτη τιμή ή μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z = x + yi ονομάζεται ο μη αρνητικός πραγματικός αριθμός που δίνεται από τον τύπο:. Είναι η γενίκευση της έννοιας της απόλυτης τιμής του πραγματικού αριθμού.
Απόλυτο ελάχιστο.Λέμε ότι μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει απόλυτο ή ολικό ελάχιστο στο σημείο ξ  Α τότε και μόνο τότε όταν ισχύει:  x  A  f(x)  f(ξ). Η τιμή f(ξ) λέγεται τότε ολικό ή απόλυτο ελάχιστο της συνάρτησης f.
Απόλυτο μέγιστο. Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει απόλυτο ή ολικό μέγιστο στο σημείο ξ  Α τότε και μόνο τότε όταν ισχύει:  x  A  f(x)  f(ξ). Η τιμή f(ξ) λέγεται τότε ολικό ή απόλυτο μέγιστο της συνάρτησης f.
Απόλυτο σφάλμα.Στη Θεωρία Σφαλμάτων συνήθως προσεγγίζουμε διάφορες τιμές μεγεθών με όσο το δυνατό μεγαλύτερη ακρίβεια. Απόλυτο σφάλμα είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς της πραγματικής τιμής ενός μεγέθους από την προσεγγιστική τιμή του (είτε «καθ’ υπεροχή» είτε «καθ’ υπέρβαση»). Όταν όμως η πραγματική τιμή ενός μεγέθους μας είναι άγνωστη, τότε συνήθως βρίσκουμε ένα άνω φράγμα του απόλυτου σφάλματος, πέρα από το οποίο το απόλυτο σφάλμα δεν μπορεί να πάρει τιμές. Έτσι ορίζουμε την ακρίβεια της προσέγγισης. Αν x είναι η πραγματική τιμή, α η προσέγγιση και σ η ακρίβεια της προσέγγισης, τότε Δ = είναι το απόλυτο σφάλμα, σ άνω φράγμα του Δ και ισχύει:  σ  α – σ  x  α + σ. Συμβολικά γράφουμε: x = α  σ.
Παράδειγμα:
Αν μία ζυγαριά ζυγίζει τα διάφορα βάρη με ακρίβεια 0,5 κιλά, τότε το πραγματικό βάρος x κιλών ενός αντικειμένου που η ζυγαριά δείχνει ότι ζυγίζει 65,3 κιλά, είναι 65,3  0,5 κιλά, δηλαδή:
64,8  x  65,8
Απορροφητικό στοιχείο.Ένα στοιχείο ενός συνόλου, στο οποίο έχει οριστεί μία πράξη σύνθεσης, λέγεται απορροφητικό στοιχείο της πράξης, τότε και μόνο τότε, όταν η σύνθεση μεταξύ αυτού και οποιουδήποτε στοιχείου του συνόλου δίνει ως μοναδικό αποτέλεσμα τον αριθμό αυτό. Π.χ. το μηδέν είναι απορροφητικό στοιχείο στον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών, γιατί για κάθε πραγματικό αριθμό x, ισχύει: 0  x = 0.
Απόσταση. α) Απόσταση δύο σημείων ονομάζεται το μήκος (μέτρο) του ευθύγραμμου τμήματος που έχει άκρα τα δύο αυτά σημεία. Στην Αναλυτική Γεωμετρία η απόσταση μεταξύ δύο σημείων, των οποίων γνωρίζουμε τις συντεταγμένες σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των διαφορών των συντεταγμένων των σημείων, δηλαδή αν Α (x1, y1) και B (x2, y2) τα δύο σημεία, τότε:
(ΑΒ) = (βλ. σχήμα 1).
β) Απόσταση σημείου από ευθεία, στην οποία αυτό το σημείο δεν ανήκει, ονομάζεται το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος, που φέρνουμε από το σημείο προς την ευθεία. Η απόσταση αυτή είναι και το μικρότερο από τα ευθύγραμμα τμήματα, που έχουν ένα άκρο το δοθέν σημείο και άλλο άκρο οποιοδήποτε σημείο της ευθείας. Στην Αναλυτική Γεωμετρία η απόσταση του σημείου Μ (x1, y1) από την ευθεία (ε) που έχει εξίσωση: Αx + By + Γ = 0, δίνεται από τον τύπο:
d (M, ε) = (βλ. σχήμα 2).
γ) Η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών είναι ίδια με την απόσταση που έχει οποιοδήποτε σημείο της μίας ευθείας από την άλλη ευθεία και παραμένει σταθερή όσο κι αν προεκταθούν οι δύο παράλληλες (βλ. σχήμα 3).
δ) Απόσταση μεταξύ δύο ασύμβατων ευθειών ονομάζεται το μήκος της κοινής καθέτου των ευθειών αυτών
Απόστημα ή απόθεμα.1) Απόστημα μιας χορδής ενός κύκλου (Ο, ρ) ονομάζουμε την απόσταση του κέντρου Ο από τη χορδή.
Ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις:
α. Σε ίσες χορδές του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσα αποστήματα και αντιστρόφως.
β. Σε άνισες χορδές του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων αντιστοιχούν ανομοίως άνισα αποστήματα και αντιστρόφως, δηλαδή η μεγαλύτερη χορδή έχει μικρότερο απόστημα και αντιστρόφως.
2) Απόστημα ενός κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι το απόστημα μιας οποιασδήποτε πλευράς του. Το απόστημα του κανονικού πολυγώνου που έχει ν πλευρές συμβολίζεται με αν και η πλευρά του με λν. Η σχέση που συνδέει αυτά τα δύο με την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου είναι:, σχέση που αποδεικνύεται εύκολα με εφαρμογή του Πυθαγόρειου Θεωρήματος στο τρίγωνο Α1ΟΚ.
Απροσδιόριστη ανάλυση.Η εύρεση των ακέραιων λύσεων των διοφαντικών εξισώσεων και συστημάτων: δηλαδή είναι ο σκοπός της Διοφαντικής Ανάλυσης (κλάδου των Μαθηματικών), πατέρας της οποίας θεωρείται ο μεγάλος μαθηματικός της αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντος (3ος αιώνας).
Απροσδιόριστη μορφή. Έτσι ονομάζεται μία σειρά πράξεων μεταξύ αριθμών ή μεταξύ αριθμών και απείρου, της οποίας η τιμή δεν ορίζεται μονοσήμαντα, αλλά εξαρτάται από τα επιμέρους όρια των συναρτήσεων που υπεισέρχονται στην παράσταση που θέλουμε να υπολογίσουμε.
Η άρση της απροσδιοριστίας εξαρτάται από τη μορφή της παράστασης, της οποίας το όριο θέλουμε να υπολογίσουμε.
Αριθμήσιμο σύνολο.Έτσι ονομάζεται κάθε σύνολο που έχει πληθικό αριθμό (πληθάριθμο) ίσο με τον πληθικό αριθμό À0 (Άλεφ μηδέν) του συνόλου ΙΝ των φυσικών αριθμών. Π.χ. το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών είναι αριθμήσιμο, δηλαδή υπάρχει αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του και του συνόλου των φυσικών αριθμών. Το διάστημα (0, 1) δεν είναι αριθμήσιμο, γιατί δεν μπορούμε να ορίσουμε αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστοιχία μεταξύ αυτού και του συνόλου των φυσικών αριθμών. Αυτό το διάστημα μάλιστα (καθώς και κάθε διάστημα της πραγματικής ευθείας) είναι υπεραριθμήσιμο.
Αριθμητής κλάσματος. Ένα κλάσμα της μορφής παριστάνει τη διαίρεση του αριθμού α διά του αριθμού β ¹ 0. Ο διαιρετέος α, που τοποθετείται πάνω από την κλασματική γραμμή, ονομάζεται αριθμητής του κλάσματος και εκφράζει το πλήθος των κλασματικών μονάδων που περιέχει το κλάσμα. Π.χ. στο κλάσμα περιέχονται τρεις κλασματικές μονάδες του ενός τετάρτου.
Αριθμητική ανάλυση. Κλάδος των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών που έχει ως αντικείμενο τη δημιουργία, ανάλυση και χρήση αλγορίθμων (υπολογιστικών και αριθμητικών μεθόδων) για τη λύση μαθηματικών προβλημάτων. Επίσης, σκοπός της Αριθμητικής Ανάλυσης είναι η μελέτη και εκτίμηση των σφαλμάτων που υπεισέρχονται στους υπολογισμούς κατά τη λύση των προβλημάτων.
Οι ρίζες της Αριθμητικής Ανάλυσης βρίσκονται στην αρχαιότητα. Μετά τους Βαβυλώνιους και τους Αιγύπτιους, και οι Έλληνες ασχολήθηκαν με μεθόδους της Αριθμητικής Ανάλυσης. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η μέθοδος των προσεγγίσεων που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης, για να αποδείξει ότι η τιμή του π βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς και.
Παρόλο που οι βάσεις της θεωρητικής θεμελίωσης της Αριθμητικής Ανάλυσης τέθηκαν από τους Newton και Gauss (το 17ο και 18ο αιώνα), η ουσιώδης ανάπτυξή της ξεκίνησε μετά το 1950, παράλληλα με την εμφάνιση και ανάπτυξη της επιστήμης της Πληροφορικής. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιεί η Αριθμητική Ανάλυση, μετατρέπουν τα αριθμητικά προβλήματα των Μαθηματικών (π.χ. εύρεση τετραγωνικών ριζών, λογαρίθμων, τριγωνομετρικών αριθμών τόξων, παραγώγων συναρτήσεων, ολοκληρωμάτων κτλ.) σε άλλα –κατά κάποια έννοια– ισοδύναμα προβλήματα, στα οποία περιέχονται μόνο οι τέσσερις πράξεις της Αριθμητικής και τα οποία μπορούν να επεξεργαστούν οι Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές. Έτσι, με τη χρήση των Υπολογιστών, έχουμε τη δυνατότητα να βρίσκουμε εφαρμόσιμες λύσεις σε προβλήματα της Ανάλυσης και της Άλγεβρας σε πολύ σύντομο χρόνο και με μικρές αποκλίσεις. Η Αριθμητική Ανάλυση είναι απαραίτητη όχι μόνο στους άλλους τομείς των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών (όπως είναι η Στατιστική, η Μηχανική, η Επιχειρησιακή Έρευνα κτλ.), αλλά και σε όλους τους κλάδους των Εφαρμοσμένων Επιστημών (Φυσική, Αστρονομία, Μετεωρολογία, Ναυπηγική, Τοπογραφία κτλ.).
Αριθμητική πρόοδος. Είναι μία ακολουθία, της οποίας κάθε όρος εκτός από τον πρώτο, προκύπτει από τον προηγούμενό του με την προσθήκη ενός σταθερού πραγματικού αριθμού ω, δηλαδή
αν+1 = αν + ω, " ν Î ΙΝ*.
Το ω ονομάζεται διαφορά της προόδου. Όταν είναι γνωστός ο πρώτος όρος α1 και η διαφορά ω, ο γενικός όρος της αριθμητικής προόδου δίνεται από τον τύπο: αν = α1 + (ν – 1) ω, " ν Î ΙΝ*.
Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου δίνεται από τους ισοδύναμους τύπους:
3. Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με άθροισμα 40 και άθροισμα τετραγώνων 420.
Λύση: Εφόσον οι αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, μπορούν να παρασταθούν με τη μορφή: α – 3ω, α – ω, α + ω, α + 3ω. Σύμφωνα με την υπόθεση, θα έχουμε το σύστημα:
Έτσι, βρίσκουμε τους αριθμούς 7, 9, 11, 13 (με διαφορά θετική) ή 13, 11, 9, 7 (με διαφορά αρνητική).
4. Τρεις αριθμοί είναι ανάλογοι των αριθμών 2, 5, 7. Αν ο μεσαίος ελαττωθεί κατά 7, τότε οι τρεις αριθμοί αποτελούν αριθμητική πρόοδο. Να βρεθούν οι αριθμοί.
Λύση: Εφόσον οι αριθμοί είναι ανάλογοι προς τους 2, 5, 7, μπορούμε να τους παραστήσουμε με 2x, 5x, 7x. Σύμφωνα με την εκφώνηση, οι αριθμοί 2x, 5x – 7, 7x θα αποτελούν αριθμητική πρόοδο, οπότε: 2 × (5x – 7) = 2x + 7x Þ 10x – 14 = 9x Þ x = 14.
Απάντηση: Οι αριθμοί θα είναι τότε οι 28, 70, 98 και πράγματι, αν ο μεσαίος ελαττωθεί κατά 7, θα γίνουν 28, 63, 98 που είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά 35.
Επίσης, πολύ σημαντική θεωρείται η ακόλουθη πρόταση:
Τρεις αριθμοί α, β, γ αποτελούν με αυτή τη διάταξη διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν το διπλάσιο του μεσαίου είναι ίσο με το άθροισμα των δύο ακραίων, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει η σχέση: 2β = α + γ.
Αν όμως δεν καθορίζεται η σειρά με την οποία οι αριθμοί αποτελούν την αριθμητική πρόοδο, τότε η σχέση γίνεται: (α + β – 2γ) (β + γ – 2α) (γ + α – 2β) = 0
Για το πρόβλημα της παρεμβολής αριθμητικών ενδιαμέσων, βλ. αντίστοιχο λ.
Παράδειγμα:
Να βρεθεί το x έτσι, ώστε το 8 να είναι ο αριθμητικός μέσος των παραστάσεων 5x + 12 και –3x + 2.
Λύση: Σύμφωνα με τον ορισμό του αριθμητικού μέσου, θα έχουμε:
(2x + 14) Û 2x + 14 = 16 Û 2x = 2 Û x = 1
Απάντηση: Θα είναι x = 1 και τότε οι αριθμοί θα είναι 17 και –1, οι οποίοι πράγματι έχουν αριθμητικό μέσο το 8.
Αριθμητικός μέσος. Αν δοθούν ν αριθμοί α1, α2, …, αν ονομάζουμε αριθμητικό μέσο τους τον αριθμό:
Ο αριθμητικός μέσος λέγεται διαφορετικά και μέσος όρος (average) των ν αριθμών.
Στη Στατιστική, αν έχουμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων, από τις οποίες κ1 σε πλήθος είναι ίσες με α1, κ2 σε πλήθος είναι ίσες με α2, …, κν σε πλήθος είναι ίσες με αν, τότε ονομάζουμε σταθμισμένο ή σταθμικό μέσο τους (weighted average) τον αριθμό:
Μεταξύ του αριθμητικού, του γεωμετρικού και του αρμονικού μέσου ν θετικών πραγματικών αριθμών ισχύει η ταυτοανισοϊσότητα του Cauchy:
Η ισότητα ισχύει όταν α1 = α2 = …= αν.
Αριθμητικών ενδιαμέσων, παρεμβολή. Όταν δοθούν δύο αριθμοί α και β, ονομάζουμε παρεμβολή ν αριθμητικών ενδιαμέσων την εύρεση ν αριθμών x1, x2, ..., xν τέτοιων, ώστε η ακολουθία α, x1, x2, ..., xν, β να είναι αριθμητική πρόοδος με πεπερασμένο πλήθος όρων. Οι όροι x1, x2, ..., xν ονομάζονται τότε αριθμητικοί ενδιάμεσοι των α και β.
Παράδειγμα.
Να βρεθούν 5 αριθμητικοί ενδιάμεσοι για τους αριθμούς 20 και 44.
Λύση. Ονομάζουμε α = 20, β = 44 και x1, x2, x3, x4, x5 τους πέντε αριθμητικούς ενδιάμεσους.
Θεωρούμε (αν) την αριθμητική πρόοδο που αυτοί αποτελούν. Τότε θα είναι:
α1 = 20, α2 = x1, α3 = x2, α4 = x3, α5 = x4, α6 = x5, α7 = 44.
Αν ω είναι η διαφορά της προόδου, θα ισχύει:
α7 = α1 + 6ω Þ 44 = 20 + 6ω Þ 6ω = 24 Þ ω = 4
Απάντηση. Οι ζητούμενοι αριθμοί θα είναι: 24, 28, 32, 36, 40.
α) Το πρόβλημα της παρεμβολής αριθμητικών ενδιαμέσων έχει πάντοτε λύση, για οποιουσδήποτε αριθμούς α και β.
β) Όταν μεταξύ δύο δοσμένων αριθμών ζητείται να παρεμβληθεί άγνωστο πλήθος ενδιαμέσων όρων, τότε αυτό το παριστάνουμε με ν – 1, για να απλοποιηθεί περισσότερο ο τύπος της παρεμβολής που δίνει τη διαφορά ω.
Αριθμοσύνολο. Σύνολο με στοιχεία αριθμούς, π.χ. {Α = 1, 2, 3, 4}, Β = {x/κ Ζ, –10 £ x £ 5}.
Αρμονικά συζυγή σημεία. Δίνονται τέσσερα συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ, Δ (όχι απαραίτητα με αυτή τη διάταξη). Τα σημεία Γ και Δ λέγονται συζυγή αρμονικά των Α και Β, αν και μόνο αν ο διπλός λόγος τους (ΑΒΓΔ) είναι ίσος με –1, δηλαδή τα σημεία Γ και Δ διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το ΑΒ σε απλούς μερικούς λόγους που έχουν πηλίκο –1. Η σχέση που ισχύει είναι: (ΑΒΓΔ) = με χρήση αλγεβρικών τιμών και (ΑΒΓΔ) = με χρήση διανυσμάτων.
Από αυτόν τον ορισμό συμπεραίνουμε ότι ένα από τα γράμματα Γ και Δ βρίσκεται εντός του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και το άλλο βρίσκεται εκτός, αλλά πάνω στην ευθεία ΑΒ. Το Γ λέγεται συζυγές αρμονικό του Δ ως προς τα Α και Β και αντίστοιχα το Δ λέγεται συζυγές αρμονικό του Γ ως προς τα Α και Β (βλ. σχήμα 1).
Η διατεταγμένη τετράδα (Α, Β, Γ, Δ) λέγεται τότε αρμονική τετράδα σημείων και ο διπλός λόγος (ΑΒΓΔ) λέγεται αρμονικός λόγος. Ο αρμονικός λόγος διατηρείται κατά την προβολή.
Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, ισχύει η σχέση, όπως εύκολα αποδεικνύεται με χρήση του ορισμού. Επίσης, ισχύει:.
Παράδειγμα αρμονικής τετράδας σημείων είναι τα άκρα μιας πλευράς ενός μη ισοσκελούς τριγώνου και τα ίχνη της εσωτερικής και της εξωτερικής διχοτόμου της απέναντι γωνίας (βλ. σχήμα 2), δηλαδή αρμονική είναι η τετράδα (Β, Γ, Δ, Δ’) στο τρίγωνο ΑΒΓ, όπου ΑΔ η εσωτερική και ΑΔ’ η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας .
Ισχύει η πρόταση: αν τα σημεία Α και Β είναι συζυγή αρμονικά των Γ και Δ, τότε και τα σημεία Γ και Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α και Β.
Παράδειγμα:
Να κατασκευαστεί το συζυγές αρμονικό του σημείου Γ ως προς τα Α και Β.
Λύση:
Σύνθεση: Έστω ότι δίνονται τα συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ (βλ. σχήμα 3). Φέρουμε δύο παράλληλες ευθείες, που διέρχονται από τα Α και Β. Παίρνουμε πάνω στη μία (έστω σε αυτή που διέρχεται από το Α) τυχαίο σημείο Η, το οποίο ενώνουμε με το Γ. Αν η ΗΓ τέμνει την παράλληλη από το Β στο σημείο Ε και ονομάσουμε Ζ το συμμετρικό του Ε ως προς το Β, τότε η ΗΖ τέμνει την ΑΒ στο Δ, που είναι το ζητούμενο σημείο, συζυγές αρμονικό του Γ ως προς τα Α και Β.
Απόδειξη: Τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΒΔΖ είναι όμοια, εφόσον ΑΗ // ΒΖ, οπότε:. Τα τμήματα ΒΖ και ΒΕ είναι ίσα από κατασκευή και τα τρίγωνα ΑΗΓ και ΒΕΓ είναι όμοια, εφόσον ΑΗ // ΒΕ, επομένως έχουμε: =. Άρα πράγματι το Δ είναι το συζυγές αρμονικό του Γ ως προς τα Α και Β.
Η έννοια του συζυγούς αρμονικού σημείου είναι πρωταρχική για τον ορισμό της πολικής ενός σημείου ως προς κύκλο.
Αρμονική πρόοδος. Λέγεται μία ακολουθία πραγματικών αριθμών, όταν οι αντίστροφοι των όρων της αποτελούν αριθμητική πρόοδο, δηλαδή:
α1, α2, ..., αν, ... αρμονική πρόοδος αριθμητική πρόοδος.
Αν x είναι η διαφορά της αριθμητικής προόδου, τότε έχουμε τον ακόλουθο τύπο από τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το γενικό όρο της αρμονικής προόδου:
+ (ν - 1) • x.
Τύπος για το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αρμονικής προόδου δεν υπάρχει, γιατί δεν έχει αποδειχθεί κάτι τέτοιο.
Πρόταση: Τρεις αριθμοί α, β, γ αποτελούν μ’ αυτή τη διάταξη διαδοχικούς όρους αρμονικής προόδου αν, και μόνο αν, ισχύει η σχέση β =. Ο β λέγεται τότε αρμονικός μέσος των α και γ.
Παραδείγματα:
α) Η ακολουθία είναι αρμονική πρόοδος, γιατί οι αντίστροφοι των όρων της 5, 8, 11, 14, … αποτελούν αριθμητική πρόοδο (και συγκεκριμένα με πρώτο όρο το 5 και διαφορά 3).
β) Αν οι αριθμοί αποτελούν αριθμητική πρόοδο, να δείξετε ότι οι αριθμοί α, , γ είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.
Λύση: Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει η σχέση: =. Πράγματι, από την υπόθεση θα έχουμε:
Þ 2β × (1 – αβ)(1 – βγ) = (α + β)(1 – βγ) + (β + γ)(1 – αβ)
2β – 2αβ2 – 2β2γ + 2αβ3γ = α + β – αβγ – β2γ + β + γ – αβ2 – αβγ
2αβ3γ + 2αβγ – αβ2 – β2γ – α – γ = 0 2αβγ(β2 + 1) – β2(α + γ) – (α + γ) = 0
2αβγ(β2 + 1) – (α + γ)(β2 + 1) = 0 (β2 +1)(2αβγ – α – γ) = 0
2αβγ = α + γ =...
Αρμονική σειρά. Λέγεται η σειρά, της οποίας ο γενικός όρος Sν είναι το άθροισμα των ν πρώτων διαδοχικών όρων αρμονικής προόδου.
Αρμονική τετράδα ευθειών. Έτσι ονομάζεται η διατεταγμένη τετράδα ευθειών (α, β, γ, δ) μιας επίπεδης δέσμης, όταν ο διπλός λόγος (ΑΒΓΔ) των σημείων τομής Α, Β, Γ, Δ μιας ευθείας (ε) με τις ευθείες της δέσμης είναι αρμονικός (βλ. σχήμα 1)
Παράδειγμα αρμονικής τετράδας ευθειών αποτελούν οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός μη ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με την εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο ΑΔ και ΑΔ’ αντίστοιχα της απέναντι γωνίας (βλ. σχήμα 2), γιατί τεμνόμενες από την πλευρά ΒΓ ορίζονται τα σημεία Β, Γ, Δ, Δ’ που αποτελούν αρμονική τετράδα σημείων.
Αρμονικός μέσος. Ο πραγματικός αριθμός β λέγεται αρμονικός μέσος των αριθμών α και γ αν, και μόνο αν, ισχύει η σχέση:. Τότε οι αριθμοί α, β, γ είναι με αυτή τη διάταξη διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου. Ισοδύναμος είναι και ο ακόλουθος ορισμός: ο αριθμός β λέγεται αρμονικός μέσος των αριθμών α και γ αν, και μόνο αν, είναι ο αντίστροφος του αριθμητικού μέσου των αντιστρόφων τους.
Ο ορισμός αυτός γενικεύεται και για περισσότερους αριθμούς, πεπερασμένου όμως πλήθους. Ο αρμονικός μέσος είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή το πλήθος των αριθμών και παρονομαστή το άθροισμα των αντιστρόφων τους (το οποίο, υποτίθεται, είναι διάφορο του μηδενός). Ο τύπος για ν αριθμούς α1, α2, …, αν γίνεται: Η =.
Για τον αριθμητικό μέσο Α, το γεωμετρικό μέσο Γ και τον αρμονικό μέσο Η τριών αριθμών α, β, γ ισχύει η ακόλουθη ταυτοανισοϊσότητα του Cauchy: Α ³ Γ ³ Η, δηλαδή ο αριθμητικός μέσος είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το γεωμετρικό μέσο και αυτός είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον αρμονικό. Η ισότητα ισχύει όταν α = β = γ. Η ταυτοανισοϊσότητα του Cauchy ισχύει και για πεπερασμένο πλήθος αριθμών.
Αρνητικός αριθμός. Ο αριθμός που είναι μικρότερος του μηδενός. Έχει πρόσημο μείον (–) και πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών παριστάνεται από σημείο που βρίσκεται αριστερά της αρχής του 0.
Άρρητη εξίσωση. Η εξίσωση f(x) = 0 ονομάζεται άρρητη (ή εξίσωση με ριζικά), όταν η αλγεβρική παράσταση f(x) είναι άρρητη ως προς τον άγνωστο, δηλαδή όταν υπάρχει άγνωστος στην υπόρριζη ποσότητα ενός τουλάχιστον ριζικού που περιλαμβάνεται στην εξίσωση.
Άρρητος αριθμός. Λέγεται ο αριθμός που δεν είναι ρητός, δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί με τη μορφή του πηλίκου δύο ακέραιων αριθμών. Ο άρρητος μπορεί να γραφεί με τη μορφή δεκαδικού αριθμού, που όμως θα έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία μη επαναλαμβανόμενα. Η ιδέα της ύπαρξης των άρρητων αριθμών γεννήθηκε από ανάγκη, όταν οι μαθηματικοί της αρχαιότητας θέλησαν να υπολογίσουν τη διαγώνιο ενός τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με τη μονάδα. Από το πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε ότι: δ2 = α2 + α2 = 1 + 1 = 2. Χρειαζόταν λοιπόν ένας αριθμός που το τετράγωνό του να ισούται με 2. Όπως μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, τέτοιος ρητός δεν υπάρχει, ο οποίος, αν τεθεί στη θέση του δ, να επαληθεύει την ισότητα αυτή. Έτσι εισάγεται η έννοια του άρρητου αριθμού με τη βοήθεια της έννοιας της τομής, η οποία χρησιμοποιήθηκε από τον Dedekind.
Είναι εύκολο να βρούμε δύο ρητούς αριθμούς p και q, οι οποίοι, αν τεθούν στη θέση του δ στη σχέση δ2 = 2, να τη μετατρέπουν σε ανισότητα ως εξής: p2 < 2 και q2 > 2. Λέμε τότε ότι ο p ανήκει στην κάτω κλάση και ο q στην πάνω κλάση. Με αυτόν τον τρόπο, το σύνολο των ρητών αριθμών χωρίζεται σε δύο κλάσεις Α και Β με τις εξής ιδιότητες, οι οποίες αποδεικνύονται εύκολα:
α) " p Î A Ù " q Î B Þ p < q.
β) Αν δοθεί ένα στοιχείο της κλάσης Α, μπορούμε να βρούμε ένα μεγαλύτερό του στοιχείο της ίδιας κλάσης: η Α δεν έχει μέγιστο.
γ) Αν δοθεί ένα στοιχείο της κλάσης Β, μπορούμε να βρούμε ένα μικρότερό του στοιχείο της ίδιας κλάσης: η Β δεν έχει ελάχιστο.
Έτσι ορίζουμε ένα νέο αριθμό με την τομή Α Ç Β, τον οποίο λέμε ασύμμετρο ή άρρητο και ο οποίος είναι προφανώς διατεταγμένος ως προς τους ρητούς και μονότιμα ορισμένος. Ύστερα ορίζουμε ως σύνολο των πραγματικών αριθμών και το συμβολίζουμε με IR (από τη λέξη real = πραγματικός) το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών.
Για τις πράξεις μεταξύ ρητών και άρρητων ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις:
1. Το άθροισμα ρητού και άρρητου είναι πάντοτε άρρητος αριθμός.
2. Η διαφορά μεταξύ ρητού και άρρητου είναι πάντοτε άρρητος αριθμός.
3. Το γινόμενο μεταξύ ρητού και άρρητου είναι πάντοτε άρρητος αριθμός, εκτός από την περίπτωση που ο ρητός είναι το μηδέν.
4. Το πηλίκο ρητού διά άρρητου είναι πάντοτε άρρητος αριθμός, εκτός από την περίπτωση που ο ρητός είναι το μηδέν.
5. Το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο δύο άρρητων αριθμών δεν μπορούμε να γνωρίζουμε αν είναι ρητός ή άρρητος αριθμός· γι’ αυτό πρέπει να αποδεικνύουμε κάθε φορά τι είναι.
6. Αν ισχύει: α + β = γ + δ, όπου α, β, γ, δ ρητοί και ν θετικός ρητός και όχι τέλειο τετράγωνο ρητού, τότε θα είναι α = γ και β = δ.
Άρτια μετάθεση. Μία απλή μετάθεση των ν φυσικών αριθμών 1, 2, …, ν ονομάζεται άρτια, όταν παρουσιάζει άρτιο πλήθος αντιστροφών. Π.χ. η μετάθεση 1, 3, 4, 2 είναι άρτια, γιατί παρουσιάζει δύο αντιστροφές την 3, 2 και την 4, 2. Μία μετάθεση που δεν είναι άρτια λέγεται περιττή. Ισχύουν οι προτάσεις:
α) αν αντιμεταθέσουμε δύο στοιχεία μιας μετάθεσης, τότε αυτή αλλάζει τάξη, δηλαδή από άρτια γίνεται περιττή και αντίστροφα από περιττή γίνεται άρτια.
β) από τις μεταθέσεις των ν φυσικών αριθμών οι μισές μεταθέσεις είναι περιττές και οι άλλες μισές άρτιες.
Άρτια συνάρτηση. Μία συνάρτηση f : A ® IR ονομάζεται άρτια αν και μόνο αν ισχύουν δύο προϋποθέσεις:
α) " x Î A, –x Î A
β) " x Î A, f(–x) = f(x),
δηλαδή αν και μόνο αν:
α) το σύνολο Α είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν και
β) σε αντίθετες τιμές του x αντιστοιχεί ίδια τιμή για το y.
Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα των τεταγμένων (yy’), γιατί περιλαμβάνει όλα τα σημεία (x, y) και (–x, y), " x Î A (βλ. σχήμα 1).
Παραδείγματα:
1. Η συνάρτηση f(x) = x2 με πεδίο ορισμού το IR είναι άρτια, γιατί ισχύουν:
α) " x Î IR, ισχύει –x Î IR και
β) " x Î IR, f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x).
2. Η συνάρτηση g(x) = 3 συνx + 2 με πεδίο ορισμού το IR είναι άρτια (βλ. σχήμα 2), γιατί ισχύουν:
α) " x Î IR, ισχύει –x Î IR και
β) " x Î IR, g(–x) = 3 συν(–x) + 2 = 3 συνx + 2 = g(x).
Οι δύο προϋποθέσεις είναι το ίδιο απαραίτητο να ισχύουν για να είναι μία συνάρτηση άρτια, π.χ.
1. Για τη φ(x) = x3 + 1 με πεδίο ορισμού το IR, ισχύει η πρώτη προϋπόθεση, αλλά δεν ισχύει η δεύτερη, γιατί π.χ. για x = 1 έχουμε φ(1) = 13 + 1 = 1 + 1 = 2, αλλά για x = –1 έχουμε: φ(–1) = (–1)3 + 1 = –1 + 1 = 0, δηλαδή σε δύο αντίθετες τιμές του x δεν αντιστοιχεί η ίδια τιμή για το y. Επομένως, η φ δεν είναι άρτια.
2. Για τη συνάρτηση h(x) = x2 με πεδίο ορισμού το διάστημα Α = (–5, 5] δεν ισχύει η πρώτη προϋπόθεση, καθόσον 5 Î Α, αλλά –5 Ï Α. Άρα η συνάρτηση h δεν είναι άρτια.
Το γεγονός ότι μια συνάρτηση είναι άρτια μας διευκολύνει στη μελέτη της, καθώς και στη χάραξη της γραφικής της παράστασης, γιατί τη μελετούμε μόνο για τις θετικές τιμές του x και χαράσσουμε συμμετρικά ως προς τον άξονα των y το τμήμα που αφορά τις αρνητικές τιμές του x (βλ. σχήμα 3).
Άρτιος αριθμός. Λέγεται αλλιώς και ζυγός. Άρτιος λέγεται ένας ακέραιος αριθμός, ο οποίος, όταν διαιρεθεί με το 2, δίνει υπόλοιπο ίσο με το μηδέν, δηλαδή οι άρτιοι αριθμοί είναι όλα τα ακέραια πολλαπλάσια του 2, δηλαδή 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ... Οι άρτιοι μπορούν να παρασταθούν με τη γενική μορφή 2κ, όπου κ Î Ζ. Οι ακέραιοι αριθμοί που δεν είναι άρτιοι λέγονται περιττοί (ή μονοί). Για τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού μεταξύ άρτιων και περιττών, ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις: 1. Το άθροισμα άρτιων είναι άρτιος αριθμός. 2. Το άθροισμα δύο (ή άρτιου πλήθους) περιττών είναι άρτιος αριθμός. 3. Το άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός αριθμός. 4. Το άθροισμα περιττού πλήθους περιττών είναι περιττός αριθμός. 5. Το γινόμενο άρτιων είναι άρτιος αριθμός. 6. Το γινόμενο άρτιων και περιττών είναι άρτιος αριθμός. 7. Το γινόμενο περιττών είναι περιττός αριθμός. 8. Το γινόμενο ακεραίων είναι περιττός μόνο αν όλοι οι παράγοντές του είναι περιττοί. Αν υπάρχει έστω και ένας άρτιος παράγοντας, τότε και το γινόμενο θα είναι άρτιος αριθμός.
Ασύμβατες ευθείες. Είναι οι ευθείες που δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Επομένως είναι διαφορετικές από τις παράλληλες ευθείες, οι οποίες βέβαια δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, αλλά υποχρεωτικά πρέπει να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Γενικά, δύο ευκλείδειοι χώροι είναι ασύμβατοι, όταν δεν έχουν κοινά σημεία.
Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. Ασυμβίβαστα ονομάζονται δύο ενδεχόμενα του ίδιου πειράματος τύχης, όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή η τομή τους είναι το κενό σύνολο. Λέγονται αλλιώς ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα. Τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα, π.χ. στο πείραμα «ρίχνουμε ένα κανονικό ζάρι μία φορά», τα ενδεχόμενα Α: «φέρνουμε άρτια ένδειξη» και Β: «φέρνουμε περιττή ένδειξη» είναι ασυμβίβαστα. Για τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ισχύουν οι σχέσεις:
Ρ (Α Ç Β) = 0 και Ρ (Α È Β) = Ρ (Α) + Ρ (Β).
Σε διάγραμμα Venn-Euler τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα παριστάνονται με δύο κλειστές καμπύλες που δεν τέμνονται (βλ. σχήμα).
Ασύμμετρα μεγέθη. Ασύμμετρο λέγεται κάθε μέγεθος, όταν δεν έχει κοινό μέτρο με τη μονάδα αυτού ή τα κλάσματα αυτής. Τα μεγέθη αυτά εκφράζονται με ασύμμετρους αριθμούς π.χ. η διαγώνιος τετραγώνου ή κύβου είναι ασύμμετρο μέγεθος ως προς την πλευρά του.
Ασύμμετρος αριθμός. Ο αριθμός ο οποίος, αν πάρει δεκαδική μορφή, έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία, όχι περιοδικά. Πολλές φορές ταυτίζεται με τον άρρητο αριθμό.
Ασύμπτωτη καμπύλης. Ονομάζεται η ευθεία με την οποία τείνει να συμπέσει η καμπύλη y = f (x), καθώς το x τείνει σε έναν πραγματικό αριθμό ή στο +¥ ή στο -¥. Η λέξη «ασύμπτωτη» δε σημαίνει ότι η καμπύλη δεν έχει κοινά σημεία με την ευθεία (αντίθετα μάλιστα, όπως φαίνεται στο σχήμα, είναι δυνατό να έχει ακόμη και άπειρα κοινά σημεία με μία ασύμπτωτή της) αλλά ότι θα συμπέσει μ’ αυτή σε άπειρη απόσταση, καθώς και οι δύο επεκτείνονται απεριόριστα. Υπάρχουν τρία είδη ασυμπτώτων: οι κατακόρυφες, οι οριζόντιες και οι πλάγιες.
Ασυνεχής συνάρτηση. Η συνάρτηση που δεν είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της. Ειδικότερα, μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το μη κενό σύνολο Α λέγεται ασυνεχής σε ένα σημείο x = x0 τότε και μόνο τότε, όταν ισχύει μία τουλάχιστον από τις ακόλουθες περιπτώσεις:
α) όταν η f δεν ορίζεται στο x0, δηλαδή όταν το x0 δεν ανήκει στο Α·
β) όταν δεν υπάρχει το όριο της f στο x0·
γ) όταν υπάρχει το όριο της f στο x0, αλλά είναι το +¥ ή το -¥·
δ) όταν υπάρχει το όριο της f στο x0, αλλά δεν είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο x0.
Η ασυνέχεια μιας συνάρτησης διακρίνεται σε απλή και σε ουσιώδη (ή ουσιαστική). Απλή ασυνέχεια έχουμε όταν υπάρχουν τα πλευρικά όρια της f στο x0 και ένα τουλάχιστον από αυτά δε συμπίπτει με την τιμή της f στο x0, ενώ ουσιώδη έχουμε όταν δεν υπάρχει το ένα τουλάχιστον από τα πλευρικά όρια της f στο x0.
Άτοπο. Όπως έλεγαν οι αρχαίοι Έλληνες, άτοπο είναι κάτι που «δεν έχει τόπο», δηλαδή δεν είναι σωστό σύμφωνα με τη λογική μας, γιατί αντιβαίνει σε μία άλλη ήδη αποδεδειγμένη πρόταση ή αυταπόδεικτη αλήθεια (π.χ. αξίωμα).
Άτρακτος. Το τμήμα της επιφάνειας σφαίρας που περιλαμβάνεται ανάμεσα σε δύο μέγιστα ημικύκλιά της.
Αφαίρεση διανυσμάτων. Για να αφαιρέσουμε δύο διανύσματα, προσθέτουμε στο πρώτο το αντίθετο του δεύτερου. Θεωρώντας ότι τα δύο διανύσματα έχουν κοινή αρχή, η διαφορά τους είναι το διάνυσμα που βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο του παραλληλογράμμου, η οποία δεν παριστάνει το άθροισμά τους, όπως φαίνεται και στο σχήμα.
Με τη βοήθεια της αφαίρεσης διανυσμάτων ορίζουμε ότι ένα διάνυσμα είναι ίσο με τη διαφορά της διανυσματικής ακτίνας της αρχής του από τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος, δηλαδή στο προηγούμενο σχήμα ισχύει:
Αφαίρεση πινάκων. Για να αφαιρέσουμε δύο πίνακες, προσθέτουμε στον πρώτο τον αντίθετο του δεύτερου, δηλαδή αν Α = [αij] και Β = [βij] δύο πίνακες του τύπου μ ´ ν, τότε η διαφορά του Β από τον Α είναι ο πίνακας Α – Β = Α + (–Β). Για να οριστεί η αφαίρεση μεταξύ δύο πινάκων, πρέπει απαραίτητα οι δύο πίνακες να είναι του ίδιου τύπου.
Αφαίρεση συναρτήσεων. Η αφαίρεση δύο συναρτήσεων f και g ορίζεται ως εξής: η διαφορά f – g είναι μία καινούρια συνάρτηση, που έχει πεδίο ορισμού την τομή των πεδίων ορισμού των δύο συναρτήσεων και τιμή την αντίστοιχη διαφορά των τιμών τους, δηλαδή για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της διαφοράς f – g ισχύει:
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
Αφαίρεση φυσικών αριθμών. Είναι μια πράξη η οποία γίνεται μεταξύ δύο μόνο αριθμών. Με αυτήν ελαττώνουμε τον έναν από τους αριθμούς κατά τόσες μονάδες, όσες έχει ο άλλος. Ο πρώτος λέγεται μειωτέος και ο δεύτερος αφαιρετέος. Το σύμβολό της είναι το πλην (-).
Αφαιρετέος. Αυτός που πρέπει να αφαιρεθεί. Ο αριθμός που μας δείχνει κατά πόσες μονάδες θα λιγοστέψουμε το μειωτέο. Το δεύτερο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους των δύο αριθμών στην πράξη της αφαίρεσης.
Βιέτ, τύποι του. α) Αν ρ1 και ρ2 είναι οι ρίζες μιας πολυωνυμικής εξίσωσης δευτέρου βαθμού αx2 + βx + γ = 0, τότε οι τύποι του Βιέτ για το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών s = ρ1 + ρ2 = και p = ρ1×ρ2 =.
β) Αν ρ1, ρ2, ρ3 είναι οι ρίζες μιας πολυωνυμικής εξίσωσης τρίτου βαθμού της μορφής α3x3 + α2x2 + α1x + α0 = 0, τότε οι τύποι του Βιέτ γίνονται:
ρ1 + ρ2 + ρ3 =, ρ1 × ρ2 + ρ2 × ρ3 + ρ3 × ρ1 =, ρ1 × ρ2 × ρ3 =.
γ) Αν ρ1, ρ2, …, ρν είναι οι ρίζες μιας πολυωνυμικής εξίσωσης νιοστού βαθμού της μορφής
ανxν + αν - 1xν – 1 + … + α2x2 + α1x + α0 = 0, τότε οι τύποι του Βιέτ γενικεύονται ως εξής:
Το άθροισμα των ριζών δίνεται από το, το άθροισμα των γινομένων των ριζών ανά δύο από το, το άθροισμα των γινομένων των ριζών ανά τρεις από το, κ.ο.κ. το γινόμενο όλων των ριζών από το.
Παράδειγμα: Να βρεθούν τρεις πραγματικοί αριθμοί x, y, z, οι οποίοι ικανοποιούν το σύστημα:
Λύση: Εφόσον γνωρίζουμε το άθροισμα των τριών αριθμών, το άθροισμα των γινομένων τους ανά δύο και το γινόμενο και των τριών, χρησιμοποιούμε ως βοηθητική μία πολυωνυμική εξίσωση τρίτου βαθμού, της οποίας οι ρίζες είναι οι αριθμοί αυτοί: ω3 – 8ω2 + 17ω – 10 = 0. Τη λύνουμε, βρίσκουμε τις ρίζες ω1 = 1, ω2 = 2 και ω3 = 5, οπότε αυτές είναι και οι τιμές των αγνώστων x, y, z.
Βάρους, μονάδες μέτρησης. Οι κυριότερες μονάδες που χρησιμοποιούνται στα προβλήματα της Πρακτικής Αριθμητικής για τη μέτρηση του βάρους είναι:
1. Το χιλιόγραμμο (ή κιλό) που ισούται με το βάρος αποσταγμένου νερού θερμοκρασίας 4 βαθμών Κελσίου και όγκου μιας κυβικής παλάμης. Ισούται με 1.000 γραμμάρια.
2. Το γραμμάριο είναι το βάρος αποσταγμένου νερού θερμοκρασίας 4 βαθμών Κελσίου και όγκου ενός κυβικού εκατοστού.
3. Ο τόνος που ισούται με 1.000 κιλά και είναι το βάρος αποσταγμένου νερού θερμοκρασίας 4 βαθμών Κελσίου και όγκου ενός κυβικού μέτρου.
4. Ως το 1959 στη χώρα μας χρησιμοποιούσαν ως μονάδα βάρους την οκά, η οποία υποδιαιρούνταν σε 400 δράμια. Η οκά ισοδυναμούσε με 1.280 γραμμάρια.
5. Επίσης, ως το 1959 χρησιμοποιούσαν και το στατήρα, ίσο με 44 οκάδες.
6. Αρχική μονάδα βάρους στην Αγγλία είναι η λίβρα (pound – σε συντομογραφία lb) που υποδιαιρείται σε 16 ουγκιές (ounces – σε συντομογραφία oz) και κάθε ουγκιά σε 16 δράμια. Μια ουγκιά ισούται με 28, 35 γραμμάρια και μία λίβρα με 453, 6 γραμμάρια.
7. Για τα πολύτιμα πετράδια χρησιμοποιούμε ως μονάδα βάρους το καράτι, που ισοδυναμεί με 0,20 γραμμάρια, περίπου.



Βάση, αλγεβρική. Όταν ορίζουμε ένα σύστημα συντεταγμένων xOy στο επίπεδο, ονομάζουμε αλγεβρική βάση του συστήματος αναφοράς το σύνολο {(1, 0), (0, 1)} των διατεταγμένων ζευγών των συντεταγμένων των δύο μοναδιαίων διανυσμάτων των αξόνων. Στο χώρο των τριών διαστάσεων η αλγεβρική βάση είναι το σύνολο {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} των διατεταγμένων τριάδων των συντεταγμένων των τριών μοναδιαίων διανυσμάτων των αξόνων.
Βάση αριθμητικού συστήματος. Ο αριθμός, ο οποίος δηλώνει πόσες μονάδες μιας ορισμένης τάξης πρέπει να πάρουμε, για να δημιουργήσουμε μια μονάδα της αμέσως επόμενης τάξης. Π.χ. στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, δέκα μονάδες μιας τάξης κάνουν μία μονάδα της αμέσως επόμενης τάξης, π.χ. δέκα δεκάδες κάνουν μία εκατοντάδα, δέκα εκατοντάδες κάνουν μία χιλιάδα κτλ. Στο δυαδικό σύστημα που έχει βάση τον αριθμό 2, δύο μονάδες μιας τάξης κάνουν μία μονάδα της αμέσως επόμενης τάξης κ.ο.κ.
Αν πρόκειται να γράψουμε έναν αριθμό σε σύστημα αρίθμησης διαφορετικό από το δεκαδικό, πρέπει να τονίσουμε τη βάση του συστήματος που θα χρησιμοποιήσουμε. Μπορούμε να σχηματίσουμε αριθμητικά συστήματα με βάση οποιοδήποτε φυσικό αριθμό, π.χ. τριαδικό με τρία ψηφία (το 0, το 1 και το 2), πενταδικό με πέντε ψηφία (το 0, το 1, το 2, το 3 και το 4) κτλ. Έτσι, για παράδειγμα, ο αριθμός 97 του δεκαδικού συστήματος γράφεται ως 1100001 στο δυαδικό (γιατί:
1  20 + 0  21 + 0  22 + 0  23 + 0  24 + 1  25 + 1  26 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 32 + 64 = 97) ή ως 10121 στο τριαδικό (γιατί: 1  30 + 2  31 + 132 + 0  33 + 1  34 = 1 + 6 + 9 + 0 + 81 = 97) ή ως 81 στο δωδεκαδικό (γιατί: 1 120 + 8 121= 1 + 96 = 97).
Αν μας δίνεται ένας αριθμός άγνωστου αριθμητικού συστήματος και ο ισοδύναμός του στο δεκαδικό ή σε άλλο γνωστό σύστημα, τότε μπορούμε να βρούμε τη βάση του συστήματος στο οποίο είναι γραμμένος ο αριθμός. Παράδειγμα. Να βρεθεί η βάση του αριθμητικού συστήματος στο οποίο είναι γραμμένος ο αριθμός 342 που ισοδυναμεί με το 97 του δεκαδικού συστήματος. Λύση. Αν ονομάσουμε x τη βάση του άγνωστου συστήματος, θα ισχύει: 2  x0 + 4  x1 + 3  x2 = 97  2 + 4x + 3x2 = 97  3x2 + 4x – 95 = 0  x = 5, γιατί το x είναι φυσικός αριθμός (η άλλη λύση της εξίσωσης απορρίπτεται). Άρα η βάση του συστήματος είναι το 5.
Βάση, διανυσματική. Ένα διάνυσμα λέγεται βάση ενός συστήματος αναφοράς ευθείας, αν και μόνο αν είναι μη μηδενικό. Τότε κάθε διάνυσμα που βρίσκεται πάνω στον άξονα ή είναι παράλληλο προς αυτόν, μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός του. Το σύνολο {, } λέγεται βάση του επιπέδου, αν και μόνο αν τα διανύσματα και τέμνονται (είναι γραμμικώς ανεξάρτητα). Τότε κάθε διάνυσμα του επιπέδου τους γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός τους. Με παρόμοιο τρόπο ορίζεται η διανυσματική βάση και σε διανυσματικούς χώρους περισσότερων διαστάσεων.
Βάση δύναμης. Ο αριθμός που υψώνεται σε μία δύναμη, π.χ. στη δύναμη 23 ο αριθμός 2 είναι η βάση της δύναμης και ο αριθμός 3 είναι ο εκθέτης. Σε μία εκθετική συνάρτηση η βάση πρέπει απαραίτητα να είναι θετική.
Βάση λογαριθμικού συστήματος (ή λογαρίθμου). Ο θετικός, πραγματικός και διάφορος της μονάδας αριθμός α, με τη βοήθεια του οποίου ορίζεται ο λογάριθμος ενός θετικού πραγματικού αριθμού. Ο αριθμός α αναγράφεται ως δείκτης μετά το σύμβολο του λογαρίθμου, όπως π.χ. log2x. Εξαίρεση αποτελούν οι δεκαδικοί και οι νεπέριοι λογάριθμοι. Το 10 είναι η βάση των δεκαδικών λογαρίθμων, που συμβολίζονται με logx (γιατί η βάση 10 εννοείται και δεν αναγράφεται), ενώ ο αριθμός Euler (e) είναι η βάση των νεπέριων ή φυσικών λογαρίθμων, που συμβολίζονται με lnx.
Βέλος. Στα μαθηματικά βέλος είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που ορίζεται από το μέσο ενός τόξου προς τη χορδή του. Εάν ρ είναι η ακτίνα του κύκλου και λ το μήκος της χορδής του τόξου. Γενικότερα, βέλος λέγεται η απόσταση της χορδής ενός τόξου οποιασδήποτε καμπύλης από την εφαπτομένη της καμπύλης που μπορούμε να τραβήξουμε παράλληλα προς τη χορδή του τόξου.
F-κατανομή. Ειδική περίπτωση της Βήτα-κατανομής. Ισχύει το θεώρημα: Αν οι ανεξάρτητες μεταβλητές x1, x2 ακολουθούν την κατανομή X2 με ν1 και ν2 βαθμούς ελευθερίας αντίστοιχα, τότε η τυχαία μεταβλητή Υ ακολουθεί την F-κατανομή με ν1 και ν2 βαθμούς ελευθερίας.
Παράδειγμα: Αν οι τυχαίες μεταβλητές x1, x2 είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν την τυπική κανονική κατανομή, τότε ποια κατανομή ακολουθεί η μεταβλητή:
αφού x1  N (0, 1) και x2  N (0, 1), οι μεταβλητές x1 + x2 και x2 – x1 ακολουθούν την Ν (0, 2). Έτσι, η ζητούμενη μεταβλητή γίνεται: και εφόσον είναι το πηλίκο δύο κατανομών X2, θα ακολουθεί την F-κατανομή με 1 και 1 βαθμό ελευθερίας, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα.
Εξίσωση. Κάθε ισότητα της οποίας τα μέλη γίνονται ίσα, όταν ένα ή περισσότερα γράμματα απ' αυτά που περιέχονται στα μέλη της ισότητας, πάρουν κατάλληλες τιμές.
Το πρόβλημα: «(x1, x2,..., xν) IRν: Π(x1, x2,..., xν) = Ρ(x1, x2,..., xν)».
Υπάρχουν πολλά είδη εξίσωσης: ακέραιη, αλγεβρική, διαφορική, αντίστροφη, παραμετρική κτλ.
Οι εξισώσεις χρησιμεύουν για την αναλυτική παράσταση των γραμμών και των επιφανειών. Το ζήτημα της λύσης μιας εξίσωσης απασχόλησε τους μαθηματικούς από τα πρώτα βήματα της άλγεβρας. Η εισαγωγή του συμβόλου συν (+) και αργότερα του πλην (-) ήταν μία σημαντική πρόοδος στον τομέα αυτό. Η επίλυση εξισώσεων και συστημάτων πρώτου βαθμού πραγματοποιήθηκε πολύ νωρίς, το ίδιο και της εξίσωσης δεύτερου βαθμού και ειδικών συστημάτων ανώτερου του πρώτου βαθμού. Η λύση όμως της εξίσωσης τρίτου βαθμού οφείλεται στο Σκιπίωνα Νταλ Φέρο και της εξίσωσης τέταρτου βαθμού στο Λουδοβίκο Φεράρι. Και οι δύο δημοσιεύθηκαν από τον Τζ. Καρντάνο στις αρχές του 16ου αι. Η επιλυσιμότητα μιας εξίσωσης με ριζικά πεπερασμένου πλήθους στους συντελεστές της είναι διπλό πρόβλημα: α) πότε μία αλγεβρική εξίσωση νιοστού βαθμού είναι δυνατό να επιλυθεί με ριζικά και β) πόσες ρίζες δέχεται η νιοστού βαθμού εξίσωση μέσα στο σώμα των μιγαδικών αριθμών. Όσον αφορά το πρώτο ερώτημα, ο Ιταλός γιατρός Πάολο Ρουφίνι το 1799 απέδειξε ότι είναι αδύνατη η λύση της γενικής εξίσωσης πέμπτου βαθμού με τη βοήθεια ριζικών. Στο ίδιο συμπέρασμα κατέληξε ανεξάρτητα εργαζόμενος και ο Νορβηγός Χ. Ν. Άμπελ το 1826. Το 1832 ο Γάλλος Εβαρίστ Γκαλουά απέδειξε τη μη επιλυσιμότητα των εξισώσεων ανώτερου του τέταρτου βαθμού με τη βοήθεια ριζικών. Όσον αφορά το δεύτερο ερώτημα, αυτό καλύπτεται από το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το οποίο διατυπώθηκε από το Γάλλο ντ’ Αλαμπέρ το 1746 και αποδείχθηκε από το Γερμανό Γκάους το1799: «Κάθε εξίσωση νιοστού βαθμού με συντελεστές από το σώμα των μιγαδικών αριθμών, επιδέχεται ακριβώς ν ρίζες από το σώμα αυτό, συμπεριλαμβανομένης και της πολλαπλότητας».
Κανόνας του ντε λ’ Οπιτάλ. Υπάρχουν στην πραγματικότητα δύο κανόνες ντε λ’ Οπιτάλ (από το όνομα του μαρκήσιου ντε λ’ Οπιτάλ), οι οποίοι εφαρμόζονται στην άρση δύο αντίστοιχων ειδών απροσδιοριστίας, που εμφανίζονται κατά τον υπολογισμό του ορίου μιας συνάρτησης.
Μέγιστος κοινός διαιρέτης ακέραιων αριθμών. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσότερων ακέραιων αριθμών λέγεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών αυτών· ΜΚΔ δύο ή περισσότερων ακέραιων πολυωνύμων λέγεται ο μεγαλύτερου βαθμού κοινός διαιρέτης τους.
Ο ΜΚΔ δύο ακεραίων α και β συμβολίζεται με δ = (α, β). Οι κυριότερες ιδιότητες αυτού είναι:
1. Αν δ = (α, β), τότε ο δ διαιρεί και τον α και το β.
2. Αν δ’ είναι ένας κοινός διαιρέτης των α και β, τότε ισχύει δ’  δ.
3. Αν δ = (α, β), τότε οι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους.
4. Αν δ = (α, β), τότε υπάρχουν ακέραιοι κ και λ τέτοιοι, ώστε δ = κ  α + λ  β.
5. Ο ΜΚΔ πρώτων μεταξύ τους ακέραιων αριθμών είναι η μονάδα.
6. Ισχύει η σχέση: α  β = δ  ε, όπου δ ο ΜΚΔ και ε το ΕΚΠ των αριθμών α και β.
Οι κυριότερες μέθοδοι εύρεσης του ΜΚΔ δύο αριθμών είναι:
α) Με τον ορισμό: βρίσκουμε τους (θετικούς) διαιρέτες κάθε αριθμού, στη συνέχεια τους κοινούς και, τέλος, το μεγαλύτερο από αυτούς. Π.χ. για τους αριθμούς 48 και 36 έχουμε: διαιρέτες του 48 είναι 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 και του 36 είναι 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, οπότε οι κοινοί είναι 1, 2, 3, 4, 6, 12, άρα (48, 36) = 12. Η μέθοδος όμως αυτή είναι ιδιαίτερα χρονοβόρα, όταν οι αριθμοί είναι σχετικά μεγάλοι και επομένως έχουν πολλούς διαιρέτες.
β) Με ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: αναλύουμε κάθε αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και ο ΜΚΔ θα είναι το γινόμενο των κοινών παραγόντων στη μικρότερη δύναμη που εμφανίζεται ο καθένας. Π.χ. για τους αριθμούς 48 και 36 έχουμε: 48 = 24  3 και 36 = 22  32, οπότε (48, 36) = 22  3 = 12.
γ) Με συνεχείς ευκλείδειες διαιρέσεις: Διαιρούμε το μεγαλύτερο ακέραιο με το μικρότερο και στη συνέχεια διαιρούμε το διαιρέτη με το υπόλοιπο που βρήκαμε. Συνεχίζουμε το ίδιο μέχρι να βρούμε υπόλοιπο μηδέν. Το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο είναι ο ΜΚΔ των αρχικών αριθμών. Η μέθοδος αυτή είναι πολύ χρήσιμη στη θεωρία των αριθμών, επειδή με τη βοήθεια των ευκλείδειων διαιρέσεων βρίσκουμε το ΜΚΔ ως γραμμικό συνδυασμό των αρχικών αριθμών, όπως αναφέρθηκε στην ιδιότητα 4 (βλ. και λ. ευκλείδειος αλγόριθμος).
Μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Οι γεωμετρίες που αποδέχονται την ορθότητα όλων των αξιωμάτων του Ευκλείδη, αλλά όχι του πέμπτου (γνωστού και με τη μορφή του αξιώματος της παραλληλίας: «από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική παράλληλη προς αυτήν»). Οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες διακρίνονται σε δύο είδη: την ελλειπτική γεωμετρία (στην οποία δεν υπάρχει παράλληλη προς τη δοσμένη ευθεία από το σημείο εκτός αυτής) και τις υπερβολικές γεωμετρίες (στην οποία υπάρχουν δύο ή περισσότερες παράλληλες προς την ευθεία). Από την εποχή του Πτολεμαίου ακόμη (2ος αι. μ.Χ.) δεκάδες μαθηματικοί προσπάθησαν να αποδείξουν το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη με τη βοήθεια των υπόλοιπων, κάτι που τους οδήγησε σε λάθη. Διότι, όπως αποδείχτηκε μόλις το 18ο αιώνα, το 5ο αξίωμα είναι ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα και η μη αποδοχή του δεν οδηγεί σε αντιφάσεις με αυτά. Ωστόσο, η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν τόσο ισχυρά αποδεκτή από την ανθρώπινη κοινωνία την εποχή που εμφανίστηκαν τα πρώτα δείγματα μη ευκλείδειων γεωμετριών, που ο μεγάλος μαθηματικός Γκάους κράτησε κρυφές τις παρατηρήσεις του για δεκαετίες φοβούμενος την κατακραυγή εναντίον του. Μέχρι και ο φιλόσοφος Ιμάνουελ Καντ είχε ονομάσει την ευκλείδεια γεωμετρία «αναγκαιότητα της ανθρώπινης σκέψης». Η συμβολή του Ιταλού μαθηματικού Τζιοβάνι Τζιρόλαμο Σακιέρι (1748-1819) υπήρξε καθοριστική: το 1733 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, υπέθεσε ότι το αξίωμα της παραλληλίας δεν ισχύει. Η «υπόθεση της αμβλείας γωνίας» τον οδήγησε πράγματι γρήγορα σε άτοπο, αλλά η «υπόθεση της οξείας γωνίας» τον οδήγησε σε λανθασμένα συμπεράσματα, κυρίως γιατί αποδέχτηκε ως αυταπόδεικτη αλήθεια ότι μια ευθεία μπορεί να επεκταθεί επ’ άπειρον και ότι υπάρχει ένα σημείο πάνω στο επίπεδο, το οποίο όμως βρίσκεται σε άπειρη απόσταση από το δεδομένο σχήμα. Το 1766 ο Λάμπερτ ερεύνησε πιο σχολαστικά την «υπόθεση της οξείας γωνίας», δεν κατέληξε με λανθασμένα βήματα σε αντιφάσεις όπως ο Σακιέρι και παρατήρησε ότι στη νεοεμφανιζόμενη αυτή γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου αυξάνεται, καθώς αυξάνεται το εμβαδό του. Ο Λεζάντρ, υποθέτοντας ότι από σημείο στο εσωτερικό μιας γωνίας μπορούμε πάντοτε να φέρουμε μια ευθεία που να τέμνει και τις δύο πλευρές της γωνίας, υπέπεσε κι αυτός σε σφάλματα, προσπαθώντας να αποδείξει το 5ο αξίωμα, αφού αυτό που προϋπέθετε ήταν μια ισοδύναμη με το 5ο αξίωμα πρόταση. Το 1767 ο Ντ’ Αλαμπέρ ονόμασε το 5ο αξίωμα «η πέτρα του σκανδάλου της στοιχειώδους γεωμετρίας». Πρώτος ο Ούγγρος Ιανός Μπολιέ (1802-1860) τόλμησε να δημοσιεύσει το 1823 μια εργασία 24 σελίδων με τα συμπεράσματά του «πάνω σ’ έναν περίεργο καινούριο κόσμο», όπως ο ίδιος χαρακτήρισε τη μη ευκλείδεια γεωμετρία που ανακάλυψε, παρά τις συνεχείς προτροπές του πατέρα του Φαρκάς Μπολιέ «να μην ασχοληθεί ούτε μια ώρα με αυτήν τη χαμένη υπόθεση της απόδειξης του 5ου αξιώματος». Ο ίδιος ο Γκάους, φίλος του Φαρκάς, διάβασε την εργασία του Ιανού, τον χαρακτήρισε ως «ιδιοφυΐα πρώτου μεγέθους» και συνεχάρη τον εαυτό του που είχε εξαγάγει παρόμοια συμπεράσματα αρκετά χρόνια πριν. Στη Δύση έγινε γνωστή η εργασία του Λομπατσέφσκι πάνω στη δική του μη ευκλείδεια γεωμετρία μόλις το 1837, όταν δημοσιεύτηκε στο γαλλικό περιοδικό Κρελ. Στη Ρωσία είχε ήδη δημοσιευτεί το 1829. Αυτή ήταν υπερβολική και θεωρούσε ως πέμπτο αξίωμα την πρόταση: «υπάρχουν δυο ευθείες παράλληλες προς δοσμένη ευθεία, οι οποίες διέρχονται από σημείο εκτός αυτής». Ο πρώτος άνθρωπος που υποστήριξε ότι η νέα γεωμετρία των Μπολιέ-Λομπατσέφτσκι είναι ισάξια με την ευκλείδεια, ήταν ο Ευγένιος Μπελτράμι (1835-1900), ο οποίος το 1868 έγραψε μια «εργασία για την εξήγηση της μη ευκλείδειας γεωμετρίας», περιγράφοντας ένα μοντέλο μη ευκλείδειας γεωμετρίας δύο διαστάσεων μέσα σε μια τρισδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία: αναφέρεται πάνω στην επιφάνεια εκ περιστροφής μιας έλκουσας γύρω από μια ασύμπτωτή της, γνωστή ως «ψευδοσφαίρα». Το 1854 ο Μπέρναρντ Ρίμαν παρουσίασε σε μια ομιλία του τις παρατηρήσεις του πάνω στη δική του ελλειπτική γεωμετρία. Το έργο τους συμπλήρωσε ο Κλάιν το 1871, παρουσιάζοντας κι άλλα παρόμοια μοντέλα των δυο γεωμετριών. Σύμφωνα με τον Κλάιν, υπάρχουν τριών ειδών γεωμετρίες: η πρώτη των Μπολιέ-Λομπατσέφτσκι, στην οποία κάθε ευθεία έχει δύο σημεία που απέχουν άπειρη απόσταση μεταξύ τους, η δεύτερη του Ρίμαν, στην οποία κάθε ευθεία έχει δύο φανταστικά σημεία που απέχουν άπειρη απόσταση μεταξύ τους και η τρίτη αυτή του Ευκλείδη, η οποία θεωρείται το σύνορο μεταξύ των δύο πρώτων και δέχεται ότι κάθε ευθεία έχει δύο σημεία που απέχουν άπειρη απόσταση μεταξύ τους, ενώ ταυτόχρονα συμπίπτουν. Άλλη μια υπερβολική γεωμετρία παρουσίασε λίγο αργότερα και ο Ανρί Πουανκαρέ (1854-1912).
Μπάγιες, τύπος του.Σημαντικός τύπος της θεωρίας πιθανοτήτων. Ονομάστηκε έτσι προς τιμή του Άγγλου μαθηματικού Τόμας Μπάγιες (1702-1761). Αν ο δειγματοχώρος Ω ενός πειράματος τύχης αποτελείται από τα ξένα μεταξύ τους ανά δύο ενδεχόμενα Α1, Α2, …, Αν, τότε η μόνη περίπτωση για να συμβεί ένα ενδεχόμενο Β του πειράματος είναι να συμβεί ταυτόχρονα με κάποιο από τα Α1, Α2, …, Αν, οπότε: Ρ(Β) = Ρ(Β  Α1) + Ρ(Β  Α2) + … + Ρ(Β  Αν). Αν γνωρίζουμε τις πιθανότητες των Αi και τις δεσμευμένες πιθανότητες P(B/Ai), όπου i = 1, 2, …, ν, τότε: Ρ(Β) =. Αν ζητάμε την πιθανότητα να συμβεί ένα συγκεκριμένο ενδεχόμενο Ακ από τα Α1, Α2, …, Αν, ενώ γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι έχει συμβεί το Β, τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο του Μπάγιες:
Παράδειγμα: Από το σύνολο των γυναικών που εξετάζονται σε ένα εργαστήριο βιοχημείας, μόνο το 10% πάσχει από καρκίνο του μαστού. Η ακτινογραφία δίνει σωστή διάγνωση στο 85% των περιπτώσεων που η γυναίκα πράγματι πάσχει και στο 95% των περιπτώσεων που δεν πάσχει.
α) Βρείτε την πιθανότητα να εξεταστεί μία γυναίκα και η ακτινογραφία να δείξει ότι πάσχει.
β) Βρείτε την πιθανότητα να έχει γίνει λανθασμένη διάγνωση, εάν ήδη ξέρουμε ότι η ακτινογραφία δείχνει ότι η υπό εξέταση γυναίκα δεν πάσχει από καρκίνο του μαστού.
Λύση: Ονομάζουμε τα ενδεχόμενα Α = «η γυναίκα πάσχει από καρκίνο του μαστού» και Β = «η ακτινογραφία δείχνει ότι πάσχει». Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε: Ρ(Α) = 0,10, Ρ(Α’) = 0,90, Ρ(Β/Α) = 0,85, Ρ(Β’/Α) = 0,15, Ρ(Β’/Α’) = 0,95, Ρ(Β/Α’) = 0,05.
α) Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου Β: Ρ(Β) = Ρ(Β  Α) + Ρ(Β  Α΄) =
Ρ(Α)Ρ(Β/Α) + Ρ(Α΄)Ρ(Β/Α΄) = 0,10  0,85 + 0,90  0,05 = 0,085 + 0,045 = 0,13 = 13%.
β) Ζητάμε τη δεσμευμένη πιθανότητα
Ρ(Α/Β΄) =
1 2 3 4 5 6
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 Κτλ…
4
5
6

Πιθανα (Ν)
Ευνοϊκά (Α) πιθανότητες = P= A÷N ×100 … άρα τόσες.. % θά είναι οί πιθανότητες νά φέρει τό ζάρι κάποιον συνδιασμό...




Όριο συνάρτησης. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Df IR έχει όριο τον πραγματικό αριθμό λ, όταν το x τείνει στον οριακό αριθμό x0 του πεδίου ορισμού της αν και μόνο αν για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ε, οσοδήποτε μικρό, υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός δ, που εξαρτάται συνήθως από το ε και τέτοιος, ώστε για κάθε x του πεδίου ορισμού της f που ανήκει στην περιοχή του x 0 ακτίνας δ, οι αντίστοιχες τιμές f(x) της συνάρτησης να ανήκουν στην περιοχή του λ ακτίνας ε,
Μιγαδικός αριθμός (ή μιγάς). Κάθε αριθμός που περιέχει πραγματικό και φανταστικό μέρος. Ο μιγαδικός αριθμός Ζ γράφεται με τρεις τρόπους: αλγεβρική γραφή α + βi, αναλυτική γραφή (α, β) και τριγωνομετρική γραφή: ρ (συνφ + iημφ), όπου ρ το μέτρο και φ το όρισμά του.
Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται με C και είναι γνήσιο υπερσύνολο του R (των πραγματικών αριθμών).
Πράξεις μεταξύ των μιγαδικών:
Όταν οι μιγαδικοί είναι στην αλγεβρική μορφή, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός ορίζονται από τα αξιώματα των μιγαδικών αριθμών του Χάμιλτον. Η αφαίρεση ορίζεται ως εξής: η διαφορά δύο μιγαδικών αριθμών είναι μιγαδικός αριθμός που έχει πραγματικό μέρος ίσο με τη διαφορά των πραγματικών μερών τους και φανταστικό μέρος ίσο με τη διαφορά των φανταστικών μερών τους, δηλαδή αν z1 = α + βi και z2 = γ + δi, τότε z1 – z2 = (α – γ) + (β – δ)i. Η διαίρεση γίνεται πολλαπλασιάζοντας τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή, δηλαδή:
Όταν οι μιγαδικοί είναι σε τριγωνομετρική μορφή, τότε ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση γίνονται ευκολότερα με βάση τα θεωρήματα:
1. το γινόμενο δύο μιγαδικών σε τριγωνομετρική μορφή είναι μιγαδικός αριθμός που έχει μέτρο το γινόμενο των μέτρων τους και όρισμα το άθροισμα των ορισμάτων τους, δηλαδή: Το θεώρημα αυτό γενικεύεται και για περισσότερους παράγοντες.
2. το πηλίκο δύο μιγαδικών σε τριγωνομετρική μορφή είναι μιγαδικός αριθμός που έχει μέτρο το αντίστοιχο πηλίκο των μέτρων τους και όρισμα τη διαφορά των ορισμάτων τους, δηλαδή:
Η πρόσθεση και η αφαίρεση μιγαδικών σε τριγωνομετρική μορφή δεν είναι τόσο εύκολη – είναι πάντα προτιμότερο να μετατρέπουμε τους μιγαδικούς σε αλγεβρική μορφή.
Ορίζουσα. Πραγματικός αριθμός, που δίνεται με τη μορφή ορθογώνιας διάταξης. Η ορίζουσα είναι πάντοτε τετραγωνική, δηλαδή έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών. Αν έχει ν γραμμές και ν στήλες, όπου ν φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας, ονομάζεται ορίζουσα ν × ν (και διαβάζεται «νι επί νι») ή ορίζουσα νιοστής τάξης. Η ορίζουσα μπορεί να οριστεί και με τη βοήθεια ενός τετραγωνικού πίνακα ίδιας τάξης.
Πεδίο τιμών συνάρτησης.Το σύνολο των πραγματικών τιμών που παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή y = f (x), όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή x διατρέχει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, τότε το πεδίο (ή σύνολο) τιμών συμβολίζεται με f (A).
Εύρεση του πεδίου τιμών: Ένας τρόπος είναι να θέσουμε y = f (x) και να λύσουμε την εξίσωση ως προς x. Αφού το x διατρέχει το πεδίο ορισμού Α, βρίσκουμε σε ποιο διάστημα ανήκει το y ή γενικότερα, τι τιμές παίρνει. Π.χ. για να βρούμε το πεδίο τιμών της f (x) = x 2 – 5x + 4 με πεδίο ορισμού το A = ΙR, θέτουμε y = x 2 – 5x + 4  x 2 – 5x + 4 – y = 0 και αφού το x διατρέχει το ΙR, η εξίσωση αυτή θα έχει πραγματικές ρίζες, οπότε η διακρίνουσα πρέπει να είναι μη αρνητική:
Δ ≥ 0  25 – 4 (4 – y) ≥ 0  25 – 16 + 4y ≥ 0  4y ≥ – 9  y ≥, επομένως f (A) =.
Πολλές φορές, όμως, είναι δύσκολο να εφαρμοστεί αυτός ο τρόπος, γι’ αυτό βασιζόμαστε σε κάποιες γνωστές προτάσεις ή τεχνάσματα ή, ακόμα συχνότερα, μελετούμε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και συμπεραίνουμε για το πεδίο τιμών της με τη βοήθεια του πίνακα μονοτονίας.
Παραβολή. Επίπεδη καμπύλη που ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου, τα οποία ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο Ε και μία σταθερή ευθεία (δ) του επιπέδου, δηλαδή το Μ ανήκει στην παραβολή, αν και μόνο αν (ΜΕ) = d(Μ, δ).
Το σημείο Ε λέγεται εστία και η ευθεία (δ) διευθετούσα της παραβολής. Το μέσο Ο της απόστασης της εστίας από τη διευθετούσα ανήκει στην παραβολή και λέγεται κορυφή της. Αν θεωρήσουμε καρτεσιανό σύστημα αναφοράς με αρχή το μέσο Ο και άξονες τέτοιους, ώστε ο x΄x να διέρχεται από την εστία Ε και να είναι κάθετος προς τη διευθετούσα, ενώ ο yy΄ να είναι κάθετος σ’ αυτόν στο Ο, τότε βρίσκουμε την πιο απλή μορφή εξίσωσης της παραβολής y2 = 2p  x, όπου p η παράμετρος της παραβολής, η απόλυτη τιμή της οποίας εκφράζει την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα. Με αυτόν τον τρόπο ο άξονας x΄x που διέρχεται από την εστία, είναι και άξονας συμμετρίας της παραβολής. Αν p > 0, τότε η καμπύλη στρέφει τα κοίλα προς τα δεξιά και αν p < 0, στρέφει τα κοίλα προς τα αριστερά. Η εστία έχει συντεταγμένες και η διευθετούσα εξίσωση x = –. Αν, όμως, ο άξονας yy΄ διέρχεται από την εστία, τότε η καμπύλη θα στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, αν p > 0, και προς τα κάτω αν p < 0, ενώ η εστία θα έχει συντεταγμένες και η διευθετούσα εξίσωση y = –. Ανάλογα μεταβάλλονται τα στοιχεία της παραβολής, αν γίνει μεταφορά ή στροφή των αξόνων.
Η παραβολή είναι ανοιχτή καμπύλη δεύτερου βαθμού και έχει με μία ευθεία δύο το πολύ κοινά σημεία. Οι ευθείες οι παράλληλες προς τον άξονά της την τέμνουν σε ένα μόνο σημείο (και δεν είναι εφαπτόμενες). Φέρνουμε από το τυχαίο σημείο Μ της παραβολής την κάθετη ΜΓ επί τον άξονά της. Η εφαπτόμενη της παραβολής στο Μ τέμνει τον άξονα στο Δ έτσι ώστε ΟΔ = ΟΓ (βλ. σχήμα 2). Το ΔΓ λέγεται υφαπτόμενη της παραβολής στο Μ. Δηλαδή, η υφαπτόμενη της παραβολής στο τυχαίο σημείο της είναι διπλάσια της τετμημένης του. Η κάθετος της παραβολής στο Μ τέμνει τον άξονα στο Ζ και το τμήμα ΓΖ είναι πάντοτε ίσο με p (και λέγεται υποκάθετος).
Υπάρχει τρόπος με κανόνα και διαβήτη να βρούμε όσα σημεία της παραβολής θέλουμε. Γράφουμε περιφέρεια με κέντρο Ε και ακτίνα μεγαλύτερη ή ίση του. Σε απόσταση ίση με την ακτίνα αυτή από τη διευθετούσα (και προς το μέρος της εστίας) γράφουμε ευθεία παράλληλη προς την (δ), η οποία τέμνει την περιφέρεια σε δυο σημεία που είναι σημεία της παραβολής. Ακόμη με ένα γνώμονα και ένα σχοινάκι μπορούμε να χαράξουμε μια παραβολή.
Προβολή. Έστω ευθεία xy, διάνυσμα και σημείο Α. Ονομάζουμε (στο επίπεδο) προβολή του σημείου Α επί την ευθεία xy κατά το διάνυσμα, το σημείο τομής της xy με την ευθεία που περνά από το Α και είναι παράλληλη προς το. Η προβολή αυτή λέγεται πλάγια ή προβολή κατά διεύθυνση. Αν το είναι κάθετο προς τη xy, έχουμε την ορθή προβολή. Δηλαδή η ορθή προβολή ενός σημείου σε μια ευθεία είναι το ίχνος της καθέτου που φέρεται από το σημείο προς την ευθεία.
Η ευθεία που περνά από το σημείο και την προβολή του λέγεται προβάλλουσα, ενώ το αρχικό σημείο προβαλλόμενο. Η προβολή ευθύγραμμου τμήματος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν οι προβολές των άκρων του (είτε η προβολή είναι ορθή είτε πλάγια).
Προβολή σημείου Α σε επίπεδο (π) κατά τη διεύθυνση διανύσματος λέγεται η τομή του επιπέδου με την ευθεία που φέρεται από το Α και είναι παράλληλη προς το.
Ορθή προβολή σημείου Α σε επίπεδο (Π) λέγεται το ίχνος της καθέτου που ξεκινά από το Α, προς το (Π). Προβολή ευθύγραμμου τμήματος σε επίπεδο είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν οι προβολές των άκρων του ευθύγραμμου τμήματος. Γενικότερα, η προβολή τεθλασμένης γραμμής σε επίπεδο είναι η τεθλασμένη που ορίζουν οι προβολές των πλευρών της στο επίπεδο.
Ας θεωρήσουμε ευθεία xy και σημείο Ο εκτός αυτής, το οποίο θα λάβουμε ως κέντρο προβολών. Τότε προβολή του σημείου Α επί τη xy από το Ο, λέγεται η τομή της xy μετά της ευθείας ΟΑ. Η προβολή του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ από το σημείο Ο επί της ευθείας xy είναι το ευθύγραμμο τμήμα Α1Β1, που ορίζεται από τις προβολές των άκρων του. Ανάλογα ορίζονται οι προβολές από σημείο σε επίπεδο, σημείου και άλλων γεωμετρικών σχημάτων (βλ. σχήμα).
Προβολική γεωμετρία. Ο κλάδος της γεωμετρίας που έχει ως σκοπό τη μελέτη των γραφικών ιδιοτήτων του χώρου. Τις γεωμετρικές ιδιότητες του χώρου μπορούμε να τις χωρίσουμε σε δύο βασικές κατηγορίες: α) τις γραφικές, δηλαδή τις σχέσεις θέσης μεταξύ των διαφόρων στοιχείων του, π.χ. ένα σημείο βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία, δύο επίπεδα (π1), (π2) περνούν από μια ευθεία (ε) κτλ., και β) τις μετρικές, που αναφέρονται στις αποστάσεις, μήκη και παραλληλίες ευθειών και επιπέδων. Οι δύο αυτές κατηγορίες προέρχονται από δύο διαφορετικές αντιλήψεις του χώρου, τη γραφική και τη μετρική αντίληψή του.
Η προβολική γεωμετρία θέτει αρχικά μερικά αξιώματα, που αναφέρονται μόνο στις γραφικές ιδιότητες του χώρου και με σειρά συλλογισμών αποδεικνύει το θεώρημά της αδιαφορώντας για τις μετρικές σχέσεις των μεγεθών που υπεισέρχονται. Αν στη συνέχεια την εμπλουτίσουμε με αξιώματα μετρικά, βρίσκουμε τις εφαρμογές της σε συνδυασμό με τη μετρική γεωμετρία.
Στην προβολική γεωμετρία τα θεμελιώδη γεωμετρικά είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Κάθε σύνολο θεμελιωδών γεωμετρικών στοιχείων αποτελεί ένα γεωμετρικό σχηματισμό (το γνωστό μας σχήμα). Οι γεωμετρικοί σχηματισμοί είναι: ευθύγραμμη σημειοσειρά, αξονική δέσμη επιπέδων, το σημειογενές επίπεδο, το ευθειογενές επίπεδο, η επίπεδη δέσμη ευθειών, η κεντρική δέσμη ευθειών, η κεντρική δέσμη επιπέδων, ο σημειογενής χώρος, ο επιπεδογενής χώρος, ο ευθειογενής χώρος. Άλλοι από αυτούς είναι πρώτου είδους, άλλοι δεύτερου και άλλοι τρίτου είδους, αν θελήσουμε να χρησιμοποιήσουμε αναλυτική έκφραση γι’ αυτούς. Η προβολική γεωμετρία χρησιμοποιεί πάρα πολύ την αρχή του δυασμού για τους θεμελιώδεις σχηματισμούς δεύτερου και τρίτου είδους. Π.χ. ο νόμος του δυασμού για τους σχηματισμούς του τρίτου είδους ορίζει: «Από κάθε πρόταση της προβολικής γεωμετρίας, που απορρέει από τα θεμελιώδη αξιώματα, προκύπτει μια νέα πρόταση, αν σ’ αυτή αντικαταστήσουμε τη λέξη «σημείο» με τη λέξη «επίπεδο» και αντίστροφα, και αφήσουμε τη λέξη «ευθεία» αμετάβλητη».
Εννοείται ότι θα επιφέρουμε όλες τις τροποποιήσεις εκφράσεων που επιβάλλονται από τους διάφορους τρόπους τομής (συμβολής) των γεωμετρικών σχηματισμών, από τα ονόματα των γεωμετρικών σχηματισμών και τους τρόπους χρησιμοποίησης των θεμελιωδών πράξεων της προβολικής γεωμετρίας (την προβολή και την τομή).



Στους σχηματισμούς δεύτερου είδους αλλάζουμε τις λέξεις «σημείο»-«ευθεία».
Βασικά θέματα με τα οποία ασχολείται η προβολική γεωμετρία είναι:
1. Ιδιότητες των αρμονικών συμπλεγμάτων σημείων και ευθειών.
2. Ομοιότητα και ισότητα.
3. Ενειλικτική προβολικότητα (ή ενέλιξη).
4. Προβολικότητα μετασχηματισμών δεύτερου είδους-Ομογραφία και Ετερογραφία.
5. Ομολογίες.
6. Πολικότητα ή ενειλικτική ετερογραφία.
7. Θεωρία επί των κωνικών τομών.
8. Ενειλικτική προβολικότητα.
Πολυωνυμική κατανομή. Η κατανομή που ακολουθεί η πολυδιάστατη τυχαία μεταβλητή Χ = (x1, x2, …, xκ), η οποία περιγράφει την πιθανότητα εμφάνισης των κ δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης σε ν ανεξάρτητες επαναλήψεις του. Οι τυχαίες μεταβλητές x1, x2, …, xκ παίρνουν τιμές ν1, ν2, …, νκ αντίστοιχα που είναι φυσικοί αριθμοί (συμπεριλαμβανομένου του μηδενός) με ν1 + ν2 + …+ νκ = ν. Αν τα κ δυνατά αποτελέσματα του πειράματος έχουν αντίστοιχα πιθανότητες p1, p2, …, pκ, τότε η συνάρτηση πιθανότητας της πολυωνυμικής κατανομής δίνεται από τον τύπο: P(x1 = ν1, x2 = ν2, …, xκ = νκ) =.
Για κ = 2 η πολυωνυμική κατανομή δίνει τη διωνυμική κατανομή.
Π.χ. Ένα ταχυδρομικό δέμα έχει πιθανότητα 70% να φτάσει κανονικά στον προορισμό του, 10% να υποστεί ζημία κατά την αποστολή και 20% να χαθεί. Αν σταλούν 10 δέματα, ποια η πιθανότητα 6 από αυτά να φτάσουν κανονικά, 2 να υποστούν ζημία και τα υπόλοιπα 2 να χαθούν;
Λύση: Αν Χ = (x1, x2, x3) η πολυδιάστατη τυχαία μεταβλητή που περιγράφει το πείραμα «στέλνω δέμα ταχυδρομικά», όπου η x1 παριστάνει το ενδεχόμενο «το δέμα φτάνει κανονικά» με πιθανότητα p1 = 0,70, η x2 «το δέμα υφίσταται ζημία» με πιθανότητα p2 = 0,10 και η x3 «το δέμα χάνεται» με πιθανότητα p3 = 0,20, τότε η Χ ακολουθεί πολυωνυμική κατανομή με ν = 10 ανεξάρτητες επαναλήψεις του πειράματος, εφόσον στέλνουμε 10 δέματα. Η ζητούμενη πιθανότητα δίνεται από τον τύπο: Ρ(x1 = 6, x2 = 2, x3 = 2) = 0,059 = 5,9%.
Ρυθμός μεταβολής. Ρυθμός μεταβολής της εξαρτημένης μεταβλητής y σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή x, όπου y = f (x) και f μια γνωστή συνάρτηση, ονομάζεται η πρώτη παράγωγος της f ως προς x. Ο ρυθμός μεταβολής εκφράζει την κατά προσέγγιση μεταβολή (αύξηση ή μείωση) που υφίσταται το y, όταν το x αυξηθεί κατά μία μονάδα μέτρησης.
Παράδειγμα: Η μεταβλητή y = f(x) = 3x - 2 έχει ρυθμό μεταβολής f΄(x) = (3x - 2)΄= 3, δηλαδή αν το x αυξηθεί κατά μία μονάδα, το y αυξάνεται κατά 3 μονάδες. Αυξάνεται, διότι ο ρυθμός 3 είναι θετικός. Η μεταβλητή y = -3x - 2 έχει ρυθμό μεταβολής f΄(x) = (-3x - 2)΄= -3 , δηλαδή αν το x αυξηθεί κατά μία μονάδα, το y μειώνεται κατά 3 μονάδες. Μειώνεται, διότι ο ρυθμός -3 είναι αρνητικός.
Παρατήρηση: Η μεταβολή που υφίσταται το y προσεγγίζεται από την τιμή της πρώτης παραγώγου άλλοτε με απόλυτη ακρίβεια (όπως στα προηγούμενα δύο παραδείγματα) και άλλοτε με κάποια απόκλιση, όπως στο επόμενο:
Παράδειγμα: Αν y = x2 - 2x + 4, τότε ο ρυθμός μεταβολής της y στο x = 3 υπολογίζεται ως εξής:
y΄= 2x - 2 και για x = 3, έχουμε: y΄(3) = 2  3 - 2 = 6 - 2 = 4, δηλαδή όταν το x από 3 που είναι, αυξηθεί κατά 1 και γίνει 4, το y αναμένεται να αυξηθεί περίπου κατά 4 μονάδες, διότι y΄(3) = 4 > 0.
Όμως αυτή η μεταβολή δεν είναι η πραγματική που υφίσταται το y, διότι: για x = 3 η συνάρτηση δίνει y(3) = 3 2 - 2  3 + 4 = 9 – 6 + 4 = 7 και για x = 4 δίνει y(4) = 42 - 2  4 + 4 = 16 – 8 + 4 = 12, δηλαδή μια πραγματική αύξηση 12 - 7 = 5 μονάδων. Αυτό συμβαίνει, διότι η πρώτη παράγωγος δίνει για x = 4 την τιμή του y πάνω στην εφαπτομένη της καμπύλης στο x = 3 (βλ. σχήμα), ενώ η συνάρτηση δίνει την τιμή του y πάνω στην καμπύλη.
Παρόλο που υπάρχει μία διαφορά μεταξύ της προσεγγιστικής και της πραγματικής μεταβολής, οι τιμές της πρώτης παραγώγου χρησιμοποιούνται ευρέως στην προσέγγιση τιμών μιας συνάρτησης, καθώς ελαχιστοποιούνται οι υπολογιστικές πράξεις και αποφεύγονται χρονοβόρες διαδικασίες στον προγραμματισμό των επιχειρήσεων. Επειδή συνήθως η πρώτη παράγωγος είναι απλούστερη της αρχικής συνάρτησης και οι υπολογισμοί γίνονται π.χ. για x = 10.000 και όχι για x = 10.001 (όταν το x αυξηθεί κατά μία μονάδα), είναι ταχύτερος ο υπολογισμός της αναμενόμενης παραγωγής ή του αναμενόμενου κόστους ή κέρδους, και ας μην είναι τόσο ακριβής.
Ρίζα. Λέμε ρίζα νιοστής τάξης πραγματικού ή μιγαδικού αριθμού α κάθε αριθμό x (πραγματικό ή μιγαδικό), ο οποίος αν υψωθεί στη νιοστή δύναμη δίνει τον α. Συμβολικά αυτό γράφεται. Οι νιοστές ρίζες ενός αριθμού είναι σε πλήθος ν και δίνονται από τον τύπο του ντε Μουάβρ. Συγκεκριμένα, αν ρ είναι το μέτρο και φ ένα όρισμα του μιγαδικού αριθμού α και x ν = α, τότε αφού α = ρ (συνφ + i ημφ),
θα είναι: x κ =, όπου κ = 0, 1, 2, …, ν – 1. Όταν ο α είναι πραγματικός, το φ παίρνει μία από τις τιμές 0 ή π.
Ειδικά οι ρίζες των πραγματικών αριθμών περιττής τάξης είναι όλες μιγαδικές, εκτός μίας που είναι πραγματική και που λέγεται πρωτεύουσα ρίζα, π.χ. η κυβική ρίζα του 8, που είναι πραγματική, είναι το 2, ενώ του -8 είναι το -2.
Οι άρτιας τάξης ρίζες των αρνητικών πραγματικών αριθμών είναι όλες μιγαδικές, π.χ. το -4 έχει δύο μιγαδικές τετραγωνικές ρίζες, 2i και -2i.
Κάθε θετικός πραγματικός αριθμός έχει δύο πραγματικές ρίζες άρτιας τάξης και μάλιστα αντίθετες μεταξύ τους, π.χ. το 16 έχει δύο πραγματικές τετραγωνικές ρίζες 4 και δύο πραγματικές τέταρτες ρίζες 2 (και δύο μιγαδικές).
Μόνο το μηδέν έχει όλες τις ρίζες του πραγματικές (μηδενικές). Π.χ. οι αριθμοί 64, -343 έχουν ρίζες τρίτης τάξης τους αριθμούς (4, 4ε, 4ε2) και (-7, -7ε, -7ε2), όπου ε η μία κυβική μιγαδική ρίζα της θετικής μονάδας. Από τις ρίζες αυτές μόνο οι 4, -7 είναι πραγματικές. Οι αριθμοί 1 και -16 έχουν ρίζες δεύτερης τάξης, που λέγονται και τετραγωνικές ρίζες, τους αριθμούς ±1 και  4i.
Σειρά. Έστω η ακολουθία πραγματικών αριθμών α1, α2,..., αν,... Σχηματίζουμε την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της:
S1=α1
S2=α1+α2
S3=α1+α2+α3
……………….
Sν=α1+α2+α3+…+αν
……………….
Ονομάζουμε σειρά πραγματικών αριθμών την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων S1, S2, S3, …, Sν… Συμβολίζουμε το. Καθένα από τα α1, α2, ..., αν,... λέγεται όρος της σειράς και το Sν άθροισμα των ν όρων της σειράς. Αν η ακολουθία των S1, S2, …, Sν… συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό λέμε ότι η αντίστοιχη σειρά συγκλίνει με στενή σημασία σε αυτόν. Αν η ακολουθία Sν, νєΝ αποκλίνει προς το +∞ ή -∞ τότε λέμε ότι η σειρά «συγκλίνει κατ’ εκδοχήν» στο +∞ ή -∞ αντίστοιχα. Αν η ακολουθία Sν, νєΝ δε συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό ούτε αποκλίνει προς το +∞ ή -∞, λέμε ότι η σειρά αποκλίνει αόριστα. Π.χ. η σειρά συγκλίνει στον αριθμό 2, η σειρά 1+2+3+...+ν+... συγκλίνει κατ’ εκδοχήν στο +∞ και η σειρά 1-1 + 1-1 +... + (-1)ν-1+ (-1)ν +... αποκλίνει αόριστα.
Για τη σύγκλιση των σειρών έχουμε διάφορα κριτήρια Κοσί, Ντ’ Αλαμπέρ κ.ά. Μια κατηγορία σειρών είναι οι δυναμοσειρές π.χ. η, όπου τα α είναι σταθεροί αριθμοί ενώ το x μεταβάλλεται. Υπάρχουν διάφορα κριτήρια για την εύρεση της ακτίνας σύγκλισης της σειράς. Μια τέτοια πολύ γνωστή σειρά είναι η, η οποία είναι συγκλίνουσα για κάθε πραγματικό x (το e είναι η βάση των νεπέρειων λογάριθμων).
Με τη βοήθεια των τύπων των Μακ Λόριν και Τέιλορ τρέπουμε πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής σε δυναμοσειρές (συγκλίνουσες)· π.χ. οι πιο συνηθισμένες είναι:
Στις εφαρμογές παίζουν σπουδαίο ρόλο οι σειρές Φουριέ. Κάθε συνεχής συνάρτηση τρέπεται σε σειρά Φουριέ, αλλά υπάρχουν και συναρτήσεις ασυνεχείς που τρέπονται σε σειρές Φουριέ. Κάθε όρος της σειράς Φουριέ έχει τη μορφή αν συν (νx) + βν ημ (νx), όπου τα αν, βν, ν є Ν, όπως επίσης και τα α0, β0 υπολογίζονται με τη βοήθεια τύπων. Η σπουδαιότητα των σειρών αυτών βρίσκεται στη μετατροπή μιας συνεχούς (ή ακόμη και ασυνεχούς) συνάρτησης σε άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων.
Η έννοια της σειράς γενικεύεται και στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών· δηλαδή υπάρχουν σειρές με μιγαδικούς όρους, όπως επίσης και σειρές συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής.
Σύνθεση συναρτήσεων. Διμελής πράξη μεταξύ συναρτήσεων, της οποίας το αποτέλεσμα είναι συνάρτηση. Αν f και g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού δύο μη κενά σύνολα Α και Β αντίστοιχα και ισχύει f (A)  B  , δηλαδή το σύνολο τιμών της f έχει κοινά στοιχεία με το πεδίο ορισμού της g, τότε ορίζεται η σύνθεση g o f, που είναι μία καινούρια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γ = {x / x  A  f (x)  B} και τιμή,  x  Γ. Μία σχηματική παράσταση της σύνθεσης βλέπουμε στο σχήμα. Η σύνθεση συναρτήσεων είναι προσεταιριστική πράξη, αλλά όχι αντιμεταθετική.
Π.χ. να βρεθεί η σύνθεση gof, όπου f(x) = 5x + 2 με πεδίο ορισμού Α = [0, 12] και g(x) = 4x – 1 με πεδίο ορισμού Β = [22, 72].
Λύση. Αρχικά λύνουμε το σύστημα: για να βρούμε αν ορίζεται η σύνθεση gof. Η λύση του συστήματος αυτού θα είναι άλλωστε και το πεδίο ορισμού της σύνθεσης.
Επομένως, η σύνθεση gof ορίζεται στο σύνολο Γ = [4, 12] και έχει τιμή:
x  Γ, = 4 f(x) – 1 = 4 (5x + 2) – 1 = 20x + 7. Βλ. σχήμα.
Στιούντεντ, κατανομή. Η κατανομή που ακολουθεί η τυχαία μεταβλητή x =, όπου η μεταβλητή z ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή Ν (0, 1), η μεταβλητή u ακολουθεί τη X2 – κατανομή με n βαθμούς ελευθερίας και οι z, u είναι ανεξάρτητες. Η κατανομή Στιούντεντ με n βαθμούς ελευθερίας συμβολίζεται με tn και έχει τύπο f (t) =, όπου Γ η Γάμα κατανομή και tIR.. Η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον κατακόρυφο άξονα, ενώ από τους πίνακες τιμών της υπολογίζουμε τις πιθανότητες Ρ (t > ta ; n) = a =.
Ισχύουν τα θεωρήματα:
α) Αν και s2 είναι αντίστοιχα η δειγματική μέση τιμή και η δειγματική διακύμανση ενός δείγματος μεγέθους n από μία κανονική κατανομή Ν (μ, σ2), τότε η τυχαία μεταβλητή
t = ακολουθεί την t κατανομή με n – 1 βαθμούς ελευθερίας.
β) Αν, οι μέσοι όροι και, οι διακυμάνσεις δύο ανεξάρτητων τυχαίων δειγμάτων με μεγέθη n1, n2 αντίστοιχα από δύο πληθυσμούς με κανονικές κατανομές Ν (μ1, σ2) και
Ν (μ2, σ2) , τότε η τυχαία μεταβλητή t = ακολουθεί την t κατανομή με n1 + n2 – 2 βαθμούς ελευθερίας.
Συμμιγής αριθμός. Ο αριθμός που αποτελείται από διαφορετικές υποδιαιρέσεις της ίδιας μονάδας μέτρησης ενός μεγέθους, π.χ. 5 ώρες 10 πρώτα λεπτά 25 δεύτερα λεπτά. Οι πράξεις μεταξύ συμμιγών αριθμών γίνονται ως εξής:
α) Πρόσθεση συμμιγών. Τοποθετούμε τον ένα συμμιγή κάτω από τον άλλο και προσθέτουμε τις αντίστοιχες υποδιαιρέσεις, μετατρέποντας στο τέλος τις μικρότερες σε μεγαλύτερες μονάδες.
Παράδειγμα. Η Αλεξάνδρα αγόρασε ζάχαρη από ένα κατάστημα 2 κιλά και 450 γραμμάρια και από ένα άλλο 3 κιλά και 650 γραμμάρια. Πόση ζάχαρη αγόρασε συνολικά;
Λύση.
2 κιλά 450 γρ.
+ 3 κιλά 650 γρ.
5 κιλά 1.100 γρ. ή 6 κιλά 100 γραμμάρια ζάχαρη αγόρασε
β) Αφαίρεση συμμιγών. Τοποθετούμε τον ένα συμμιγή κάτω από τον άλλο και αφαιρούμε τις αντίστοιχες υποδιαιρέσεις. Αν μία αφαίρεση δε γίνεται, τρέπουμε πρώτα μία μονάδα μεγαλύτερης τάξης σε μονάδες της αμέσως μικρότερης.
Παράδειγμα. Αν ξέρουμε ότι ο Γιάννης γεννήθηκε την 21η Ιανουαρίου 1992, πόσων ετών ήταν όταν γεννήθηκε ο αδελφός του Λευτέρης στις 13 Ιουλίου 2000;
Λύση. Τοποθετούμε τις δύο ημερομηνίες γέννησης τη μία κάτω από την άλλη, αλλά επειδή δε γίνεται η αφαίρεση των ημερών, μετατρέπουμε ένα μήνα σε 30 ημέρες:
2000 έτη 7 μήνες 13 ημέρες
– 1992 έτη 1 μήνας 21 ημέρες ή
2000 έτη 6 μήνες 43 ημέρες
– 1992 έτη 1 μήνας 21 ημέρες
8 έτη 5 μήνες 22 ημέρες
Άρα, ο Γιάννης ήταν 8 ετών 5 μηνών και 22 ημερών όταν γεννήθηκε ο αδελφός του.
γ) Πολλαπλασιασμός συμμιγή με ακέραιο αριθμό. Τοποθετούμε το συμμιγή στην επάνω σειρά και τον ακέραιο στην κάτω και ξεκινάμε τον πολλαπλασιασμό από τη μικρότερη υποδιαίρεση.







Ταυτότητα. Η ισότητα μεταξύ δύο ισοδύναμων αλγεβρικών παραστάσεων, η οποία συμβολίζεται με ≡. Π.χ. γράφουμε: (α + β)2 ≡ α2 + β2 + 2αβ. Αυτό σημαίνει ότι οποιεσδήποτε τιμές και αν θέσουμε στα α, β, η ισότητα θα ισχύει. Οι πιο συνηθισμένες ταυτότητες της Άλγεβρας είναι:
α) Τετράγωνο αθροίσματος: (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2
β) Τετράγωνο διαφοράς: (α – β)2 = α2 – 2αβ + β2
γ) Διαφορά τετραγώνων: α2 – β2 = (α + β)(α – β)
δ) Κύβος αθροίσματος: (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3
ε) Κύβος διαφοράς: (α – β)3 = α3 – 3α2β + 3αβ2 – β3
στ) Άθροισμα κύβων: α3 + β3 = (α + β)(α2 – αβ + β2)
ζ) Διαφορά κύβων: α3 – β3 = (α – β) (α2 + αβ + β2)
η) Τετράγωνο πολυωνύμου: (α + β + γ + δ)2 = α2 + β2 + γ2 + δ2 + 2αβ + 2αγ + 2αδ+ 2βγ + 2βδ + 2γδ
θ) Κύβος πολυωνύμου: (α + β + γ)3 = α3 + β3 + γ3 + 3α2β + 3α2γ + 3β2α + 3β2γ + 3γ2α + 3γ2β + 6αβγ
ι) Γινόμενο διώνυμων παραγόντων: (x + α)(x + β) = x2 + (α + β)x + αβ
και (x + α)(x + β)(x + γ) = x3 + (α + β + γ) x2 + (αβ + βγ + γα)x + αβγ
ια) Το διώνυμο του Νεύτωνα: (α + β)ν =, όπου οι διωνυμικοί συντελεστές.
ιβ) Οι ταυτότητες του Lagrange: (α2 + β2)(x2 + y2) – (αx + βy)2 = (αy – βx)2
(α2 + β2 + γ2)(x2 + y2 + ω2) – (αx + βy + γω )2 = (αy – βx)2 + (αω – γx)2 + (βω – γy)2
ιγ) Η ταυτότητα του de Moivre:
α4 + β4 + γ4 – 2α2β2 – 2β2γ2 – 2γ2α2 = (α + β + γ)(α + β – γ)(α – β + γ)(α – β – γ)
ιδ) Οι ταυτότητες του Cauchy: (x + y)5 – x5 – y5 = 5xy(x + y)(x2 + xy +y2)
και (x + y)7 – x7 – y7 = 7xy(x + y)(x2 + xy +y2)2
ιε) Η ταυτότητα του Euler: α3 + β3 + γ3 – 3αβγ = (α + β + γ)(α2 + β2 + γ2 – αβ – βγ
γα) = (α + β + γ)[(α – β)2 + (β – γ)2 + (γ – α)2] = (α + β + γ) (α + εβ + ε2γ) (α + ε2β +
εγ),
όπου ε μία κυβική μιγαδική ρίζα της μονάδας
ιστ) Οι ταυτότητες των μετασχηματισμών:
α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ
α2 + β2 = (α – β)2 + 2αβ
α3 + β3 = (α + β)3 – 3αβ(α + β)
α3 – β3 = (α – β)3 + 3αβ(α – β)
α3 + β3 + γ3 = (α + β + γ)3 – 3(α + β)(β + γ)(γ + α)
α2 + β2 + γ2 – αβ – βγ – γα = [(α – β)2 + (β – γ)2 + (γ – α)2].
Τόκων, προβλήματα. Σημαντική κατηγορία προβλημάτων της Πρακτικής Αριθμητικής. Από τα τέσσερα ποσά, κεφάλαιο (Κ), τόκος (Τ), επιτόκιο (Ε) και χρόνος (Χ), κάποια δίνονται και κάποια ζητούνται. Εκτός από το βασικό τύπο που τα συνδέει (βλ. λ. τόκου, υπολογισμός), πρέπει να ξέρουμε ότι ο τόκος είναι ανάλογος προς καθένα από τα άλλα τρία ποσά, όταν τα υπόλοιπα δύο παραμένουν σταθερά, ενώ τα ποσά κεφάλαιο – επιτόκιο, κεφάλαιο – χρόνος και χρόνος – επιτόκιο είναι αντιστρόφως ανάλογα, όταν ο τόκος είναι σταθερός.



Παραδείγματα.
α) Τι τοκοκεφάλαιο αποδίδουν 3.000 ευρώ, αν τοκιστούν για 1 χρόνο και 6 μήνες προς 4 %;
Λύση. Κάνουμε την κατάταξη:
Κ = 3.000
Ε = 4
Χ = 1 έτος 6 μήνες = 18 μήνες
Τ = = 180 ευρώ, οπότε Τ + Κ = 180 + 3.000 = 3.180 ευρώ αποδίδουν.
β) Προς ποιο επιτόκιο πρέπει να τοκιστεί ορισμένο κεφάλαιο για 2 έτη, για να αποδώσει ίδιο τόκο με διπλάσιο κεφάλαιο που τοκίζεται για 18 μήνες με 3 %;
Λύση. Χρησιμοποιούμε βοηθητικό κεφάλαιο 100 ευρώ και τη σύνθετη μέθοδο των τριών, εφόσον το επιτόκιο είναι αντιστρόφως ανάλογο προς το κεφάλαιο και το χρόνο, όταν ο τόκος παραμένει σταθερός (βλ. σχήμα).
γ) Κεφάλαιο 7.000 ευρώ τοκίστηκε προς 8 %. Μετά 3 χρόνια δεύτερο κεφάλαιο 10.000 ευρώ τοκίστηκε προς 7 %. Μετά πόσα χρόνια από την κατάθεση του δεύτερου κεφαλαίου τα δύο κεφάλαια θα έχουν δώσει τον ίδιο τόκο;
Λύση. Στα πρώτα τρία έτη το πρώτο κεφάλαιο έχει δώσει τόκο:
Τ1 = = 1.680 ευρώ και σε ένα έτος 1.680 : 3 = 560 ευρώ.
Σε ένα έτος το δεύτερο κεφάλαιο δίνει τόκο:
Τ2 = = 700 ευρώ.
Σε ένα έτος η διαφορά των τόκων μειώνεται κατά 700 – 560 = 140 ευρώ, οπότε η συνολική διαφορά των 1.680 ευρώ θα καλυφθεί σε 1.680 : 140 = 12 έτη.
Υπερβολή. Μία από τις κωνικές τομές, δηλαδή μία καμπύλη που δημιουργείται από την τομή μιας ορθής κωνικής επιφάνειας με ένα επίπεδο, το οποίο δε διέρχεται από την κορυφή της, αλλά τέμνει υπό γωνία όλες τις γενέτειρές της και στους δύο χώνους της επιφάνειας. Στην αναλυτική γεωμετρία χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο ορισμό: υπερβολή με εστίες δύο σταθερά σημεία του επιπέδου Ε και Ε΄ είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ του επιπέδου, για το οποίο ισχύει η ιδιότητα: η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων του Μ από τα σημεία Ε και Ε΄ είναι σταθερή, δηλαδή |ΜΕ – ΜΕ’|= σταθ. Την απλούστερη μορφή εξίσωσης της υπερβολής στο επίπεδο βρίσκουμε αν θεωρήσουμε καρτεσιανό σύστημα αξόνων που έχει αρχή το μέσο της απόστασης ΕΕ΄ και έναν άξονα που διέρχεται από τα Ε και Ε΄. Αν ονομάσουμε ΕΕ΄ = 2γ και τη σταθερή διαφορά |ΜΕ – ΜΕ’| = 2α, τότε η εξίσωση της υπερβολής που έχει εστίες στον άξονα των x είναι:, όπου γ2 = α2 + β2. Αν οι εστίες είναι στον άξονα των y, τότε η υπερβολή έχει εξίσωση. Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι μεγαλύτερη της μονάδας. Για να σχεδιάσουμε μία υπερβολή, είναι ευκολότερο να σχεδιάσουμε πρώτα τις ασύμπτωτές της που έχουν εξισώσεις: y = x και y = x, καθώς και το ορθογώνιο βάσης (βλ. σχήμα). Το σημείο τομής των ασυμπτώτων είναι κέντρο συμμετρίας της ανοιχτής καμπύλης. Μία ειδική περίπτωση είναι η ισοσκελής υπερβολή. Επίσης, η ομογραφική συνάρτηση με τύπο y =, όπου α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί με γ  0 και αδ – βγ  0, παριστάνεται γραφικά με μία υπερβολή που έχει ασύμπτωτες τις ευθείες x = και y =
Φερμά, θεώρημα του. Θεώρημα του διαφορικού λογισμού. Διατυπώνεται ως εξής: «αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ΔIR και στο εσωτερικό σημείο x0 του Δ η f παρουσιάζει ακρότατο, τότε ισχύει: f ΄(x0) = 0». Η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος είναι: αν υπάρχει εφαπτομένη σε κάθε σημείο (x, y) της γραφικής παράστασης της y = f (x) για κάθε xΔ (βλ. σχήμα), το θεώρημα του Φερμά λέει ότι στο σημείο Ρ (x0, y0), όπου η f παρουσιάζει ακρότατο, η εφαπτομένη της καμπύλης y = f (x) θα είναι παράλληλη προς τον άξονα των x.
Παρατήρηση: Το θεώρημα αυτό προϋποθέτει την ύπαρξη ακρότατου για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f, αλλά ταυτόχρονα αποκλείει την περίπτωση να υπάρχει ακρότατο παραγωγίσιμης συνάρτησης σε άλλο σημείο εκτός από τις ρίζες της πρώτης της παραγώγου, γι’ αυτό και για να βρούμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης, ελέγχουμε τις ρίζες της f΄.
Φραγμένη ακολουθία. Λέμε ότι η ακολουθία αν, ν ΙΝ είναι άνω φραγμένη, αν υπάρχει αριθμός πραγματικός Μ τέτοιος, ώστε: ν ΙΝ: αν Μ. Ο αριθμός Μ λέγεται άνω φράγμα της ακολουθίας και αν υπάρχει, δεν είναι μονότιμα ορισμένος. Αν είναι ν ΙΝ : αν m, τότε η αν, ν ΙΝ , λέγεται κάτω φραγμένη και το m κάτω φράγμα. Μία ακολουθία λέγεται φραγμένη, αν και μόνο αν είναι ταυτόχρονα και άνω και κάτω φραγμένη. Αν ν ΙΝ: |αν| Θ, τότε η αν, ν ΙΝ λέγεται απολύτως φραγμένη και το Θ απόλυτο φράγμα της. Ισχύει το θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο «μια ακολουθία είναι φραγμένη, αν και μόνο αν είναι απολύτως φραγμένη». Η έννοια της φραγμένης ακολουθίας είναι πολύ χρήσιμη στον έλεγχο της σύγκλισης της ακολουθίας.Αν στη θέση του αν θέσουμε τη συνάρτηση f (x) και αντί του ν ΙΝ γράψουμε το, τότε έχουμε τους ίδιους ορισμούς για τη συνάρτηση f (x) στο υποσύνολο Α1 του συνόλου ορισμού της Α.
Σημείο καμπής. Σημείο καμπής καμπύλης y = f(x) ονομάζεται το σημείο, στο οποίο αλλάζει η κυρτότητα της καμπύλης, δηλαδή στο η συνάρτηση από κοίλη γίνεται κυρτή (βλ. σχήμα 1) ή από κυρτή γίνεται κοίλη (βλ. σχήμα 2). Το x0 πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Όταν το είναι σημείο καμπής της καμπύλης y = f(x), τότε λέμε ότι στο x0 η συνάρτηση f παρουσιάζει καμπή. Στο σημείο καμπής η εφαπτομένη της καμπύλης διαπερνά («κόβει») την καμπύλη (βλ. σχήματα 1 και 2). Ισχύουν τα ακόλουθα θεωρήματα:
α) Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α, στο x0Α η f΄΄ μηδενίζεται, ενώ εκατέρωθεν αυτού η f΄΄ αλλάζει πρόσημο, τότε το είναι σημείο καμπής της καμπύλης y = f(x).
β) Αν μία συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α, στο x0Α η f΄΄ μηδενίζεται και η f΄΄΄ δε μηδενίζεται, τότε το είναι σημείο καμπής της καμπύλης y = f(x).
Χι τετράγωνο κατανομή. Η κατανομή X2 με n βαθμούς ελευθερίας είναι ειδική περίπτωση της Γάμμα κατανομής. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στη Στατιστική για τον έλεγχο των δειγμάτων, γι’ αυτό και οι τιμές της a = P(X > X) = δίνονται από στατιστικούς πίνακες (f είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής). Ισχύουν τα ακόλουθα θεωρήματα:
1. Αν η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή Ν (0, 1), τότε η μεταβλητή X2 ακολουθεί τη X2 κατανομή με 1 βαθμό ελευθερίας.
2. Αν οι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X1, X2, …, Xn ακολουθούν τη Ν (0, 1), τότε η μεταβλητή Υ = ακολουθεί τη X2 κατανομή με n βαθμούς ελευθερίας.
3. Αν οι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X1, X2, …, Xn ακολουθούν τη X2 κατανομή με αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας ν1, ν2, …, νn, τότε η μεταβλητή Y = ακολουθεί τη X2 κατανομή με ν = ν1 + ν2 + …+ νn βαθμούς ελευθερίας.
4. Αν s2 είναι η δειγματική διασπορά ενός δείγματος μεγέθους n από ένα κανονικό πληθυσμό Ν (μ, σ2), τότε η μεταβλητή X = ακολουθεί τη X2 κατανομή με n – 1 βαθμούς ελευθερίας.
Ανάλογα ποσά. Δύο ποσά λέγονται ανάλογα ή ευθέως ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας (ή διαιρώντας) τις τιμές του ενός με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται (ή αντίστοιχα διαιρούνται) και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό. Π.χ. αν το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου διπλασιαστεί, θα διπλασιαστεί και η περίμετρός του, αν το βάρος ενός εμπορεύματος τριπλασιαστεί, θα τριπλασιαστεί και η συνολική αξία του. Ισοδύναμος ορισμός είναι ο εξής: ανάλογα λέγονται δύο ποσά, όταν οι αντίστοιχες τιμές τους έχουν τον ίδιο λόγο. Βλέπουμε στον πίνακα 1 τις αντίστοιχες τιμές δύο ποσών x και y:
Τα ποσά x και y είναι ανάλογα, καθόσον ισχύουν οι σχέσεις:
, , , , δηλαδή ο λόγος των αντίστοιχων τιμών παραμένει σταθερός.
Παραδείγματα ανάλογων ποσών είναι:
1. Το βάρος ενός εμπορεύματος και η αξία του. 2. Η αξία ενός αντικειμένου και το πλήθος των ομοειδών αντικειμένων που αγοράζουμε. 3. Το μήκος ενός υφάσματος και η αξία του. 4. Το διάστημα που διανύει ένα κινητό κινούμενο με σταθερή ταχύτητα και ο χρόνος που απαιτείται για το διάστημα αυτό. 5. Το διάστημα που διατρέχει ένα κινητό σε ορισμένο χρόνο και η ταχύτητα του κινητού. 6. Το έργο που παράγεται και ο αριθμός των εργατών που απασχολούνται γι’ αυτό. 7. Το έργο που παράγεται και το πλήθος των ημερών εργασίας που απαιτούνται για την ολοκλήρωσή του. 8. Το έργο που παράγεται και το πλήθος των ωρών ημερήσιας απασχόλησης. 9. Το πλήθος των εργατών και η συνολική αμοιβή τους. 10. Ο χρόνος εργασίας κάθε εργάτη και η αμοιβή του. 11. Η ποσότητα των τροφίμων που απαιτούνται για κατανάλωση και το πλήθος των ατόμων που θα τα καταναλώσουν σε ορισμένο χρονικό διάστημα. 12. Η ποσότητα της καύσιμης ύλης που θα καταναλωθεί και η απόσταση που θα διανύσει ένα κινητό τρέχοντας με σταθερή ταχύτητα. 13. Το μήκος ενός ορθογώνιου χωραφιού και το εμβαδό του, όταν το πλάτος παραμένει σταθερό. 14. Το πλάτος ενός ορθογώνιου χωραφιού και το εμβαδό του, όταν το μήκος παραμένει σταθερό. 15. Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του. 16. Το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου και το μήκος της ακτίνας του. 17. Το μήκος της σκιάς ενός αντικειμένου και το ύψος του. 18. Ο χρόνος τοκισμού ενός ορισμένου κεφαλαίου με ένα ορισμένο επιτόκιο και ο τόκος που θα πάρουμε. 19. Το επιτόκιο με το οποίο τοκίζουμε ένα ορισμένο κεφάλαιο για ορισμένο χρονικό διάστημα και ο τόκος που θα πάρουμε. 20. Το κεφάλαιο που θα τοκίσουμε με ένα ορισμένο επιτόκιο για ορισμένο χρονικό διάστημα και ο τόκος που θα πάρουμε. 21. Η διάμετρος ενός τροχού και το διάστημα που αυτός διανύει με σταθερή ταχύτητα σε ορισμένο χρονικό διάστημα. 22. Το πλήθος των περιστροφών ενός τροχού και το διάστημα που θα διανύσει. 23. Η γωνία ή το τόξο ή το εμβαδό του κυκλικού τομέα που γράφει ο λεπτοδείκτης με τη γωνία ή το τόξο ή το εμβαδό του κυκλικού τομέα αντίστοιχα που γράφει ο ωροδείκτης στο ίδιο χρονικό διάστημα. 24. Η παροχή νερού μιας βρύσης και η συνολική ποσότητα του νερού που χύνεται σε ορισμένο χρονικό διάστημα. 25. Η παροχή νερού μιας βρύσης και το μέγεθος μιας δεξαμενής που αυτή γεμίζει σε ορισμένο χρονικό διάστημα.
Παραδείγματα:
α) Έξι εργάτες παίρνουν την εβδομάδα 1.200 ευρώ. Πόσα ευρώ παίρνουν οι 18 εργάτες;
Λύση: Η συνολική αμοιβή των εργατών είναι ανάλογη του αριθμού τους, αφού λοιπόν το
πλήθος των εργατών πολλαπλασιάστηκε με το 3 ( 6 × 3 = 18), με τον ίδιο αριθμό θα πολλαπλασιαστεί και το ύψος της αμοιβής τους, δηλ. 1.200 × 3 = 3.600 ευρώ θα πληρωθούν οι 18 εργάτες την εβδομάδα.
β) Ένα αυτοκίνητο κινούμενο με 90 χιλιόμετρα την ώρα, διανύει απόσταση 720 χιλιομέτρων σ’ ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Αν όμως έτρεχε με 60 χιλιόμετρα την ώρα, πόσα χιλιόμετρα θα είχε διανύσει στον ίδιο χρόνο;
Λύση: Η ταχύτητα ενός κινητού είναι ανάλογη προς το διάστημα που αυτό διανύει σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, αφού λοιπόν η ταχύτητα του κινητού πολλαπλασιάστηκε με τον αριθμό (γιατί), με τον ίδιο αριθμό θα πολλαπλασιαστεί και το διάστημα, δηλαδή χιλιόμετρα θα είχε διανύσει το αυτοκίνητο στη δεύτερη περίπτωση.
γ) Εικοσιένα τετράδια ίδιου μεγέθους κοστίζουν 37, 80 ευρώ. Πόσο κοστίζουν 7 ίδια
τετράδια;
Λύση: Η αξία των ομοειδών αντικειμένων είναι ανάλογη του πλήθους τους, αφού λοιπόν το πλήθος των τετραδίων διαιρέθηκε με το 3 (διότι 21 : 3 = 7), με τον ίδιο αριθμό θα διαιρεθεί και η αξία τους, δηλαδή 37, 80 : 3 = 12, 60 ευρώ θα κοστίζουν τα 7 τετράδια.
Αναλογία. Η ισότητα δύο ή περισσότερων λόγων (κλασμάτων) π.χ. ή (η δεύτερη ονομάζεται συνεχής αναλογία). Ο αριθμός λ, με τον οποίο είναι ίσα όλα τα κλάσματα, λέγεται λόγος της αναλογίας. Οι όροι των κλασμάτων λέγονται όροι της αναλογίας, οι αριθμητές τους λέγονται ηγούμενοι (γιατί ηγούνται των κλασμάτων) και οι παρονομαστές τους λέγονται επόμενοι (γιατί έπονται –ακολουθούν– τους ηγούμενους). Σε μία αναλογία δύο λόγων, π.χ. τα α, δ λέγονται άκροι όροι και τα β, γ λέγονται μέσοι όροι, ενώ σε μία συνεχή αναλογία δύο λόγων, π.χ. οι μέσοι όροι είναι ίσοι και μάλιστα το β λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ ή μέσος ανάλογος των α και γ και λέμε ότι τα α, β, γ καθιστούν συνεχή αναλογία ή ότι αποτελούν με αυτή τη διάταξη γεωμετρική πρόοδο. Τότε θα ισχύει: β2 = α × γ. Όταν ισχύει η αναλογία, λέμε ότι οι αριθμοί α και γ είναι ανάλογοι των β και δ.
Επίσης, αναλογίες χρησιμοποιούμε όχι μόνο στην Άλγεβρα, αλλά και στη Γεωμετρία. Είναι γνωστές οι προτάσεις:
α) το ύψος προς την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι μέσο ανάλογο των δύο τμημάτων, στα οποία τη χωρίζει, δηλαδή ΑΔ2 = ΔΒ × ΔΓ (βλ. σχήμα 1) και
β) κάθε κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου είναι μέση ανάλογος της υποτείνουσας και της προβολής της πάνω σ’ αυτή (γνωστή και ως Θεώρημα του Ευκλείδη), δηλαδή: ΑΒ2 = ΒΓ × ΒΔ και ΑΓ2 = ΒΓ × ΓΔ (βλ. σχήμα 1).
Αν σε μία αναλογία της μορφής, τα α, β, γ, δ παριστάνουν ευθύγραμμα τμήματα, τότε το δ ονομάζεται τέταρτη ανάλογος.
Κατασκευή της τέταρτης αναλόγου:
Είναι μία κατασκευή στην οποία τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ είναι γνωστά και ζητείται η γεωμετρική κατασκευή (με κανόνα και διαβήτη) της τέταρτης αναλόγου τους, δηλαδή του ευθύγραμμου τμήματος δ, για το οποίο ισχύει η αναλογία:. Η κατασκευή γίνεται ως εξής: πάνω στην πλευρά Ox τυχαίας γωνίας (βλ. σχήμα 2) θεωρούμε τα σημεία Α και Β, ώστε ΟΑ = α και ΑΒ = β, και πάνω στην πλευρά Oy το σημείο Γ, ώστε ΟΓ = γ. Από το Β φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΓ, η οποία τέμνει την πλευρά Oy στο σημείο Δ. Τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ είναι το ζητούμενο, διότι σύμφωνα με το Θεώρημα του Θαλή, ισχύει:, άρα ΓΔ = δ.
Ιδιότητες των αναλογιών:
1. Σε κάθε αναλογία το γινόμενο των άκρων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων.
2. Αν σε μία αναλογία εναλλάξουμε τους άκρους ή τους μέσους όρους, προκύπτει πάλι αναλογία.
3. Αν σε μία αναλογία αντιστρέψουμε τους λόγους, προκύπτει και πάλι αναλογία, η οποία μάλιστα έχει λόγο τον αντίστροφο του λόγου της αρχικής, δηλαδή:.
4. Σε μία αναλογία μπορούμε να σχηματίσουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα, με αριθμητή το άθροισμα όλων των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα όλων των παρονομαστών, δηλαδή:
5. Αν σε μία αναλογία προσθέσουμε τους ηγούμενους στους επόμενους ή τους επόμενους στους ηγούμενους, προκύπτει νέα αναλογία, δηλαδή και.
6. Αν σε μία αναλογία αφαιρέσουμε τους ηγούμενους από τους επόμενους ή τους επόμενους από τους ηγούμενους, προκύπτει νέα αναλογία: και. 7. Σε μία αναλογία ισχύει η ιδιότητα:.
8. Αν λ και μ οποιοιδήποτε αριθμοί, ισχύει η ιδιότητα:.
9. Σε μία συνεχή αναλογία όλοι οι όροι μπορούν να εκφραστούν με τη βοήθεια ενός από αυτούς και του λόγου λ της αναλογίας, δηλαδή:
Þ δ = λ × ε, γ = λ2 × ε, β = λ3 × ε, α = λ4 × ε.
Παράδειγμα:
Αν ισχύει, τότε δείξτε ότι:.
Λύση:
Α’ Τρόπος: Ονομάζουμε λ το λόγο της αναλογίας και έχουμε: α = λβ και γ = λδ, οπότε το πρώτο μέλος γράφεται:
και το δεύτερο γίνεται:
επομένως είναι ίσα.
Β’ Τρόπος: Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αναλογιών:
Ανάλυση. Κλάδος των Μαθηματικών, που περιλαμβάνει το Διαφορικό και τον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Λέγεται αλλιώς και Απειροστικός Λογισμός, γιατί πρωταρχικό ρόλο παίζουν οι έννοιες του ορίου και του απειροστού. Η Ανάλυση μελετά τις ακολουθίες και γενικότερα τις συναρτήσεις, τα είδη τους, τις ιδιότητές τους, τις γραφικές τους παραστάσεις, τις παραγώγους και τα ολοκληρώματα. Με τις προτάσεις και τις μεθόδους της Ανάλυσης υπολογίζεται το μήκος τόξου μιας καμπύλης, το εμβαδό ενός επιπέδου σχήματος, ο όγκος ενός στερεού σώματος, προσδιορίζεται η θέση του κέντρου βάρους ενός σχήματος ή σώματος, εντοπίζονται οι άκρες τιμές μιας συνάρτησης, λύνονται δύσκολα προβλήματα βελτιστοποίησης (π.χ. ελαχιστοποίησης κόστους, μεγιστοποίησης κέρδους), επιλύονται δύσκολες ανισοτικές σχέσεις, προσδιορίζεται η εφαπτομένη μιας καμπύλης σε κάθε σημείο της, ερμηνεύονται η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός κινητού κτλ. Τα συμπεράσματα της Ανάλυσης είναι ιδιαίτερα χρήσιμα σήμερα στους περισσότερους κλάδους των Φυσικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών. Πρόδρομος του Απειροστικού Λογισμού θεωρείται ο Αρχιμήδης, ο οποίος είχε χρησιμοποιήσει τις μεθόδους της Ανάλυσης στην απόδειξη των τύπων των εμβαδών και όγκων που είχε υπολογίσει, χωρίς όμως να το κάνει με πλήρη ικανοποίηση, καθώς η έννοια του απειροστού ήταν κάτι που δεν είχε αποδεχθεί (βλ. λ. Αρχιμήδης). Ο αιώνας στον οποίο αναπτύχθηκε πραγματικά η Ανάλυση ως ξεχωριστός κλάδος των Μαθηματικών, ήταν ο 17ος χάρη στο έργο πολλών μαθηματικών σε όλη την Ευρώπη, όπως οι Ιταλοί Bonaventura Cavalieri και Evangelista Toricelli, οι Γάλλοι Pierre de Fermat, Roberval, Blaise Pascal, René Descartes, ο μαρκήσιος G.F.A. de l’ Hospital, ο Ολλανδός Christian Huygens, οι Ελβετοί αδελφοί Jacques και Jean Bernoulli (στον πρώτο μάλιστα οφείλεται και η ύπαρξη του όρου «ολοκλήρωμα»), οι Βρετανοί Isaac Barrow, Christopher Wren, John Wallis, James Gregory, Brook Taylor, Colin Mac Laurin και φυσικά οι «πατέρες» της Ανάλυσης sir Isaac Newton και Gotfried Wilhelm Leibniz, οι οποίοι δούλεψαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο περίπου την ίδια εποχή και δημοσίευσαν σχεδόν ταυτόχρονα τις εργασίες τους, διεκδικώντας ο καθένας για λογαριασμό του την πατρότητα του νέου οικοδομήματος της ανθρώπινης σκέψης. Μόλις το 19ο αιώνα όμως η Ανάλυση πήρε τη μορφή με την οποία τη γνωρίζουμε σήμερα χάρη στο έργο των: Auguste Louis Cauchy, Joseph Louis Lagrange, Joseph Fourier, Karl Weierstrass, Henri Lebesgue, Leonhard Euler, Bernhard Riemann, David Hilbert και άλλων.
Στατιστική : Ειναι ενας τομεας που αφιερωνεται σε μαθηματικες μεθοδους συστηματοποιησεως , επεξεργασιας και χρησης των στατιστηκων δεδομενων για επιστημονικα και πρακτικα συμπερασματα. Στατιστικα δεδομενα = ονομαζονται οι πλοιροφοριες για τον αριθμο των στοιχειων ενος ορισμενου συνολου ως προς μια η περισσοτερες μεταβλητες ιδιοτητες. Αν εξετασουμε τα στοιχεια ενος ορισμενου συνολου Π ως προς μια μεταβλητη ιδιοτητα τους τοτε το συνολο Π καλειται στατιστικος πληθυσμος. Παρατηρησεις = ονομαζονται οι πλοιροφοριες `η μετρησεις που προκυπτουν απο την εξεταση (πειραμα) των στοιχειων Π .
Μεταβλητη ( `η ποσοτικη μεταβλητη ) = καλειται η ιδιοτητα που μπορει να μετρηθει., οι παρατηρησεις μας ονομαζονται τιμες της ματαβλητης .
Εχουμε μεταβλητη ΑΣΥΝΕΧΗΣ = οταν παιρνει μεμονωμενες τιμες
ΣΥΝΕΧΗΣ = οταν μπορει να παρει καθε τιμη (τουλαχιστον θεωρητικα ) ενος αριθμητικου διαστηματος.
Απογραφη = λεμε οταν εξετασουμε ολα τα ατομα του πληθυσμου. Οι απογραφες ομως χρειαζονται πολυ χρονο και χρημα. Γιαυτο καταφευγουμε στην εξεταση ενος υποσυνολου που καλειται δειγμα και η διαδικασια δειγματοληψια . Συχνοτητα μιας παρατηρησεως λεγεται ο φυσικος αριθμος που δηλωνει ποσα ατομα του πληθυσμου εχουν την ιδια παρατηρηση, ενω σχετικη συχνοτητα λεγεται το πηλικο της συχνοτητας προς τον αριθμο του πληθυσμου. Και αθροιστικη συχνοτητα δηλωνει ποσα ατομα του πληθυσμου εχουν παρατηρησεις ισες `η μικροτερες του Χ . οταν εχουμε μεγαλο αριθμο παρατηρησεων , τοτε συνισταται η ομαδοποιηση.

No comments:

Post a Comment